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- 2021-07-01 发布
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重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年
高二上学期期末考试试题
一、选择题
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,因此焦点坐标为,
故选:D
2.已知向量,满足,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以.
故选:B
3.设命题,,则为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】因为的否定为,所以为,
故选:D
4.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心
率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为渐近线方程为,
所以.
故选:A
5.“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为方程表示双曲线,所以,
又当时,方程表示双曲线,
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选:C
6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的,尺寸见三视图,
.
故选:D.
7.下列有关命题的说法正确的是( )
A. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
C. 命题“若,则”的逆否命题为假命题
D. 若“或”为真命题,则,至少有一个为真命题
【答案】D
【解析】命题“若,则”否命题为“若,则”,所以A错;
“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件,所以B错;
命题“若,则”为真命题,所以其的逆否命题为真命题,C错;
若“或”为真命题,则,至少有一个为真命题,所以D对;
故选:D
8.直线被圆截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】因为,
因此直线的倾斜角为或,
故选:C
9.长方体中,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】建立坐标系如图所示.
则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),=(-1,0,2),=(-1,2,1).
cos〈,〉==.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
10.已知四棱锥中,平面平面,其中为边长为4的正方形,为等腰三角形,,则四棱锥外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设外接球球心为,球半径为,与交点为,为中点,
垂直平面,垂直于.
因为为等腰三角形,所以垂直,
因为平面平面,所以垂直平面,
即平行,则,,
因为,所以,由于位置可在延长线上,
因此,,
则四棱锥外接球的表面积为.
故选:C
11.在棱长为1的正方体中,,,分别在棱,,上,且满足,,,是平面,平面与平面的一个公共点,设,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,为与交点,为中点,为与的交点.
过作平行交于.
如图,则为中点,
所以,所以,
因此,
因为,所以,.
故选:C
12.已知,是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且点为线段的中点,则(其中为椭圆的离心率)的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为点为线段的中点,所以,
且,因为,
所以,
因此,
故选:B
二、填空题
13.若直线与垂直,则的值为__________.
【答案】
【解析】因为直线与垂直,
所以.
故答案为:
14.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则这个圆锥的表面积等于______.
【答案】
【解析】∵圆锥的轴截面是正三角形,边长等于2
∴圆锥的高,底面半径.
∴这个圆锥的表面积:.
故答案为.
15.设、、为三条不同的直线,、为两个不同的平面,下面给出四个命题:
①若,,则;②若,,、、则;
③若,,则;④若且,,,则.
其中假命题有_________.(写出所有假命题的序号)
【答案】①②④
【解析】若,,则或,所以①为假命题;
若,,、、且为相交直线时,才有,才可得;所以②为假命题;
若,,则,,所以③为真命题;
若且,,,则不一定平行,所以不一定成立,即④为假命题.
故答案为:①②④
16.已知抛物线与双曲线有一个公共的焦点,点为抛物线上任意一点,,则的最小值是___________.
【答案】
【解析】,因此双曲线焦点为.
因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点,
所以,.
设,则,当时,
,
当且仅当时取等号;
当时,.
故答案为:
三、解答题
17.如图,四棱锥底面为矩形,,其中分别为,
中点.
(1)求证:平面;
(2)若平面底面,求证:平面.
【解】证明:(1),分别是,中点,.
又底面为矩形,,.
又平面,平面,平面.
(2)底面为矩形,.
又平面底面,且平面底面,
且平面,平面.
又平面,.
又,平面,,
平面.
18.已知椭圆的左右焦点分别为,,对于椭圆上任一点,若的取值范围是,
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过点倾斜角为的直线交椭圆于,两点,求的面积.
【解】(1)的取值范围为,即,.
,,又,,
椭圆方程为:.
(2)由题意知直线的方程为:.
联立方程消去得.
,设,,
,,
.
,点到直线的距离为:,
.
19.直三棱柱底面上,,点、分别在棱、上,且,,,.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解】(1)平面,
分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系
,,,,,,
,,
设平面的一个法向量
取,,,平面的一个法向量
,,平面
(2)由(1)知,,
设平面的法向量为
,取,,
平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为
20.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,且.
(1)求抛物线的方程:
(2)过点的直线与抛物线交于,两点,以线段为直径的圆过,求直线的方程.
【解】(1)由抛物线定义可得:,,
抛物线的方程为:.
(2)由(1)知,设,.
设直线的方程为:,联立方程,
消去得:,,
,.
以线段为直径的圆过点,.
,,
,
,
,,
直线的方程为:即.
21.如图,四棱锥中,底面为矩形,侧面为正三角形,,,平面平面,为棱上一点(不与、重合),平面交棱于点.
(1)求证:;
(2)若二面角的余弦值为,求点到平面的距离.
【解】(1)底面为矩形,.
又平面,平面,平面.
又平面,平面平面,.
(2)取的中点,连接,过点作交于点.
侧面为正三角形,.
平面平面且交线为,
平面,为矩形,,,
如图所示,建立以,,所在直线为轴,轴,轴的空间直角坐标系
,,,,.
设,又,.
,.
设平面的法向量为
,
令,,,
平面的一个法向量.
又易知是平面的一个法向量,
,
解得:,,.
又平面的一个法向量,
点到平面的距离为:.
22.已知椭圆的两个焦点,
与短轴的一个端点构成一个等边三角形,且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆的左顶点的两条直线,分别交椭圆于,两点,且,求证:直线过定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)的条件下求面积的最大值.
【解】(1)由题意可得:,
,椭圆的方程为:.
(2)由题意知,设:,.
由消去得:,
解得:或(舍去),,
,同理可得:.
i:当时,直线斜率存在,
,
,直线过定点.
ii:当时,直线斜率不存在,
直线方程为:,也过定点,
综上所述:直线过定点.
(3)设,由(2)知:
,
令,在单调递减,
∴当时,.