2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第六章　第1讲　数列的概念与简单表示法 6页

‎[基础题组练]‎ ‎1．已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)‎ A．第19项　　　　　　　　 B．第20项 C．第21项 D．第22项 解析：选C.数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，‎ 所以通项公式为an＝＝，‎ 令＝5，得n＝21.‎ ‎2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N+，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)‎ A.　　　B．　　　　C.　　　 D． 解析：选A.因为数列{an}满足：对任意的m，n∈N+，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故选A.‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N+)，则a2 020的值为(　　)‎ A．－ B．5 ‎ C. D． 解析：选A.在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N+)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，‎ 所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 020＝a673×3＋1＝a1＝－.‎ ‎4．(2020·山西太原模拟(一))已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝2n(n∈N+)，则a7＝(　　)‎ A. B． ‎ C. D． 解析：选B.当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2n－2，又Sn＋an＝2n，所以2an－an－1＝2，‎ 所以2(an－2)＝an－1－2，故{an－2}是首项为a1－2，公比为的等比数列，‎ 又S1＋a1＝2，故a1＝1，所以an＝－＋2，故a7＝2－＝，故选B.‎ ‎5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N+，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)‎ A. B．2 ‎ C. D． 解析：选C.由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，‎ 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，‎ 则＝＝－，‎ 则＋＋…＋＝‎ ‎2×＝2×＝.故选C.‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝ 答案： ‎7．记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+，2Sn＝an＋1，则a2 018＝________．‎ 解析：因为2Sn＝an＋1，‎ 所以2Sn－1＝an－1＋1(n≥2)，‎ 所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，‎ 即an＝－an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为周期的周期数列．‎ 又2S1＝2a1＝a1＋1，‎ 所以a1＝1，所以a2 018＝a2＝－a1＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎8．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．‎ 解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N+.故答案为n.‎ 答案：n ‎9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 于是 a1＝1，‎ a2＝a1，‎ a3＝a2，‎ ‎…‎ an－1＝an－2，an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.‎ 显然，当n＝1时也满足上式．‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎ ‎10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N+.‎ ‎(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N+，求a的取值范围．‎ 解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N+.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N+，‎ 于是，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，‎ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，‎ 当n≥2时，an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9.‎ 又a2＝a1＋3＞a1.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)‎ A．4 B．4－1 C．8 D．9‎ 解析：选C.由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，‎ ‎…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，‎ 以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，‎ 当n＝1时，a1＝20符合上式，‎ 所以＝n＋－1，n∈N*，‎ 所以n≤4时递减，n≥5时递增，‎ 因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C.‎ ‎2．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．‎ 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，‎ 当n＝1时，a1＝6；‎ 当n≥2时， 故当n≥2时，an＝，‎ 所以an＝ 答案：an＝ ‎3．已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0，1)．‎ 答案：(0，1)‎ ‎4．(2020·广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个．‎ 解析：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，‎ 则3m＝5n＋1，m，n∈N，‎ 当m＝5k，n不存在；‎ 当m＝5k＋1，n不存在；‎ 当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意；‎ 当m＝5k＋3，n不存在；‎ 当m＝5k＋4，n不存在．‎ 其中k∈N.‎ 故2≤a＝15k＋8≤2 019，解－≤k≤，则k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.‎ 答案：135‎ ‎5．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N+)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝1－(n∈N+)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列的变号数．‎ 解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.‎ 又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.‎ 所以Sn＝n2－4n＋4.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.‎ 所以an＝ ‎(2)由题意得cn＝ 由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.‎ 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，‎ 即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.‎ 所以数列{cn}的变号数为3.‎