数学卷·2018届河南省商丘市、开封市九校联考高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版） 25页

‎2016-2017学年河南省商丘市、开封市九校联考高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．以下四个命题中，其中正确的个数为（　　）‎ ‎①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”；‎ ‎②“”是“cos2α=0”的充分不必要条件；‎ ‎③若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1=0；‎ ‎④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且仅有一个是真命题．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．已知向量=（1，5，﹣2），=（3，1，2），=（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（　　）‎ A．5 B．3 C．2 D．﹣1‎ ‎3．在△ABC中，AB=2BC=2，，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4．抛物线y=x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）‎ ‎5．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎6．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（　　）‎ A． =1 B． =1‎ C． =1 D． =1‎ ‎9．若不等式（a2﹣3a﹣4）x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，4） B．（0，4] C．[0，4） D．[0，4]‎ ‎10．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m，n的变化而变化 ‎12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意a∈R，a*0=a；‎ ‎（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．‎ 则函数f（x）=（ex）*的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）‎ ‎13．设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为　　．‎ ‎14．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为　　．‎ ‎15．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率e等于　　．‎ ‎16．已知实数x，y满足|x|+y≤1，则的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）在等差数列{an}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（1）证明PA∥平面EDB；‎ ‎（2）证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．‎ ‎21．（12分）在△‎ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C．‎ ‎（Ⅰ）求角C的值；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且，求a﹣b的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省商丘市、开封市九校联考高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．以下四个命题中，其中正确的个数为（　　）‎ ‎①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”；‎ ‎②“”是“cos2α=0”的充分不必要条件；‎ ‎③若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1=0；‎ ‎④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且仅有一个是真命题．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据命题和它的逆否命题之间的关系，即可判断①错误；‎ 根据时cos2α=0成立判断充分性，cos2α=0时α=不成立判断必要性，得出②正确；‎ 根据特称命题的否定是全称命题，得出③错误；‎ 根据复合命题的真值表判断④正确．‎ ‎【解答】解：对于 ①，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：‎ ‎“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故①错误；‎ 对于 ②，时，cos2α=cos=0，充分性成立；‎ cos2α=0时，α=+，k∈Z，必要性不成立，‎ 是充分不必要条件，故②正确；‎ 对于③，命题，‎ 则¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0，故③错误；‎ 对于④，当p∧q为假命题，p∨q为真命题时，‎ p，q中有且仅有一个是真命题，故④正确．‎ 综上，正确的命题序号是②④，共2个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题，充分与必要条件以及复合命题的真假判断问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量=（1，5，﹣2），=（3，1，2），=（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（　　）‎ A．5 B．3 C．2 D．﹣1‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，由DE∥平面ABC，可得=0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵设平面ABC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，即，取=（6，﹣4，﹣7）．‎ ‎∵DE∥平面ABC，‎ ‎∴=6x﹣3×（﹣4）+6×（﹣7）=0，解得x=5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面平行的性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，AB=2BC=2，，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】‎ 由AB=c，BC=a，得出a与c的长，再由cosA的值，利用余弦定理求出b的长，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：∵c=2，a=1，cosA=，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：1=b2+4﹣2b，即（b﹣）2=0，‎ 解得：b=，‎ 则S△ABC=bcsinA=．‎ 故选B ‎【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．抛物线y=x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y=x2，即抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴ =1‎ ‎∴抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1）‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得an+1=3an＞0，数列{an}‎ 是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），‎ ‎∴an+1=3an＞0，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比q=3．‎ 又a2+a4+a6=9，‎ ‎∴=a5+a7+a9=33×9=35，‎ 则log（a5+a7+a9）==﹣5．‎ 故选；B．‎ ‎【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．‎ ‎【解答】解：由x＞0， =，‎ 令t=x+，则t≥2=2‎ 当且仅当x=1时，t取得最小值2．‎ 取得最大值，‎ 所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，‎ 则a≥，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，结合三角形内角和定理可求B=，由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，进而利用余弦定理得（a﹣c）2=0，可求A=C=B=，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．‎ ‎【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，（1）‎ ‎∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π，（2）．‎ 由（1）（2）得B=．‎ 由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，‎ 由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 把B=、b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac，‎ 即（a﹣c）2=0，则a=c，从而A=C=B=，‎ ‎∴sinAcosBsinC==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（　　）‎ A． =1 B． =1‎ C． =1 D． =1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10， ==，求出b=6，a=8，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10， ==，‎ ‎∴b=6，∴a=8，故双曲线的方程为=1，‎ 故选 A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=6，a=8，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．若不等式（a2﹣3a﹣4）x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，4） B．（0，4] C．[0，4） D．[0，4]‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】根据一元二次不等式的解集为R求解．‎ ‎【解答】解：不等式（a2﹣3a﹣4）（x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R．‎ 可得：a2﹣3a﹣4＜0，且△=b2﹣4ac＜0，‎ 得：，‎ 解得：0＜a＜4‎ 当a2﹣3a﹣4=0时，即a=﹣1或a=4，不等式为﹣1＜0恒成立，此时解集为R．‎ 综上可得：实数a的取值范围为（0，4]．‎ 故选B ‎【点评】本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的中心为原点，离心率，‎ 且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，‎ ‎∴椭圆的焦点坐标F（0，±），‎ ‎∴设椭圆方程为，‎ 且，解得a=2，c=，∴b==1，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m，n的变化而变化 ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，再由|F1F2|=2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．‎ ‎【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，‎ 双曲线的实轴长为2，‎ 不妨令P在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，①‎ 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，②‎ ‎∵m﹣n=2，∴n=m﹣2，‎ ‎①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），‎ 又∵椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，‎ ‎∴m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=2（m+n）=4m﹣4，‎ ‎|F1F2|2=（2）2=4m﹣4，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，‎ 则△F1PF2的形状是直角三角形 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆和双曲线的简单性质．‎ ‎　‎ ‎12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意a∈R，a*0=a；‎ ‎（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．‎ 则函数f（x）=（ex）*的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+≥1+2=3，‎ 当且仅当ex=时，f（x）=（ex）*的最小值为3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）‎ ‎13．设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为　5　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x+2=0的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，‎ ‎∵点P到直线x+2=0的距离为6，‎ ‎∴点p到准线x=﹣1的距离是6﹣1=5，‎ 根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．‎ ‎　‎ ‎14．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由+=1得到b=＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正数a，b满足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，‎ 则+=+=+4（a﹣1）≥2 =4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）．‎ ‎∴+的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率e等于　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题设条件结合数列的性质，可解得a=3，b=2，利用双曲线的几何量之间的关系可求得，故可求离心率．‎ ‎【解答】解：由题设知，解得a=3，b=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，解题的关键是借助数列的性质，求出a，b，再利用双曲线的简单性质．‎ ‎　‎ ‎16．已知实数x，y满足|x|+y≤1，则的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的公式结合数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由|x|+y≤1得y≤1﹣|x|，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 的几何意义是区域内的点到定点A（3，5）的斜率，‎ 由图象知过A的直线的斜率等于1和﹣1时，直线和区域的边界直线平行，‎ 则的取值范围是k＞1或k＜﹣1，‎ 即（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2016秋•商丘期末）已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2‎ ‎=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．‎ ‎【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．‎ ‎【解答】解：∵方程表示双曲线，‎ ‎∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，‎ 即命题P：a＞1或a＜﹣3；‎ ‎∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，‎ ‎∴4+（a﹣1）2＜8的内部，‎ 解得：﹣1＜a＜3，‎ 即命题q：﹣1＜a＜3，‎ 由pΛq为假命题，¬q也为假命题，‎ ‎∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•兰州模拟）在等差数列{an}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以．所以 ‎=．由此能求出{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．‎ 依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．‎ 所以 a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得 a1=﹣1．‎ 所以数列{an}的通项公式为 an=﹣3n+2．‎ ‎（Ⅱ）解：由数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，‎ 得，即，‎ 所以．‎ 所以 ‎ ‎=．‎ 从而当c=1时，；‎ 当c≠1时，．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2000•上海）已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】先求椭圆的方程，设椭圆C的方程为+=1，根据条件可知a=3，c=2，同时求得b=，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．‎ ‎【解答】解：设椭圆C的方程为+=1，‎ 由题意a=3，c=2，‎ b==1．‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ 联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，‎ 因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，‎ 故线段AB的中点坐标为（﹣，）．（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2004•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（1）证明PA∥平面EDB；‎ ‎（2）证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；‎ ‎（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；‎ ‎（3）必须说明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．‎ 法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．‎ ‎（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA∥平面EDB；‎ ‎（2）证明EF⊥PB，，即可证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大小．‎ ‎【解答】解：方法一：‎ ‎（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，‎ 所以，PA∥平面EDB ‎（2）证明：‎ ‎∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC ‎∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，‎ ‎∴DE⊥PC．①‎ 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．‎ 而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②‎ 由①和②推得DE⊥平面PBC．‎ 而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB 又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．‎ ‎（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．‎ 由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．‎ 设正方形ABCD的边长为a，‎ 则， ．‎ 在Rt△PDB中，．‎ 在Rt△EFD中，，∴．‎ 所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．‎ 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．‎ ‎（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．‎ 依题意得．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．‎ ‎∴，这表明PA∥EG．‎ 而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．‎ ‎（2）证明；依题意得B（a，a，0），‎ ‎．‎ 又，故．‎ ‎∴PB⊥DE．‎ 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．‎ ‎（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．‎ 从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．‎ 由条件EF⊥PB知，，即，解得 ‎∴点F的坐标为，且，‎ ‎∴‎ 即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．‎ ‎∵，且，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．‎ ‎【点评】本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•商丘期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C．‎ ‎（Ⅰ）求角C的值；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且，求a﹣b的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得c2=a2+b2﹣ab，利用余弦定理可求cosC，结合C角为三角形的内角，可求C的值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用正弦定理可求a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a﹣b=2sin（A﹣‎ ‎），可求范围A﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质即可得解a﹣b的范围．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C，‎ ‎∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinAsinB=2（1﹣sin2C），‎ 即sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB，…‎ 由正弦定理得：c2=a2+b2﹣ab，‎ ‎∴，‎ 且角C角为三角形的内角，即．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知…（7分）‎ 由得，a=2sinA，b=2sinB，，…（10分）‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，，又∵，‎ ‎∴A∈（，），‎ ‎∴A﹣∈（﹣，），‎ ‎∴，即a﹣b的取值范围为（﹣1，1）．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•娄星区模拟）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用．‎ ‎【分析】（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证kOA•kOB=﹣1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．‎ ‎（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB=|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|ON|•|y1﹣y2|．‎ ‎【解答】解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）‎ 消去x后，整理得 ky2+y﹣k=0．‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1．‎ ‎∵A、B在抛物线y2=﹣x上，‎ ‎∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12•y22=x1x2．‎ ‎∵kOA•kOB=•===﹣1，‎ ‎∴OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，‎ ‎∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．‎ ‎∵S△OAB=S△OAN+S△OBN ‎=|ON||y1|+|ON||y2|‎ ‎=|ON|•|y1﹣y2|，‎ ‎∴S△OAB=•1•‎ ‎=．‎ ‎∵S△OAB=，‎ ‎∴=．解得k=±．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定．当然，这里消去x是最简捷的．‎ ‎　‎