河北省邯郸市大名中学2019-2020学年高二（清北班）下学期第五次半月考（6月9日）数学试题 11页

‎6月9数学测试题 考试范围：全部内容 120分钟 150分 出题人：张来芬 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，那么集合=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则　　‎ A． B．3 C．4 D．5‎ ‎3．命题：“”的否定形式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．若A为抛物线的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎5．已知函数，若关于的不等式的解集为，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ）‎ A．680 B．640 C．180 D．40‎ ‎7．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）‎ A．24 B．36 C．40 D．44‎ ‎8．已知函数对于任意，均满足，当时，（其中为自然对数的底数），若函数，下列有关函数的零点个数问题中正确的为（ ）‎ A．若恰有两个零点，则 B．若恰有三个零点，则 C．若恰有四个零点，则 D．不存在，使得恰有四个零点 二、多选题 ‎9．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.‎ A．在上是增函数；‎ B．当时，取得极小值；‎ C．在上是增函数、在上是减函数；‎ D．当时，取得极大值.‎ ‎10．下面命题正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”.‎ C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 ‎11．下列说法正确的是（ ）‎ A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍 B．设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位 C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则 ‎12．已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（ ）‎ A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，，则的最大值在或7时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则也为等比数列.‎ 三、填空题 ‎13．已知函数，若，则__________‎ ‎14．三条直线相交于一点，则它们最多能确定________个平面 ‎15．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎16．设是函数的一个极值点，则______.‎ 四、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为.已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18．若的前项和为，点均在函数的图像上.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2），求数列的前项和.‎ ‎19．如图1，在中，分别是边上的中点，将沿折起到的位置，使如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小．“难度系数”的计算公式为，其中，为难度系数，为样本平均失分，为试卷总分（一般为100‎ 分或150分）．某校高三年级的李老师命制了某专题共5套测试卷（每套总分150分），用于对该校高三年级480名学生进行每周测试．测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：‎ 试卷序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度系数 ‎0.7‎ ‎0.64‎ ‎0.6‎ ‎0.6‎ ‎0.55‎ 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：‎ 试卷序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测平均分 ‎102‎ ‎99‎ ‎93‎ ‎93‎ ‎87‎ ‎（1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；‎ ‎（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，记这2套试卷中平均分超过96分的套数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差．设为第套试卷的实测难度系数，并定义统计量，若，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理．试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a•2x﹣a），其中f（x）是偶函数．‎ ‎（1）求实数k的值；‎ ‎（2）求函数g（x）的定义域；‎ ‎(3)若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．B ‎9．BC 10．ABD 11．BD 12．ABC ‎13． 14．3 15． 16．‎ ‎17．（1）；（2）‎ ‎（1）由，‎ 得，‎ 即，‎ 所以，，，，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ ‎，‎ 所以，的值为.‎ ‎18．（1）；（2）.‎ ‎（1）由于点在函数的图像上，所以①.‎ 当时，；‎ 当时，②，‎ ‎①-②得.当时上式也满足，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由于，所以，‎ 所以 所以.‎ ‎19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎（Ⅰ）在图1中，分别为边中点，‎ 所以，又因为所以 在图2中，且，‎ 则平面，又因为，所以平面 又因为平面，所以平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面,且平面 所以平面平面，又因为平面平面 在正中过作，垂足为，则为中点，‎ 且平面，分别以，梯形中位线，‎ 所在直线为轴，轴，轴建立如图坐标系，‎ 则．‎ ‎．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，‎ 平面的一个法向量为．‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．（1）96；（2）分布列见解析，（3）合理，理由见解析 ‎（1）由难度系数的计算公式可得，可得，故第2套试卷的平均分为．‎ ‎（2）的可能取值是0，1，2．‎ ‎；；．‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎（3）由这50名学生的平均分可依次得出这5套试卷的实测难度系数分别为0.68、0.66、0.62、0.62、0.58．则 ‎，‎ 因为，‎ 所以本专题的5套试卷对难度系数的预估是合理的．‎ ‎21．（Ⅰ）；（2）见解析.‎ ‎（Ⅰ）由已知可得：解得：； ‎ 所以椭圆C的方程为：． ‎ ‎（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，．‎ 设，则，即．‎ 则直线BM的方程为：，令，得； ‎ 同理：直线AM的方程为：，令，得．‎ 所以 ‎．‎ 即四边形ABCD的面积为定值2．‎ ‎22．（1）（2）见解析（3）{a|a＞1或a=﹣3}．‎ 试题解析：解：（I）f（x）的定义域为R，‎ ‎∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x）恒成立，‎ 即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，‎ ‎∴log4=2kx，即log4=2kx，‎ ‎∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣． ‎ ‎（II）由g（x）有意义得a•2x﹣＞0，即a（2x﹣）＞0，‎ 当a＞0时，2x﹣＞0，即2x＞，∴x＞log2，‎ 当a＜0时，2x﹣＜0，即2x＜，∴x＜log2．‎ 综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞），‎ 当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2）．‎ ‎（III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣x=log4（a•2x﹣），‎ ‎∴log4=log4（a•2x﹣），即2x+=a•2x﹣，‎ 令2x=t，则（1﹣a）t2+at+1=0，，‎ ‎∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，‎ ‎∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+at+1=0只有一正数解，‎ ‎（1）若a=1，则+1=0，t=﹣，不符合题意；‎ ‎（2）若a≠1，且﹣4（1﹣a）=0，即a=或a=﹣3．‎ 当a=时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意；‎ 当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意；‎ ‎（3）若方程（1﹣a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则＜0，∴a＞1，‎ 综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．‎