2018届二轮复习　概率与统计、算法、推理与证明、复数学案（全国通用） 19页

专题八　‎ 概率与统计、算法、推理与证明、复数 ‎———————命题观察·高考定位———————‎ ‎(对应 生用书第32页)‎ ‎1．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．‎ 　[法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ 法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|‎ ‎＝×＝.]‎ ‎2．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．‎ ‎18　[∵＝＝，‎ ‎∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．]‎ ‎3．(2017·江苏高考)图8－1是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．‎ 图8－1‎ ‎－2　[输入x＝，≥1不成立，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2.故输出y的值为－2.]‎ ‎4．(2017·江苏高考)记函数f (x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．‎ 　[由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，‎ ‎∴P＝.]‎ ‎5．(2016·江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．‎ ‎0.1　[这组数据的平均数为(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，∴S2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]‎ ‎6．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．‎ ‎5　[z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i，故z的实部是5.]‎ ‎7．(2016·江苏高考)如图8－2是一个算法的流程图，则输出的a的值是________. ‎ ‎【导 号：56394053】‎ 图8－2‎ ‎9　[第一次循环：a＝5，b＝7，第二次循环：a＝9，b＝5，此时a>b循环结束a＝9.]‎ ‎8．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．‎ 　[点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为＝.]‎ ‎[命题规律]‎ ‎(1)随机事件的概率、复数、算法程序框图、推理证明在高考中多以填空题的形式考查，并且常与统计知识放在一块考查；‎ ‎(2)借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型 与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查 生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；‎ ‎(3)考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数)．‎ ‎———————主干整合·归纳拓展———————‎ ‎(对应 生用书第32页)‎ ‎[第1步▕ 核心知识再整合]‎ ‎1．随机事件的概率 ‎(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.‎ ‎(2)古典概型的概率：‎ P(A)＝＝；‎ ‎(3)几何概型的概率：‎ P(A)＝＝；‎ ‎(4)互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；对立事件的概率减法公式：P()＝1－P(A)．‎ ‎2．直方图的三个常用结论 ‎(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；‎ ‎(2)各长方形的面积和等于1；‎ ‎(3)小长方形的高＝.‎ ‎3．统计中的四个数据特征 ‎(1)众数、中位数；‎ ‎(2)样本平均数；‎ ‎(3)样本方差；‎ ‎(4)样本标准差．‎ ‎4．线性回归方程 线性回归方程为y＝bx＋a，一定经过样本中心点(，)．‎ ‎5．循环结构的两种基本类型 ‎(1)当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；‎ ‎(2)直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止．‎ 循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构 解决．‎ ‎6．合情推理 ‎(1)归纳推理；(2)类比推理．‎ ‎7．演绎推理 直接证明：综合法，分析法，反证法，数 归纳法．‎ ‎8．复数的相关概念，复数的几何意义，复数的四则运算．‎ ‎9．复数重要性质 i1＝i，i2＝－1, i3＝－i，i4＝1.‎ ‎ i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.‎ ‎[第2步▕ 高频考点细突破]‎ 古典概型与几何概型 ‎【例1】　(1)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主 习测试) 现有4名 生A，B，‎ C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为________．‎ ‎(2)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数 二模)已知Ω1是集合{(x，y)|x2＋y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．‎ ‎[解析]　(1)4名 生A，B，C，D平均分乘两辆车共有六种坐法：(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)，(BC，AD)，(BD，AC)，(CD，AB)，其中“A，B两人恰好乘坐在同一辆车”包含两种坐法，因此所求概率为＝.‎ ‎(2) 不等式x2＋y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；‎ Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，‎ ‎∴所求概率为.‎ ‎[答案]　(1)　(2) ‎[规律方法]　(1)解决古典概型问题，关键是弄清楚基本事件的总数n以及某个事件A所包含的基本事件的个数m，然后由公式P(A)＝ 求概率；‎ ‎(2)几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域；‎ ‎(3)对于较复杂的互斥事件可先分解为基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(江苏省南京市2017届高考三模)甲盒子中有编号分别为1,2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________. ‎ ‎【导 号：56394054】‎ 　[分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，可能出现以下情况：(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、共8种情况，‎ 其中编号之和大于6的有：1＋6＝7,2＋5＝7,2＋6＝8，共3种情况，‎ ‎∴取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为.]‎ 抽样方法 ‎【例2】　(江苏省扬州市2017届高三上 期期末)某 校共有师生3 200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从 生中抽取的人数为150，那么该 校的教师人数是________．‎ ‎[解析]　∵ 校共有师生3 200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴ 校的教师人数为10×20＝200.‎ ‎[答案]　200‎ ‎[规律方法]　‎ 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单 随机 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的机会 均等 从总体中 逐个抽取 总体中的个体数较少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各 部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎(1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本．‎ ‎(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(无锡市普通高中2017届高三上 期期中基础性检测)某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1 200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1∶2∶4∶5，现要用分层抽样的方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为________．‎ ‎10　[由题设乙类产品抽取的件数为×60＝10.]‎ 用样本估计总体 ‎【例3】　(2017届高三七校联考期中考试)某校从高一年级 生中随机抽取100名 生，将他们期中考试的数 成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如下图8－3所示)，则分数在[70,80)内的人数是________．‎ 图8－3‎ ‎[解析]　由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70,80)内的概率为1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3，人数为0.3×100＝30.‎ ‎[答案]　30‎ ‎[规律方法]　(1)利用频率分布直方图估计样本的数字特征 ‎①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．‎ ‎②平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”‎ ‎，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎③众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．‎ ‎(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(江苏省南京市2017届高考三模)如图8－4是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．‎ 图8－4‎ 　[根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为1＝×(7＋7＋9＋14＋18)＝11，‎ 乙的平均数为2＝×(8＋9＋10＋13＋15)＝11；‎ 根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)，‎ 计算乙成绩的方差为：‎ s2＝×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝.]‎ 程序框图的执行 ‎【例4】　(2017·江苏省泰州市高考数 一模)如图8－5是一个算法的流程图，则输出的n的值为________．‎ 图8－5‎ ‎[解析]　当n＝1，a＝1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a＝5，n＝3；‎ 满足进行循环的条件，执行循环后，a＝17，n＝5；‎ 不满足进行循环的条件，退出循环，‎ 故输出n值为5.‎ ‎[答案]　5‎ ‎[规律方法]　此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．‎ 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图8－6是一个算法流程图，则输出的x的值是________．‎ ‎【导 号：56394055】‎ 图8－6‎ ‎9　[第一次循环：x＝5，y＝7，第二次循环：x＝9，y＝5，‎ 结束循环，输出x＝9.]‎ 伪代码的执行 ‎【例5】　(2017·江苏省盐城市高考数 二模)根据如下所示的伪代码，输出S的值为________．‎ ‎[解析]　模拟执行程序，可得 S＝1，I＝1，‎ 满足条件I≤8，S＝2，I＝3；‎ 满足条件I≤8，S＝5，I＝5；‎ 满足条件I≤8，S＝10，I＝7；‎ 满足条件I≤8，S＝17，I＝9；‎ 不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17.‎ ‎[答案]　17‎ ‎[规律方法]　读懂伪代码的关键是正确理解五种语句的功能及执行过程，特别是循环结构中的条件．注意“While”语句与“For”语句的区别．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(江苏省南京市2017届高考三模)执行如下所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为________．‎ ‎－1　[由程序语句知：算法的功能是求 f (x)＝的值，‎ 当x≥0时，y＝2x＋1＝1，解得x＝－1，不合题意，舍去；‎ 当x＜0时，y＝2－x2＝1，解得x＝±1，应取x＝－1；‎ 综上，x的值为－1.]‎ 归纳推理 ‎【例6】　用火柴棒摆“金鱼”，如图8－7所示：‎ 图8－7‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是________．‎ ‎[解析]　由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为6n＋2.‎ ‎[答案]　6n＋2‎ ‎[规律方法]　归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数 家的发现、 家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数 研究的独特方法之一．‎ ‎[举一反三]‎ 一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．‎ 记集合 {1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f (n)．‎ ‎(1)求f (1)，f (2)的值；‎ ‎(2)求f (n)的表达式．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，集合{1,2,3}的子集中“好集”有{3}，{1,2}，{1,2,3}，共3个，∴易得f (1)＝3；‎ 当n＝2时，集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有：‎ 单元集：{3}，{6}共2个，双元集：{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}共5个，五元集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f (2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.‎ ‎(2)首先考虑f (n＋1)与f (n)的关系．‎ 集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入3个元素3n＋1,3n＋2,3n＋3.故f (n＋1)的组成有以下几部分：①原有的f (n)个集合；②含有元素3n＋1的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；‎ ‎③含有元素是3n＋1与3n＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n＋2与3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n＋1与3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n＋1,3n＋2,3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中“好集”与它的并集，再加上{3n＋1,3n＋2,3n＋3}．‎ 所以，f (n＋1)＝‎2 f (n)＋2×23n＋1.‎ 两边同除以2n＋1，得－＝4n＋，‎ 所以＝4n－1＋4n－2＋…＋4＋＋＋…＋＋＝＋1－，‎ ‎ 即f (n)＝＋2n－1.‎ 类比推理 ‎【例7】　在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC‎2”‎．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则______________________________．‎ ‎[解析]　根据平面几何与空间几何中相应量的类比特点，将三棱锥A－BCD的三个两两相互垂直的侧面ABC、ACD、ABD类比为平面几何中直角△ABC的直角边AB、AC，将三棱锥A－BCD的底面BCD类比为直角△ABC的斜边BC，在勾股定理中，用相应的三棱锥的面积替换直角三角形的边长得S＋S＋S＝S.‎ ‎[答案]　S＋S＋S＝S ‎[规律方法]　类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除．在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换．‎ ‎[举一反三]‎ 对于命题：如果O是线段AB上一点，则·＋·＝0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________. ‎ ‎【导 号：56394056】‎ VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0　[根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD 内一点，则有VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.]‎ 间接证明 ‎【例8】　设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎[证明]　(1)假设数列{Sn}是等比数列，‎ 则S＝S1S3；‎ 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，‎ 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，‎ 即q＝0，这与公比q≠0矛盾，‎ 所以数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；‎ 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，‎ 即‎2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，‎ 得q＝0，这与公比q≠0矛盾．‎ 综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．‎ ‎[规律方法]　用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．‎ 用反证法证明数 命题的答题模板：‎ 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；‎ 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定﹁q；‎ 第三步：由p和﹁q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；‎ 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设﹁q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．‎ ‎[举一反三]‎ 直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O 是坐标原点．‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．‎ ‎[解]　(1)因为四边形OABC为菱形，‎ 所以AC与OB相互垂直平分．‎ 所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，‎ 即t＝±.‎ 所以|AC|＝2.‎ ‎(2)证明：假设四边形OABC为菱形．‎ 因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.‎ 设AC的方程为y＝kx＋m，k≠0，m≠0.‎ 由消y并整理得 ‎(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0. ‎ 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 ＝－，‎ ＝k·＋m＝.‎ 所以AC的中点为M.‎ 因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，‎ 所以直线OB的斜率为－.‎ 因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直，‎ 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．‎ 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.‎ 复数 ‎【例9】　(江苏省南京市2017届高考三模)若复数z满足z＋2 ‎＝3＋2i，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为________．‎ ‎[解析]　设z＝a＋bi，则＝a－bi，‎ 由z＋2＝3＋2i，得‎3a－bi＝3＋2i，∴a＝1，b＝－2，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎[规律方法]　处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题 处理．‎ ‎(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组) 求未知数的值．‎ ‎(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．‎ 对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z＝a＋bi(a，b∈R)，实部为a，虚部为b.(1)复数的概念：①z为实数⇔b＝0；②z为纯虚数⇔a＝0且b≠0；③z为虚数⇔b≠0.(2)复数的几何意义：①z＝a＋bi⇔z在复平面内对应的点Z(a，b)⇔z在复平面对应向量＝(a，b)；②复数z的模|z|＝|a＋bi|＝.(3)共轭复数：复数z＝a＋bi与＝a－bi互为共轭复数．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数 二模)已知i是虚数单位，复数z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且＝1＋i，则y＝________.‎ ‎1　[∵复数z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且＝1＋i，‎ ‎∴＝1＋i，化为：3＋yi＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴y＝1.]‎ ‎[第3步▕ 高考易错明辨析]‎ ‎1．忽视判别式Δ适用的前提 求实数m的取值范围，使方程x2＋(m＋4i)x＋(1＋‎2mi)＝0至少有一个实根．‎ ‎[错解]　由于方程x2＋(m＋4i)x＋(1＋‎2mi)＝0至少有一根，则Δ＝(m＋4i)2‎ ‎－4(1＋‎2mi)＝m2－20≥0，解得m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围是∪.‎ ‎[错解分析]　忽略了Δ≥0判断一元二次方程使用的情形，利用Δ的符号 判断一元二次方程是否存在实根的前提是实系数一元二次方程．‎ ‎[正解]　设x2＋(m＋4i)x＋(1＋‎2mi)＝0的一个实数根为a(a∈R)，则a2＋(m＋4i)a＋(1＋‎2mi)＝0，即(a2＋am＋1)＋(‎4a＋‎2m)i＝0，‎ 根据复数相等得， 解得 或故m＝±2.‎ ‎2．忽视对循环结构的合理分析 如果执行如图8－8所示的程序框图，那么输出的S＝________.‎ 图8－8‎ ‎[错解]　S＝1＋2＋3＋…＋100＝5 050.‎ ‎[错解分析]　缺乏对循环结构的合理分析，没有注意到循环结构中变量S的计算公式S＝S＋2k，没有注意到每次加上的2k为偶数，从而对算法程序框图的理解错误，导致运算错误．‎ ‎[正解]　由程序框图可知，算法表示的是计算100以内所有正偶数的和，即S＝2＋4＋6＋…＋100＝2 550.‎ ‎———————专家预测·巩固提升———————‎ ‎(对应 生用书第38页)‎ ‎1．(改编题)高三年级有男生480人，女生360人，若用分层抽样的方法从高三年级 生中抽取一个容量为21的样本，则抽取男生的人数为________．‎ ‎12　[设抽取男运动员人数为n，则＝，解之得n＝12.]‎ ‎2．(原创题)已知函数f (x)＝cos，a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f (x)在[0,4]上零点的个数大于或等于5的概率为________．‎ 　[由已知函数f (x)在[0,4]上零点的个数大于或等于5等价于函数f (x)的周期小于或等于2，即≤2，∴a≥3，∴a＝3,4,5,6，而所有的a值共6个，故所求的概率为P＝.]‎ ‎3．(原创题) 以下茎叶图8－9记录了甲、乙两组各六名同 在某次考试中的数 成绩(百分制)．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，但是知道甲组的中位数小于乙组的中位数，若图中的模糊数字用a表示，则a的值为________．‎ 图8－9‎ ‎8或9　[由已知可得＜，a＝8或a＝9.]‎ ‎4．(原创题)在复数集C上定义运算“”：当|z1|≥|z2|时，z1z2＝；当|z1|<|z2|时，z1z2＝z1z2，若z1＝1＋3i，z2＝1＋i，z3＝3－i，则复数(z1z2)z3在复平面内所对应的点位于第________象限. ‎ ‎【导 号：56394057】‎ 一　[∵z1＝1＋3i，z2＝1＋i，则|z1|＝，|z2|＝，所以z1z2＝＝＝＝＝2＋i，且|z1z2|＝，|z3|＝|3－i|＝，因此(z1z2)z3＝(2＋i)·(3－i)＝7＋i，所对应的点的坐标为(7,1)，故复数(z1z2)z3在复平面内所对应的点位于第一象限．]‎ ‎5．(原创题)执行如图8－10所示的算法程序框图，若输出的y值满足y≤，则输入的x值的取值范围是________．‎ 图8－10‎ ‎(－∞，－1]∪(0，]　[由算法框图可知对应的函数为y＝当x≤0时，y＝2x，令y≤，即2x≤，解得x≤－1，当x＞0时，y＝log2x，令y≤，即log2x≤，解得0＜x≤.综上所述，输入的x值的取值范围是(－∞，－1]∪(0，]．]‎