高中数学人教a版选修4-1配套课件：2_4 弦切角的性质 30页

第 4 课时　弦切角的性质 【 课标要求 】 1 ． 通 过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和化归思想在数学思想中的作用． 2 ． 理 解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题． 【 核心扫描 】 1 ． 弦 切角定理的理解． ( 重点 ) 2 ．用弦切角定理解决有关问题． ( 难点 ) 自学导引 1 ． 弦切角的概念 定 义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角． 如图所示， ∠ ACD 和 ∠ BCD 都是弦切角． 推敲引申 ： (1) 弦切角必须具备三个条件： ① 顶点在圆上 ( 顶点为圆切线的切点 ) ； ② 一边和圆相切 ( 一边所在直线为圆的切线 ) ； ③ 一边和圆相交 ( 一边为圆的过切点的弦 ) ． 三者缺一不可，例如图中， ∠ CAD 很像弦切角，但它不是弦切角，因为 AD 与圆相交， ∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE 切圆于点 A ，才能确定它是弦切角． (2) 弦切角也可以看做圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系． (2) 弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况 ( 如图所示 ) 进行证明． ① 圆心在弦切角 ∠ BAC 一边上； ② 圆心在弦切角 ∠ BAC 外部； ③ 圆心在弦切角 ∠ BAC 内部． (3) 由定理可得：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 名师点睛 1 ． 圆心角、圆周角、弦切角三者之间的区别 圆心角 圆周角 弦切角 图形 顶点位置 在圆心 O 在圆周上 在圆周上 两边与圆的关系 两边都 和圆相交 两边都 和圆相交 一边和圆相切，一边和圆相交 2. 与弦切角定理有关的结论 (1) 弦 切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． (2) 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半． (3) 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等． 如图所示，因为 ∠ BDE 与 ∠ BED 所夹的弧是同一个弧，所以 ∠ BDE ＝ ∠ BED ； 如果 EM ＝ DM ，也可以得出 ∠ CEM ＝ ∠ ADM . 3 ．在圆中有丰富的相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的． 由此可见，弦切角是很重要的与圆相关的角．其主要功能在于协调与圆相关的各种角 ( 如圆心角、圆周角等 ) ，是架设圆与三角形全等、三角形相似、与圆相关的各种直线 ( 如弦、割线、切线 ) 位置关系的桥梁，因而弦切角也是确定圆的几何定理的关键环节 ( 如证明切割线定理 ) ． 反思感悟　 (1) 利用弦切角解决与角有关问题的步骤： ① 根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角； ② 利用弦切角定理找出与其相等的角； ③ 综合运用相关的知识进行角的求解． (2) 注意事项： ① 要注意观察图形，不要想当然．图形是最好的指导，要学会让图形 “ 说话 ” ，寻找解题的突破口，要特别重视数形结合思想的应用． ② 要注意圆周角定理、圆内接四边形的性质定理、相似三角形、射影定理等知识的综合应用． 【 变式 1】 如 图所示， AB 为 ⊙ O 的直径， C 为 ⊙ O 上一点， AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D . 求证： AC 平分 ∠ DAB . 证明　法一　 如图所示，连接 OC . ∵ CD 是 ⊙ O 的切线， ∴ OC ⊥ CD . 又 ∵ AD ⊥ CD ， ∴ OC ∥ AD . 由此得 ∠ ACO ＝ ∠ CAD . ∵ OC ＝ OA ， ∴∠ CAO ＝ ∠ ACO ， ∴∠ CAD ＝ ∠ CAO . 故 AC 平分 ∠ DAB . 法二　 ∵ CD 为 ⊙ O 的切线，连接 CB ，如图所示， 由弦切角定理知 ∠ ACD ＝ ∠ B . ① 又 ∵ AB 为直径， C 为 ⊙ O 上一点， ∴∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ B ＋ ∠ CAB ＝ 90°. ② 又 ∵ AD ⊥ CD ， ∴∠ DAC ＋ ∠ ACD ＝ 90°. ③ 由 ①②③ 知 ∠ DAC ＝ ∠ CAB ， ∴ AC 平分 ∠ DAB . 题型二　利用弦切角解决与长度有关的问题 【 例 2】 如 图，已知 MN 是 ⊙ O 的切线， A 为切点， MN 平行于弦 CD ，弦 AB 交 CD 于 E ，求证： AC 2 ＝ AE · AB . [ 思维启迪 ] 欲证 AC 2 ＝ AE · AB ， 只需证此三条线段所在的 △ ACE 与 △ ABC 相似，连结 BC . 反思感悟　 (1) 此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这种类型的题较常见． (2) 证明线段相等，借助于弦切角定理和圆的其他性质 ( 如等弧所对的弦相等 ) 以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等． 题型三　弦切角的综合应用 【 例 3】 如图 所示， CF 是 ⊙ O 的直径， CB 是 ⊙ O 的弦， CB 的延长线与过点 F 的 ⊙ O 的切线交于点 P . (1) 如图 ① ，如果 ∠ P ＝ 45° ， PF ＝ 10 ，求 ⊙ O 的半径长； (2) 如图 ② ，如果 E 是 BC 上的一点，且满足 PE 2 ＝ PB · PC ，连接 EF 并延长交 ⊙ O 于点 A ，求证：点 A 是 BC 的中点． [ 思维启迪 ] (1) 由切线的性质定理，知 △ PCF 是等腰直角三角形，因此求出 CF 的长，进而求出半径； (2) 中，利用弦切角定理，可以求出两个三角形中，有一组角相等，然后利用相似三角形的判定及性质，可证出 AC 与 A B 所对的圆周角相等，从而证出点 A 是 BC 的中点． (1) 解　 ∵ PF 是切线， ∴△ PCF 是直角三角形， ∵∠ P ＝ 45° ， ∴ PF ＝ CF ， ∴ 2 r ＝ PF ＝ 10 ， ∴ r ＝ 5 ， ∴⊙ O 的半径为 5. 反思感悟　 (1) 弦切角是很重要的与圆相交的角．其主要功能是协调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁． (2) 弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理． (3) 弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现． 【 变式 3】 如图 所示 ， ⊙ O 1 与 ⊙ O 2 交 于 A 、 B 两点，过 ⊙ O 1 上一点 P 作直 线 PA 、 PB 分别交 ⊙ O 2 于点 C 和点 D ， EF 切 ⊙ O 1 于点 P . 求证： EF ∥ CD . 证明　连接 AB ， ∵ EF 是 ⊙ O 切线，由弦切角定理知， ∠ FPA ＝ ∠ PBA ，又在 ⊙ O 2 中，四边形 ABCD 为圆内接四边形， ∴∠ C ＝ ∠ ABP ， ∴∠ FPA ＝ ∠ C ， ∴ EF ∥ CD . 高考在线　弦切角在三角形相似中的应用 考点点击　 这部分知识近几年才从初中知识中分离出来，在高考中已有所涉及，题目难度不大． 【 考题 1】 (2011 · 天 津高考 ) 如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F ， E 是 AB 延长线上一点，且 DF ＝ CF ＝， AF ∶ FB ∶ BE ＝ 4 ∶ 2 ∶ 1. 若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为 ________ ． 【 考题 2】 (2012 · 辽宁高考 ) 如图， ⊙ O 和 ⊙ O ′ 相交于 A ， B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C ， D 两点，连结 DB 并延长交 ⊙ O 于点 E . 证明 (1) AC · BD ＝ AD · AB ； (2) AC ＝ AE . 反思感悟　 本题主要考查相似三角形、圆中有关定理的应用，考查推理论证能力． 反思感悟　 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周角、弦切角、三角形相似、弦、弦之间的关系，题目难易适中，重在考查对平面几何中基本知识的掌握．