2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第八章　第1讲　简单几何体及其直观图、三视图 21页

第 1 讲　简单几何体及其直观图、三视图 一、知识梳理 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系 xOy，画直观图时，它们分别对应 x′轴和 y′轴， 两轴交于点 O′，使 x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面． ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴和 y′轴的线段． ③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长 度为原来的 1 2． 3．三视图 (1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 常用结论 1．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”{坐标轴的夹角改变 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变 “三不变”{平行性不改变 与x，z轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变 2．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形． 二、教材衍化 1．下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析：选 D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不 变． 2．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号) 答案：③⑤ 3．已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是________．(填序号) 解析：由俯视图定义易知选项③符合题意． 答案：③ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　) (6)菱形的直观图仍是菱形．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)棱柱的概念不清致误； (2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错； (3)斜二测画法的规则不清致误． 1．如图，长方体 ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中 EH∥A′D′.剩下的几何 体是(　　) A．棱台　　　　　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析：选 C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选 C. 2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视 图如图所示，则该几何体的左视图为(　　) 解析：选 B.先根据主视图和俯视图还原出几何体，再作其左视图．由几何体的主视图 和俯视图可知该几何体为图①，故其左视图为图②.故选 B. 3．在直观图(如图所示)中，四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm，则在平面直角坐标 系 xOy 中，四边形 ABCO 为________，面积为________cm2. 解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCO 是一个长为 4 cm，宽为 2 cm 的矩形，所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2. 答案：矩形　8 　　　　　　空间几何体的几何特征(自主练透) 1．下列说法正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析： 选 D.由图知，A 不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体， 则 B 不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故 C 错误．由定义 知，D 正确． 2．给出下列几个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误， 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一 定相等． 3．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； ③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正 方体 ABCD­A1B1C1D1 中的三棱锥 C1­ABC，四个面都是直角三角形． 答案：②③④ 空间几何体概念辨析问题的常用方法 　 　　　　　　空间几何体的三视图(多维探究) 角度一　已知几何体，识别三视图 (1)(2020·宜宾模拟)已知棱长都为 2 的正三棱柱 ABC­A 1B1C1 的直观图如图．若 正三棱柱 ABC­A1B1C1 绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的左视图可以为(　　) (2)(2020·湖南衡阳二模)如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1 的顶点 A，B 在平面 α 上，AB＝ 2. 若 平 面 A1B1C1D1 与 平 面 α 所 成 角 为 30 ° ， 由 如 图 所 示 的 俯 视 方 向 ， 正 方 体 ABCD­A1B1C1D1 在平面 α 上的俯视图的面积为(　　) A．2 B．1＋ 3 C．2 3 D．2 2 【解析】　(1)由题知，四个选项的高都是 2.若左视图为 A，则中间应该有一条竖直的 实线或虚线；若左视图为 C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若左视图为 D，则 长度应为 3，而不是 1.故选 B. (2)由题意得 AB 在平面 α 内，且平面 α 与平面 ABCD 所成的角为 30°，与平面 B1A1AB 所成的角为 60°，故所得的俯视图的面积 S＝ 2×( 2cos 30°＋ 2cos 60°)＝2(cos 30°＋ cos 60°)＝1＋ 3. 【答案】　(1)B　(2)B 角度二　已知三视图，判断几何体 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图， 则这个几何体是(　　) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 (2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1) 由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选 B. (2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱 锥，如图所示． 易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2， AB⊥AD，PA⊥平面 ABCD，故△PAD，△PAB 为直角三角形， 因为 PA⊥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥BC，又 BC⊥AB，且 PA∩AB＝A， 所以 BC⊥平面 PAB，又 PB⊂平面 PAB，所以 BC⊥PB， 所以△PBC 为直角三角形，容易求得 PC＝3，CD＝ 5，PD＝2 2， 故△PCD 不是直角三角形，故选 C. 【答案】　(1)B　(2)C 【迁移探究 1】　(变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是 多少？ 解：由三视图可知，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝2 2，PC＝3， CD＝ 5，故最长棱为 PC，且|PC|＝3. 【迁移探究 2】　(变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面 积． 解：面积最小的面为面 PBC，且 S△PBC＝1 2BC·PB ＝1 2×1×2 2＝ 2， 即最小面的面积为 2. 角度三　已知几何体的某些视图，判断其他视图 (1)(2020·福州模拟)如图为一圆柱切削后的几何体及其主视图，则相应的左视图 可以是(　　) (2)(2020·河北衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈、长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的主视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的 左视图的周长为(　　) A．3 丈 B．6 丈 C．8 丈 D．(5＋ 13)丈 【解析】　(1)圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合主视图，可 知左视图最高点在中间，故选 B. (2)由题意可知该楔体的左视图是等腰三角形，它的底边长为 3 丈，相应高为 2 丈，所 以腰长为 22＋(3 2 )2 ＝5 2(丈)，所以该楔体左视图的周长为 3＋2×5 2＝8(丈)．故选 C. 【答案】　(1)B　(2)C 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到 的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直 观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项 代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视 图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．　 1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼， 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　) 解析：选 A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所 以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 2．(2020·安徽宣城二模)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积 最大面的面积是(　　) A．2 B．2 2 C．2 3 D．4 解析：选 C. 如图所示，由三视图可知该几何体是四棱锥 P­ABCD 截去三棱锥 P­ABD 后得到的三棱 锥 P­BCD.其中四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AB＝2，易知面 积最大面为面 PBD，面积为 3 4 ×(2 2)2＝2 3.故选 C. 3．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在主视图上的 对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2 17 B．2 5 C．3 D．2 解析：选 B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长 为 16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接 MN，则 MS＝2，SN＝4，则从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 MS2＋SN2＝ 22＋42＝2 5.故选 B. 　　　　　　空间几何体的直观图(自主练透) 1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形 ABCD 为(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 解析：选 D.由斜二测画法可知在原四边形 ABCD 中 DA⊥AB，并且 AD∥BC，AB∥ CD，故四边形 ABCD 为矩形． 2．已知等边三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A. 3 4 a2 B． 3 8 a2 C. 6 8 a2 D． 6 16a2 解析：选 D.如图①②所示的实际图形和直观图， 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1 2OC＝ 3 4 a，在图②中作 C′D′⊥A′B′于点 D′，则 C′D′＝ 2 2 O′C′＝ 6 8 a.所以 S△A′B′C′＝1 2A′B′·C′D′＝1 2×a× 6 8 a＝ 6 16a2.故选 D. 3．在等腰梯形 ABCD 中，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直 线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________． 解析：因为 OE＝ （ 2）2－12＝1， 所以 O′E′＝1 2，E′F′＝ 2 4 . 所以直观图 A′B′C′D′的面积为 S′＝1 2×(1＋3)× 2 4 ＝ 2 2 . 答案： 2 2 (1)斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”{坐标轴的夹角改变 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变 “三不变”{平行性不改变 与x，z轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变 (2)平面图形直观图与原图形面积间的关系 对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积 S 与直观图面积 S′之间的 关系 S′＝ 2 4 S，能更快捷地进行相关问题的计算．　 　构造法求解三视图问题的三个步骤 三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目， 是高考的热点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，而由三视图还原几何体只要按 照以下三个步骤去做，基本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体， 在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向 上(或向下)作垂线，找到顶点，连线即可． 　一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为 1，则该几何 体的体积为(　　) A.1 6 B． 2 6 C. 3 6 D．1 2 【解析】　 几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角 线．②俯视图是正方形，有四个直角，主视图和左视图中分别有一个直角．主视图和左视图 中的直角对应上底面左边外侧顶点(图中 D 点上方顶 点)，将该顶点下拉至 D 点，连接 DA，DB，DC 即可．该几何体即图中棱长为 1 的正 方体中的四面体 ABCD，其体积为1 3×1 2×1×1×1＝1 6.故选 A. 【答案】　A 　如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为 2 的等腰直角三角形，还 原其直观图． 【解】　第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①. 第二步，找直角，在俯视图、主视图和左视图中都有直角． 第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体 为三棱锥 A­BCD，如图②. [基础题组练] 1． 如图所示是水平放置的三角形的直观图，点 D 是△ABC 的 BC 边的中点，AB，BC 分别与 y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段 AB，AD，AC 中(　　) A．最长的是 AB，最短的是 AC B．最长的是 AC，最短的是 AB C．最长的是 AB，最短的是 AD D．最长的是 AC，最短的是 AD 解析：选 B.由条件知，原平面图形中 AB⊥BC，从而 AB