数学理卷·2018届天津市第一中学高三上学期第一次月考（2017 9页

天津一中2017-2018高三年级一月考 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟学生务必讲答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。‎ 一、 选择题：‎ ‎1. （ ）‎ ‎ ‎ ‎2.对任意的实数，若表示不超过的最大整数，则是的（ ）‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 3. 把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4. 已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）‎ ‎ ‎ 5. 已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，,则的值为 （ ）‎ ‎ ‎ 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎7. 已知函数经过点，且与的图象关于直线对称，分别是函数,上的动点，则的最小值是（ ）‎ ‎ ‎ 8. 已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ 二、 填空题：‎ 9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 .‎ 10. 已知的展开式中含有项的系数是54，则 .‎ 11. 在极坐标系中，点在圆上，则点的坐标为，则的最小值为 .‎ 12. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .‎ 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，在区间上单调递减，且，若实数满足，则实数的取值范围为 .‎ 14. 若关于的不等式的解集为，且中只有两个整数，则实数的取值范围为 . ‎ ‎ ‎ 15. 已知函数，‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎（II）求在区间上的最大值和最小值.‎ 16. 在锐角中，的对边分别为，且成等差数列.‎ ‎（I）求角的值；‎ ‎（II）若且，求的取值范围.‎ ‎17.一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：‎ 所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况 所获得的积分 ‎180‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎0‎ ‎（I）求一次摸奖中，所获取的三个球中恰有两个是红球的概率；‎ ‎（II）设一次摸奖中，他们所获得的积分为，求的分布列及均值（数学期望）.‎ ‎（III）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率.‎ 18. 已知 ‎（I）当时，求曲线在点处的切线方程及的单调区间 ‎（II）设是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围 19. 已知数列的前项和为，（且），数列满足：且（且）‎ ‎（I）求数列的通项公式 ‎（II）求证：数列为等比数列 ‎（III）求数列的前项和的最小值 20. 已知函数 ‎（I）讨论函数在上的单调性 ‎（II）设函数存在两个极值点，并记作，若，求正数的取值范围 ‎（III）求证：当时，（其中为自然对数的底数）‎ 参考答案：‎ 一. 选择题 ‎ 1. ‎ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.‎ 二.填空题 ‎9. 10. 11. 12. 13. 14.‎ 三.解答题 ‎15.（I）‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为 ‎（II）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数，又，‎ 故函数在区间上的最大值为，最小值为 16. ‎（I）因为成等差数列，所以 由正弦定理得 即 因为 又，所以 ‎（II），‎ ‎,又是锐角三角形，‎ ‎,‎ 16. ‎（I）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件，则事件包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为 父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球其概率为 故 ‎（II）解：可以取，取各个值得概率分别为：‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 故的分布为：‎ 的均值为：‎ ‎（III）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得个积分的次数 则 18. ‎（I）当时，‎ 分别解不等式与，可得函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为 ‎（II）在上单调递增 由在上恒成立，可得 18. ‎（I）由得，即（且）‎ 则数列为以为公差的等差数列，所以 ‎（II）因为，所以，所以 所以 所以 ‎（III）所以数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎（III）由（II）得 所以 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以数列从第项起的各项均大于，故数列的前项之和最小 记数列的前项和为，则 18. ‎（I） ‎ 当时，，函数在上是增函数 当时，由得，计算得出（负值舍去）‎ 所以当时，，从而，函数在上是减函数；当时，，从而，函数在上是增函数 综上，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数 ‎（II）由（I）知，当时，，函数无极值点 要使函数存在两个极值点，必有，切极值点必为，‎ 又由函数定义域知，则有即化为，所以 所以，函数存在两个极值点时，正数的取值范围是 由式可以知道，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 不等式化为 令所以 当时，，所以，不合题意 当时，‎ 所以在上是减函数，所以，适合题意，即 综上，若，此时正数的取值范围是 ‎（III）当时，‎ 不等式可化为 所以要证不等式，即证，即证 设，则在上，，是减函数；在上，，是增函数，所以 设，则是减函数，所以 所以，即 所以当时，不等式