数学卷·2018届湖北省仙桃中学高二上学期10月月考数学试卷 （解析版） 15页

‎2016-2017学年湖北省仙桃中学高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎4．过两点（﹣1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎5．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）‎ A．20 B．35 C．45 D．55‎ ‎6．曲线y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小区域的面积为（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎7．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（　　）‎ A．3﹣1 B．2 C．4 D．5‎ ‎8．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4‎ ‎9．若曲线x2+y2+a2x+（1﹣a2）y﹣4=0关于直线y﹣x=0对称的曲线仍是其本身，则实数a为（　　）‎ A．± B．± C．或﹣ D．﹣或 ‎10．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1‎ ‎11．若实数x，y满足，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎12．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（　　）‎ A．﹣5 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是　　．‎ ‎14．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是　　．‎ ‎15．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为　　．‎ ‎16．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，18，19，20，21，22每题12分）‎ ‎17．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．‎ ‎18．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（0，2），则这个圆的方程是　　．‎ ‎19．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表：‎ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为　　．‎ ‎20．已知圆C与圆x2+y2﹣2x=0相外切，并且与直线x+y=0相切于点Q（3，﹣），求圆C的方程．‎ ‎21．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，‎ ‎（1）求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．‎ ‎22．已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎（1）求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省仙桃中学高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】先求出直线的斜率tanθ 的值，根据倾斜角θ 的范围求出θ的大小．‎ ‎【解答】解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，‎ 设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，‎ 又 0≤θ＜π，∴θ=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，‎ 从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，‎ 则该几何体可以是圆台．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】由题意可知圆锥的侧面展开图是半圆，就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．‎ ‎【解答】解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，‎ 则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为60°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．过两点（﹣1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】由两点式写出直线的方程，再令纵坐标为0，即可求出其在x轴上的截距．‎ ‎【解答】解：由直线过（﹣1，1）、（3，9）两点，‎ 故直线方程为，即2x﹣y+3=0‎ 令y=0 得 x=﹣．‎ 故应选A．‎ ‎　‎ ‎5．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）‎ A．20 B．35 C．45 D．55‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：‎ 令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大 作直线l：2x+3y=0‎ 把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，‎ 由可得x=5，y=15，此时z=55‎ 故选D ‎　‎ ‎6．曲线y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小区域的面积为（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．‎ ‎【分析】由题意可知y=x与y=﹣x的夹角为90°，则曲线y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小区域的面积为S=，代入可求 ‎【解答】解：由于直线y=x的斜率k=1，y=﹣x的斜率k=﹣1‎ ‎∴y=x与y=﹣x的夹角为90°‎ ‎∴曲线y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小区域的面积为S===π 故选C ‎　‎ ‎7．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（　　）‎ A．3﹣1 B．2 C．4 D．5‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；图形的对称性．‎ ‎【分析】先作出圆C关于x轴的对称的圆C′，问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径，方法是连接AC′与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出AC′，然后减去半径即可求出．‎ ‎【解答】‎ 解：先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′，则圆C′的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=1，所以圆C′的圆心坐标为（2，﹣3），半径为1，‎ 则最短距离d=|AC′|﹣r=﹣1=5﹣1=4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．‎ ‎【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．若曲线x2+y2+a2x+（1﹣a2）y﹣4=0关于直线y﹣x=0对称的曲线仍是其本身，则实数a为（　　）‎ A．± B．± C．或﹣ D．﹣或 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先把圆方程整理成标准方程求得圆心的坐标的表达式，代入直线方程中求得a．‎ ‎【解答】解：由题意知，圆心C（﹣，）在直线y﹣x=0上，‎ ‎∴+=0，‎ ‎∴a2=，∴a=±．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），‎ 则 代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．若实数x，y满足，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出不等式组对应的平面区域，在根据的取值范围即为平面区域内的点与坐标原点连线的斜率结合图象即可的出结论．‎ ‎【解答】解：实数x，y满足，对应的平面区域为：‎ 因为的取值范围即为平面区域内的点与坐标原点连线的斜率；‎ 根据图象可知，所求直线应该在与x﹣y+1=0平行的直线以及x轴之间，‎ 故的最小值大于1，无最大值．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（　　）‎ A．﹣5 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．‎ ‎【解答】解：不等式组所围成的区域如图所示．‎ ‎∵其面积为2，‎ ‎∴|AC|=4，‎ ‎∴C的坐标为（1，4），‎ 代入ax﹣y+1=0，‎ 得a=3．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是　x﹣y﹣2=0　．‎ ‎【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．‎ ‎【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．‎ ‎【解答】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），‎ 所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，‎ 故答案为x﹣y﹣2=0．‎ ‎　‎ ‎14．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是　2+　．‎ ‎【考点】斜二测法画直观图．‎ ‎【分析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，即可求出其面积．‎ ‎【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，‎ ‎∴这个平面图形的面积==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】分别取AB、CD的中点G、H，连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥E﹣AGHD与一个三棱柱EGH﹣FBC，由此能求出该面体的体积．‎ ‎【解答】解：分别取AB、CD的中点G、H，‎ 连EG，GH，EH，‎ 把该多面体分割成一个四棱锥E﹣AGHD与一个三棱柱EGH﹣FBC，‎ ‎∵面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，‎ EF=，EF与面AC的距离为2，‎ ‎∴S四边形AGHD=3×=，S△EGH==3，‎ ‎∴四棱锥E﹣AGHD的体积为V1==3，‎ 三棱柱EGH﹣FBC的体积V2==，‎ ‎∴整个多面体的体积为V=V1+V2=3+=．‎ ‎　‎ ‎16．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是　（﹣∞，1）　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．‎ ‎【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，‎ ‎∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．‎ 又圆关于直线y=2x+b成轴对称，‎ ‎∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．‎ 故答案为：（﹣∞，1）‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，18，19，20，21，22每题12分）‎ ‎17．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】设点A′的坐标为（m，n），求得A′A的中点B的坐标并代入直线l的方程得到①，再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得到 ②，解①②求得m，n 的值，即得点A′的坐标．‎ ‎【解答】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），‎ 则线段A′A的中点B（，），‎ 由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故 2×﹣﹣1=0 ①．‎ 再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得 ×=﹣1 ②，‎ 解①②做成的方程组可得：‎ m=﹣，n=，‎ 故点A′的坐标为（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎18．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（0，2），则这个圆的方程是　（x﹣3）2+（y﹣3）2=10　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】要求圆的方程即要知道圆心坐标和圆的半径，根据垂径定理可知，圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点为圆心，所以利用中点坐标公式及两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出AC的垂直平分线的方程，显然AB的垂直平分线为x=3，把两条垂直平分线的方程联立即可求出圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出圆心与A的距离即为圆的半径，根据圆心与半径即可写出圆的方程．‎ ‎【解答】解：线段AB的垂直平分线为x=3①，线段AC的中点坐标为（，）即（1，1），直线AC的斜率为=﹣1，所以AC的垂直平分线的斜率为1，则AC的垂直平分线方程为：y﹣1=x﹣1②，‎ 联立①②得解得交点坐标即为圆心坐标（3，3）；‎ 圆的半径r==，则圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=10‎ 故答案为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=10‎ ‎　‎ ‎19．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表：‎ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为　30；20　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润z万元，求出目标函数，以及线性约束条件，利用线性规划求出结果即可．‎ ‎【解答】解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润z万元，‎ 则目标函数z=（0.55×4x﹣1.2x）+（0.3×6y﹣0.9y）=x+0.9y 线性约束条件为即 做出可行域，求得A（0，50），B（30，20），C（0，45），‎ 平移直线z=x+0.9y，可知直线z=x+0.9y，经过点B（30，20），‎ 即x=30，y=20时，z取得最大值．‎ 故答案为：30；20．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C与圆x2+y2﹣2x=0相外切，并且与直线x+y=0相切于点Q（3，﹣），求圆C的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．‎ ‎【分析】设圆C的圆心为（a，b ），由圆C与圆x2+y2﹣2x=0相外切，并且与直线x+y=0相切于点Q（3，﹣），可以构造关于a，b的方程，解方程求 出a，b，r，即可得到圆C的方程．‎ ‎【解答】解：∵圆C与圆x2+y2﹣2x=0相外切，‎ 故两个圆心之间的距离等于半径的和，‎ 又∵圆C与直线x+y=0相切于点Q（3，﹣），‎ 可得圆心与点Q（3，﹣）的连线与直线x+y=0垂直，其斜率为 设圆C的圆心为（a，b ），‎ 则，‎ 解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=﹣4，r=6，‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣4）2+y2=4或x2+（y+4）2=36．‎ ‎　‎ ‎21．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，‎ ‎（1）求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．‎ ‎（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆C过原点O，‎ ‎∴，‎ 设圆C的方程是，‎ 令x=0，得，‎ 令y=0，得x1=0，x2=2t ‎∴，‎ 即：△OAB的面积为定值；‎ ‎（2）∵OM=ON，CM=CN，‎ ‎∴OC垂直平分线段MN，‎ ‎∵kMN=﹣2，∴，‎ ‎∴直线OC的方程是，‎ ‎∴，解得：t=2或t=﹣2，‎ 当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，‎ 此时C到直线y=﹣2x+4的距离，‎ 圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点，‎ 当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，‎ 此时C到直线y=﹣2x+4的距离，‎ 圆C与直线y=﹣2x+4不相交，‎ ‎∴t=﹣2不符合题意舍去，‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎（1）求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．‎ ‎（2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到 ‎|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），‎ 由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）‎ ‎∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．‎ 故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎（2）设PQ的中点为N（x，y），‎ 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，‎ 设O为坐标原点，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，‎ 所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．‎