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- 2021-07-01 发布
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2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合A,再求和.
【详解】由题得A={x|-20,，进而得到结果.
【详解】已知,=,>0,
进而得到.
故答案为：A.
【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.
7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案。
【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；
数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；
数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；
则一共可以表示个两位数；
故选：．
【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意。
8.在矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过线性运算将变为，由垂直关系可知；由数量积定义可求得，代入得到结果.
【详解】如图：
由，得：，
又
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.
9.函数图象的大致形状是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用的值的符号进行排除即可．
【详解】
则
则是偶函数，图象关于轴对称，排除
当时，，排除
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．
10.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 36 B. 24 C. 72 D. 144
【答案】C
【解析】
【分析】
两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法。
【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，
插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，
故有种，
故选：．
【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题
11.已知函数，若方程的解为， （），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定的值.
【详解】函数的对称轴满足：，
即，令可得函数在区间上一条对称轴为，
结合三角函数的对称性可知，则：，
，
由题意：，且，故，
，由同角三角函数基本关系可知：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋
，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为
A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）
【答案】B
【解析】
【分析】
利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2
的取值范围．
【详解】由题得f′（x）=﹣﹣1=﹣=﹣，（x＞0，k＞0）
由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），
即﹣1=﹣﹣1，
化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2，
而x1x2＜，
4（x1+x2）＜（k+），
即x1+x2＞对k∈[4，+∞）恒成立，
令g（k）=k+，
则g′（k）=1﹣=＞0对k∈[4，+∞）恒成立，
∴g（k）≥g（4）=5，
∴≤，
∴x1+x2＞，
故x1+x2的取值范围为（，+∞）.
故答案为：B
【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.已知数列满足，，则当时，__．
【答案】
【解析】
【分析】
用去换中的 得到，再做差即可得到数列为等比数列，即可得出答案。
【详解】数列满足，
，，①
用去换得到，②
②-①得到
又，，所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据递推公式求通项，属于基础题。
14.设当时，函数取得最大值，则__．
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案。
【详解】；
当时，函数取得最大值
；
，；
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题。
15.已知在处有极小值为, 求 __________.
【答案】15
【解析】
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，
当a=4，b=﹣11时， ，f（x）在 在（1，+∞）↑
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；
当a=﹣3，b=3时，f'（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值．
∴a=4，b=﹣11；且f（1）=10是极小值．
此时
故答案为：15.
点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点．
16.在三棱锥中，，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是__．
【答案】
【解析】
【分析】
由于与都为正三角形，故过与的中心做两个面的垂线的交点即为三棱锥的外接球球心。
【详解】如图所示，取的中点，连接，．设为的中心，为的中心,为三棱锥外接球的球心．
连接，，．
则为棱锥外接球的半径．为矩形．
．
三棱锥外接球的表面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，属于中档题。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17.在锐角中，角所对的边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，,求的值．
【答案】(1) ．(2)
【解析】
【分析】
(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得的值.
(2)先求，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出.
【详解】(1)∵,
∴，可得，
解得，或.
∵为锐角三角形，∴，∴．
(2)∵，可得.
又,可得.
在中，由余弦定理可知，，
∴.
在中，由正弦定理可知,.
【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
18.在等比数列中，公比，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．
【答案】（1）（2）的值为8或9
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的性质化简，，联立即可解出答案
（2）根据写出，求出，写出，再求出其前n项的和，判断即可。
【详解】（1），
可得，
由，即，①，由，可得，，
可得，即，②
由①②解得舍去），，
则；
（2），
可得，
，
则
，
可得或9时，取最大值18．
则的值为8或9．
【点睛】本题考查等比数列，等差数列前n项和的最值问题，属于基础题。
19.如图，在多面体中，四边形是边长为菱形，，与交于点，平面平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）可证，再利用平面平面证得平面，通过证明，可得要求证的线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连结、、，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，所以且.
又，，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解：因为菱形，所以.
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，
由得，
取，可得，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
因为二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
20.某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．
（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；
（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差”为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：
尺寸误差
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
频数
10
30
30
5
10
5
10
（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．
（ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望．
（ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．
附：若随机变量服从正态分布，则；，，．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）详见解析（ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先计算出这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率，再用1减之。
（Ⅱ）（ⅰ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由图得到得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；再计算出其分布列与期望即可。
（ⅱ）若5片中有片“优等”品，则，得到，则取4或5；再计算即可得出答案。
【详解】（Ⅰ）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率为；
则这10片中至少有1片是废品的概率为；
（Ⅱ）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，
得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；
则的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；
计算，
，
，
，
，
，
得到的分布列如下：
15
14
13
12.5
11.5
10
0.49
028
0.04
0.14
0.04
0.01
数学期望为
（元；
（ⅱ）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品，则有片“一级”品，
由已知，解得，则取4或5；
故所求的概率为
．
【点睛】本题考查正态分布，分布列，数学期望，属于基础题。
21.已知函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求整数的最小值.
【答案】（1）见解析（2）5.
【解析】
试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果
解析：（1）由题意可知，，，
方程对应的，
当，即时，当时，，
∴在上单调递减；
当时，方程的两根为，
且 ，
此时，在上，函数单调递增，
在上，函数单调递减；
当时，，，
此时当，单调递增，
当时，，单调递减；
综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；
当时，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递减；
（2）原式等价于，
即存在，使成立．
设，，
则，
设，
则，∴在上单调递增．
又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，
∴
由题意可知，又，，∴的最小值为.
点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求曲线和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与轴交点为，经过点的直线与曲线交于，两点，证明：为定值.
【答案】（Ⅰ）曲线：.的直角坐标方程为.（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据曲线的参数方程，平方相加，即可求得曲线普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可得到直线的直角坐标方程．
（Ⅱ）设过点的直线方程为（为参数），代入曲线的普通方程，根据参数的几何意义，即可求解．
【详解】（Ⅰ）由题意，可得，
化简得曲线：.
直线的极坐标方程展开为，
故的直角坐标方程为.
（Ⅱ）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为（为参数），
代入：得，
所以为定值.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
23.已知函数.
（1）若时，解不等式；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
（1）当时，不等式为，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当时，有解，即上有解，故只需（，由此可得结论．
试题解析：
（1）当时，不等式，
若，则原不等式可化为，所以；
若，则原不等式可化为，所以；
若，则原不等式可化为，所以．
综上不等式的解集为．
（2）当时，由，得
即
故，
又由题意知（，
所以．
故实数m的取值范围为．
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