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  • 2021-07-01 发布

2021高考数学一轮复习课后限时集训26简单的三角恒等变换理北师大版

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课后限时集训26‎ 简单的三角恒等变换 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.已知sin=cos,则tan α=(  )‎ A.1    B.-‎1 ‎  ‎ C.    D.0‎ B [∵sin=cos,‎ ‎∴cos α-sin α=cos α-sin α,‎ 即sin α=cos α,‎ ‎∴tan α==-1.]‎ ‎2.求值:=(  )‎ A.1 B.2 ‎ C. D. C [原式= ‎== ‎= ‎= ‎==.]‎ ‎3.(2019·杭州模拟)若sin=,则cos等于(  )‎ A.- B.- ‎ C. D. 7‎ A [cos=cos ‎=-cos=- ‎=-=-.]‎ ‎4.设α∈,β∈,且tan α=,则(  )‎ A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= B [由tan α=,得=,‎ 即sin αcos β=cos α+cos αsin β,‎ ‎∴sin(α-β)=cos α=sin.‎ ‎∵α∈,β∈,‎ ‎∴α-β∈,-α∈,‎ 由sin(α-β)=sin,得α-β=-α,‎ ‎∴2α-β=.]‎ ‎5.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于(  )‎ A. B.- ‎ C. D.- B [f(x)=5cos x+12sin x ‎=13=13sin(x+α),‎ 其中sin α=,cos α=,由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z),得θ=2kπ--α(k∈Z),‎ 所以cos θ=cos=cos ‎=-sin α=-.]‎ 7‎ 二、填空题 ‎6.化简:=________.‎ ‎4sin α [= ‎==4sin α.]‎ ‎7.已知方程x2+3ax+‎3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈,则α+β=________.‎ ‎-π [依题意有 ‎∴tan(α+β)===1.‎ 又 ‎∴tan α<0且tan β<0,‎ ‎∴-<α<0且-<β<0,‎ 即-π<α+β<0,‎ 结合tan(α+β)=1,‎ 得α+β=-.]‎ ‎8.函数y=sin xcos的最小正周期是________.‎ π [y=sin xcos=sin xcos x-sin2x=sin 2x-·=sin-,故函数f(x)的最小正周期T==π.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=2sin xsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=2sin x=×+sin 2x=sin 7‎ eq lc( c)(avs4alco1(2x-f(π,3)))+,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T=π.‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.‎ ‎(2)当x∈时,2x-∈,‎ sin∈,f(x)∈.‎ 故f(x)的值域为.‎ ‎10.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=sin2x+sin xcos x ‎=-cos 2x+sin 2x ‎=sin+,‎ 所以f(x)的最小正周期为T==π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin+.‎ 由题意知-≤x≤m,‎ 所以-≤2x-≤‎2m-.‎ 要使f(x)在区间上的最大值为,‎ 即sin在区间上的最大值为1,‎ 所以‎2m-≥,‎ 即m≥.‎ 7‎ 所以m的最小值为.‎ ‎1.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且α,β∈,则α+β=(  )‎ A. B.或- C.-或 D.- D [由题意得tan α+tan β=-3<0,tan αtan β=4>0,所以tan(α+β)==,且tan α<0,tan β<0,又由α,β∈得α,β∈,所以α+β∈(-π,0),所以α+β=-.]‎ ‎2.已知cos=-,则sin的值为(  )‎ A. B.± ‎ C.- D. B [∵cos=-,‎ ‎∴cos=-cos ‎=-cos=-=-,‎ 解得sin2=,‎ ‎∴sin=±.]‎ ‎3.已知A,B均为锐角,cos(A+B)=-,sin=,则cos=________.‎  [因为A,B均为锐角,cos(A+B)=-,sin=,‎ 所以<A+B<π,<B+<π,‎ 7‎ 所以sin(A+B)==,cos=-=-,‎ 可得cos=cos=-×+×=.]‎ ‎4.已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x,x∈R.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)若sin α=,且α∈,求f.‎ ‎[解] (1)f=cos2+sin cos ‎=2+×=.‎ ‎(2)因为f(x)=cos2x+sin xcos x ‎=+sin 2x ‎=+(sin 2x+cos 2x)=+sin,‎ 所以f=+sin ‎=+sin=+.‎ 又因为sin α=,且α∈,‎ 所以cos α=-,‎ 所以f=+ ‎=.‎ ‎1.已知α∈,β∈,且cos=,sin=-,则cos(α+β)=________.‎ ‎- [∵α∈,-α∈,‎ cos=,∴sin=-,‎ 7‎ ‎∵sin=-,∴sin=,‎ 又∵β∈,+β∈,‎ ‎∴cos=,‎ ‎∴cos(α+β)=cos ‎=×-×=-.]‎ ‎2.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,).‎ ‎(1)求sin 2α-tan α的值;‎ ‎(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数g(x)=f-‎2f2(x)在区间上的值域.‎ ‎[解] (1)∵角α的终边经过点P(-3,),‎ ‎∴sin α=,cos α=-,tan α=-.‎ ‎∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-+=-.‎ ‎(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,‎ ‎∴g(x)=cos-2cos2x=sin 2x-1-cos 2x=2sin-1.‎ ‎∵0≤x≤,‎ ‎∴-≤2x-≤.‎ ‎∴-≤sin≤1,‎ ‎∴-2≤2sin-1≤1,‎ 故函数g(x)=f-‎2f2(x)在区间上的值域是[-2,1].‎ 7‎

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