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- 2021-07-01 发布
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课后限时集训26
简单的三角恒等变换
建议用时:45分钟
一、选择题
1.已知sin=cos,则tan α=( )
A.1 B.-1
C. D.0
B [∵sin=cos,
∴cos α-sin α=cos α-sin α,
即sin α=cos α,
∴tan α==-1.]
2.求值:=( )
A.1 B.2
C. D.
C [原式=
==
=
=
==.]
3.(2019·杭州模拟)若sin=,则cos等于( )
A.- B.-
C. D.
7
A [cos=cos
=-cos=-
=-=-.]
4.设α∈,β∈,且tan α=,则( )
A.3α-β= B.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
B [由tan α=,得=,
即sin αcos β=cos α+cos αsin β,
∴sin(α-β)=cos α=sin.
∵α∈,β∈,
∴α-β∈,-α∈,
由sin(α-β)=sin,得α-β=-α,
∴2α-β=.]
5.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于( )
A. B.-
C. D.-
B [f(x)=5cos x+12sin x
=13=13sin(x+α),
其中sin α=,cos α=,由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z),得θ=2kπ--α(k∈Z),
所以cos θ=cos=cos
=-sin α=-.]
7
二、填空题
6.化简:=________.
4sin α [=
==4sin α.]
7.已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈,则α+β=________.
-π [依题意有
∴tan(α+β)===1.
又
∴tan α<0且tan β<0,
∴-<α<0且-<β<0,
即-π<α+β<0,
结合tan(α+β)=1,
得α+β=-.]
8.函数y=sin xcos的最小正周期是________.
π [y=sin xcos=sin xcos x-sin2x=sin 2x-·=sin-,故函数f(x)的最小正周期T==π.]
三、解答题
9.已知函数f(x)=2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
[解] (1)因为f(x)=2sin x=×+sin 2x=sin
7
eq lc(
c)(avs4alco1(2x-f(π,3)))+,
所以函数f(x)的最小正周期为T=π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)当x∈时,2x-∈,
sin∈,f(x)∈.
故f(x)的值域为.
10.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.
[解] (1)因为f(x)=sin2x+sin xcos x
=-cos 2x+sin 2x
=sin+,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+.
由题意知-≤x≤m,
所以-≤2x-≤2m-.
要使f(x)在区间上的最大值为,
即sin在区间上的最大值为1,
所以2m-≥,
即m≥.
7
所以m的最小值为.
1.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且α,β∈,则α+β=( )
A. B.或-
C.-或 D.-
D [由题意得tan α+tan β=-3<0,tan αtan β=4>0,所以tan(α+β)==,且tan α<0,tan β<0,又由α,β∈得α,β∈,所以α+β∈(-π,0),所以α+β=-.]
2.已知cos=-,则sin的值为( )
A. B.±
C.- D.
B [∵cos=-,
∴cos=-cos
=-cos=-=-,
解得sin2=,
∴sin=±.]
3.已知A,B均为锐角,cos(A+B)=-,sin=,则cos=________.
[因为A,B均为锐角,cos(A+B)=-,sin=,
所以<A+B<π,<B+<π,
7
所以sin(A+B)==,cos=-=-,
可得cos=cos=-×+×=.]
4.已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x,x∈R.
(1)求f的值;
(2)若sin α=,且α∈,求f.
[解] (1)f=cos2+sin cos
=2+×=.
(2)因为f(x)=cos2x+sin xcos x
=+sin 2x
=+(sin 2x+cos 2x)=+sin,
所以f=+sin
=+sin=+.
又因为sin α=,且α∈,
所以cos α=-,
所以f=+
=.
1.已知α∈,β∈,且cos=,sin=-,则cos(α+β)=________.
- [∵α∈,-α∈,
cos=,∴sin=-,
7
∵sin=-,∴sin=,
又∵β∈,+β∈,
∴cos=,
∴cos(α+β)=cos
=×-×=-.]
2.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的值域.
[解] (1)∵角α的终边经过点P(-3,),
∴sin α=,cos α=-,tan α=-.
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-+=-.
(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,
∴g(x)=cos-2cos2x=sin 2x-1-cos 2x=2sin-1.
∵0≤x≤,
∴-≤2x-≤.
∴-≤sin≤1,
∴-2≤2sin-1≤1,
故函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的值域是[-2,1].
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