数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学校高二上期第三次月考（2016-12）word版 10页

‎ ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知为等比数列，，，则（ ）‎ A． 7 B． 5 C． -5 D．-7‎ ‎2.命题“，使”的否定是（ ）‎ A．，使 B．不存在，使 ‎ C．，使 D．，使 ‎3.已知双曲线的焦距为，点在双曲线的渐近线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在中，，，是的外心，数量积（ ）‎ A． 6 B．-6 C. 3 D．-3‎ ‎5.若，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.设，若是与的等比中项，则的最小值（ ）‎ A．2 B． C. 4 D．8‎ ‎7.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设分别是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在中，若，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.抛物线上的两个动点为，过分别作抛物线的切线，与轴分别交于两点，且与相交于点，若，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设是等差数列的前项和，且，则 ．‎ ‎14.当满足不等式时，恒有成立，则实数 的取值范围是 ．‎ ‎15.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的动点（不能重合于长轴的两端点），是的内心，直线交轴于点，则 ．‎ ‎16.给出下列命题：‎ ‎①已知命题，命题，则命题为真；‎ ‎②函数在定义域内有且只有一个零点；‎ ‎③数列满足：，且，则；‎ ‎④设，是正实数，则的最小值为.‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）已知在锐角中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）当时，求的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在平行六面体中，四边形与四边形均是边长为1的正方形，，点为的中点，点分别是的动点，且.‎ ‎（1）当平面平面时，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：‎ x ‎3‎ ‎-2‎ ‎4‎ y ‎0‎ ‎-4‎ ‎（1）求、的标准方程；‎ ‎（2）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同两点，，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 椭圆的中心在原点，焦点在轴，该椭圆经过点且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的左右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.‎ 试卷答案 ‎1-5：DDCAB 6-10:CAABD 11-12:BB ‎13. 18 14. 15. 16. ① ② ③ ④‎ ‎17.解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，得因为为锐角，所以 ‎（Ⅱ）由正弦定理，得，‎ ‎ ‎ 由得 ‎ ‎（2）由得. …………7分 ‎①当时，‎ ‎；…………10分 ‎ ‎② 当时，，得；‎ 所以数列的前n项和…………12分 ‎19.试题解析：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，‎ 是的中点，所以 因为所以 而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．‎ ‎（Ⅱ）过点Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且．‎ 由知，为直线与平面所成的角．‎ 由题意，知 因为所以 由所以四边形是平行四边形，故于是 在中，所以 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：‎ ‎（Ⅰ）易知因为 所以而是平面内的两条相交直线，所以 ‎ ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得． ‎ 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 ‎． ‎ ‎20.解：（1）由平面PQE//平面ADD1A1，得点P到平面ADD1A1的距离等于点E到平面ADD1A1的距离.而四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形，‎ ‎∴，，又，‎ ‎∴平面，∴平面，‎ 又E是中点，∴点到平面的距离等于，‎ ‎∴点到平面的距离等于，即点为的中点，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知P，Q分别是BD，CD1的中点，如图，‎ 以点D为原点，以DA、DC所在的直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），‎ 设平面DQP的法向量为 则 ‎，‎ 设直线QE与平面DQP所成的角为，则 ‎21.解：（1）设抛物线：，则有，据此验证4个点知，在抛物线上，易求：.‎ 设：，把点代入得 ‎，解得，，的方程为：.‎ 综上，的方程为：，的方程为：。‎ ‎（2）假设存在这样的直线，设其方程为，两交点坐标为，‎ 由消去，得，‎ ①‎ ‎，②‎ ‎，③‎ 将①②代入③得，解得 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或.‎ ‎22. 解：（1）椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，‎ ‎，得：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，，，‎ ‎∵以为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，且均满足，‎ 当时，的方程为，‎ 则直线过定点与已知矛盾，‎ 当时，的方程为，‎ 则直线过定点，‎ ‎∴直线过定点，定点坐标为.‎