2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版 10页

‎2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末考试理科数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.对于任意实数以下四个命题正确的是（ ）‎ A.若则 B.‎ C.若则 D.若则 ‎3.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球 ‎40个， 每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（ ）‎ A.甲命中个数的极差是29 B.乙命中个数的众数是21‎ C.甲的命中率比乙高 D.甲命中个数的中位数是25‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.为了研究某班学生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，从该班随机抽取10‎ 名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ‎.已知， ，.该班某学生的脚长为24cm，据此估计其 身高为（ ）‎ A. cm B.cm C.cm D.cm ‎6.下列四个命题:‎ ‎①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；‎ ‎④对于命题,使得.则,均有.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎7.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，， ，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）‎ A.45 B.50 C.55 D.60‎ ‎8.若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是( ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（ ）‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎10.函数的部分图象大致为（ ）‎ ‎ A. B.C. D.‎ ‎11.学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话.甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”.‎ 已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确.根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是( )‎ A.甲和乙 B.乙和丙 C.丁和戊 D.甲和丁 ‎12.设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当 ‎.若，则实数的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D.‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.计算__________.‎ ‎14.已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为__________.‎ ‎15.已知实数x，y满足，则的最大值为__________.‎ ‎16.已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________.‎ 三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，且，求的最大值.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下22列联表:‎ 学科合格人数 学科不合格人数 合计 学科合格人数 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 学科不合格人数 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（Ⅰ）据此表格资料，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关；‎ ‎（Ⅱ）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为，求的数学期望.‎ 附公式与表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知是函数的一个极值点.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知椭圆（）的两个顶点分别为和，两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于另一点，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 已知函数图象的一条切线为.‎ ‎（Ⅰ）设函数，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，求证：.‎ 哈师大附中高二下学期期末考试 理科数学参考答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D D C C B B C D D A 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.8 14. 15. 14 16. ‎ 三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解： ‎ ‎（Ⅰ）①当时，，得，∴；‎ ‎②当时，成立，∴；‎ ‎③当时，，得，∴；‎ 综上，不等式的解集为． ……5分 ‎（Ⅱ）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，‎ 即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.‎ 当且仅当时上式取等号 ‎∴当，x＋y＋z的最大值为5． ……10分 ‎18.解：‎ ‎（Ⅰ）圆普通方程所以的极坐标方程为 直线的直角坐标方程为 ……5分 ‎（Ⅱ）将代入,得,‎ 解得,故,即. ‎ 由于圆的半径为,所以的面积为 ……12分 ‎19.解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 故能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关. ……4分 ‎（Ⅱ）服从超几何分布，‎ ‎，，‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ……12分 ‎20.解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 因为是函数的一个极值点， 所以，解得b=3 ‎ 此时 ‎ 当时，；当时，‎ ‎∴递减区间，递增区间 ……6分 ‎（Ⅱ）在区间[1，2]上单调递增，‎ 则，即对恒成立 在区间上递减，当时，‎ 所以． ……12分 ‎21. 解：‎ ‎（Ⅰ），且，‎ 点是点和点的中点.‎ ‎，，点的坐标为.‎ 代入得：，‎ 离心率. ……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 所以椭圆的方程可设为.‎ 若，则.‎ 线段的垂直平分线的方程为.‎ 直线与轴的交点是外接圆的圆心，‎ 因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点的坐标满足方程组 ‎，由解得.‎ 故. ……12分 ‎22.解：‎ ‎（Ⅰ），设切点，则切线斜率 ‎∴，即切点，故，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎①当时，，∴增区间，无减区间；‎ ‎②当时，令，得；令，得 ‎∴增区间，减区间 ……6分 ‎（Ⅱ）依题意及（Ⅰ）得函数，则，‎ ‎∴当01时，，‎ ‎∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，‎ ‎∴ ‎ ‎∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，‎ 且当x趋近于0时，趋近于−∞，当x趋近于+∞时，趋近于−∞，‎ ‎∴−1−m>0，m<−1，且≠， ‎ 故不妨设<，则0<<1<．‎ 要证()<0，需证>1，即+>2，‎ 当≥2时，显然成立．‎ 当1<<2时，令，x∈(1，2)，‎ ‎∵，∴(x)=ln x−ln(2−x)−2x+2，‎ ‎ =+−2=>0，x∈(1，2)，‎ ‎∴(x)在(1，2)上单调递增，∴()>(1)=0，即()>(2−)， ‎ 又由题意知()=()，∴()>(2−)．‎ ‎∵在(0，1)上单调递增，∈(0，1)，2−∈(0，1)，‎ ‎∴>2−，即+>2．‎ 综上可得，+>2，即证． ……12分