江苏省淮安市高中教学协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 10页

淮安市高中教学协作体2019—2020学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间为120分钟，满分150分 命题人 ‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个选项中，‎ 只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1. 命题“，”的否定为 （ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2.“”是“”的 条件. （ ）‎ A．充分不必要条件; B．必要不充分条件 C．充要条件; D．既不充分也不必要条件 ‎3.不等式的解集为 （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4.已知等比数列中，，，则 等于 （ ）‎ A、 B、‎4 C、 D、不确定 ‎5.下列命题正确的是 ( ) ‎ A．若，则　　　　 B．若，则　　‎ C．若，则 D．若，则 ‎6．下列命题正确的个数为 （ ）‎ ‎（1）已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆；‎ ‎（2）已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是 一条射线；‎ ‎（3）当时，曲线：表示椭圆；‎ ‎（4）曲线方程的化简结果为.‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎7.若分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,且,‎ 则的长为 ( ) ‎ A． B．或 C． D．‎ ‎8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，‎ 过的直线交椭圆于两点.若周长是，则该椭圆方程是( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9. 已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）‎ A.2 B‎.3 ‎C.4 D.8‎ ‎10. 已知等差数列中,首项为（）,公差为,前项和为, ‎ 且满足,则实数的取值范围是 ( )‎ A. ; B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎11.若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则双曲线的方程 为 ‎ ‎12.设为等差数列的前项和,若,则 ‎ ‎13．已知椭圆，长轴在轴上.若焦距为，则等于 ‎ ‎14. 若函数，则该函数的最小值为 ‎ ‎15. 已知椭圆的左、右焦点分别为,是短轴的一个端点 若为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 .‎ ‎16.已知数列，记数列的前项和为 ，若对任意的，‎ 恒成立，则实数的取值范围 ‎ 三、解答题（本大题共5小题，12分+12分+14分+16分+16分，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列中，，．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，数列为等比数列，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式;‎ ‎（2）设,求数列的前项和.‎ ‎19．(本小题满分14分)‎ ‎（1）解不等式：‎ ‎（2）若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;‎ ‎（3）若对一切,均有成立,求实数的取值范围. ‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右顶点，是上顶点，是左焦点， 为线段上一点，且 ．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，且的面积为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与直线的交点恰在椭圆上，求椭圆的离心率．‎ ‎21. （本小题满分16分）‎ 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.‎ ‎⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；‎ ‎⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过‎14米，则其腰长应在什么范围内？‎ ‎⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.‎ 淮安市高中教学协作体2019—2020学年度第一学期期中考试 高二数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）‎ ‎1.A 2.B 3. B 4. C 5. D 6.C 7. C 8. A 9. B 10. D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分． ‎ ‎11. ; 12. 1; 13．7; 14. 4; 15.; 16.或.‎ 三、解答题（本大题共5小题，12分+12分+14分+16分+16分，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列中，，．‎ ‎（1）求，；（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）由 …………2分 可解得：，. ……………6分 ‎ （2）由（1）可得，所以， …………8分 ‎ 所以 …………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，数列为等比数列，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式;（2）设,求数列的前项和.‎ 解:（1）当时,,‎ 当时,,‎ 所以,, ………………3分 设数列的公比为,因为,所以,‎ 因为,所以,,‎ 所以,所以, ……………………6分 ‎（2）,所以 ‎………8分 又 两式相减得 ………10分 ‎，所以 ………12分 ‎19．(本小题满分14分)‎ ‎（1）解不等式：‎ ‎（2）若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;‎ ‎（3）若对一切,均有成立,求实数的取值范围. ‎ 解:（1）原不等式等价于， ……………2分 等价于， 所以原不等式的解集为.……4分 ‎（2）当时，原不等式是，恒成立，符合题意； …………………5分 当时，不等式是二次不等式，结合二次函数图象，得 ‎，即，解得， …………………7分 综上所述，实数的取值范围是 …………………8分 ‎（3）不等式可等价转化为对恒成立, ‎ 即对恒成立, ……………………10分 设,则 ‎ ‎,‎ 因为,所以,所以 ‎（当且仅当等号成立）,所以, …………………13分 所以，所以实数的取值范围是. …………………14分 ‎20. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右顶点，是上顶点，是左焦点， 为线段上一点，且 ．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，且的面积为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与直线的交点恰在椭圆上，求椭圆的离心率．‎ 解：（1）设，其中，‎ ‎∵椭圆的离心率为，∴，即， …………2分 又∵的面积为，∴，即， …………4分 又，∴，即，∴， ‎ ‎∴椭圆的方程为； …………6分 ‎（2）由，，得直线， …………8分 ‎∵,且，∴‎ ‎∴，得， ……………10分 ‎∴直线， ………………………………………12分 联立方程组，解得，所以，………14分 ‎ ‎ ‎∵点恰在椭圆上，∴，即，‎ 化简得 ，即，‎ 又， ∴ …………16分 ‎21. （本小题满分16分）‎ 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.‎ ‎⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；‎ ‎⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过‎14米，则其腰长应在什么范围内？‎ ‎⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.‎ 解：⑴∵,∴,,‎ ‎，‎ ‎ , , …………………4分 又∵，∴, ‎ ‎∴； ……………………6分 ‎⑵得,‎ ‎∵, ∴腰长的范围是. …………………10分 ‎⑶∵，‎ ‎∴，当且仅当即时等号成立．‎ ‎∴外周长的最小值为米，此时腰长为米. …………………16分.‎