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- 2021-07-01 发布
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高一数学下学期期末备考一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式 ax＞b(a≠0)的解集
(1)当 a＞0 时，解集为 x|x＞
b
a ；
(2)当 a＜0 时，解集为 x|x＜
b
a .
2．“三个二次”的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c(a＞0)的图
象
一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a＞0)
的根
有两个相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根 x1
＝x2＝－
b
2a
没有实数根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0(a
＞0)的解集
{x|xx2} x|x≠－
b
2a
R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0(a
＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
3、解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于 0，另一端为 0，即化为 ax2＋bx＋c＞
0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【考点精炼】
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例 1．(全国卷Ⅲ)设集合 S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则 S∩T＝( )
A．[2，3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
【答案】 D [因为 S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≥3 或 x≤2}，又 T＝{x|x＞0}，所以 S∩T
＝(0，2]∪[3.＋∞)．]
练习．(2019·广东肇庆月考)不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________.(用区间表示)
【答案】(－4，1) [由－x2－3x＋4>0 得 x2＋3x－4<0，解得－40 的解集为(－4，1)．]
知识点
4、解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次
不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确
定解集形式．
考点练习
考点二、含参数的一元二次不等式问题
例 2．(2019·山东烟台检测)关于 x 的不等式 ax－b＞0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不
等式(ax＋b)(x－3)＞0 的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】C [由题意知，a＜0 且
b
a
＝1，即 a＝b，故不等式(ax＋b)(x－3)＞0 即为(x＋1)(x
－3)＜0，解得－1＜x＜3.]
练习、解不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为 a>0，所以 a
x－
1
a (x－1)<0.
所以当 a>1 时，解集为
1
a
1 时，不等式的解集为 x|1
a
0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2－4ac<0(x∈R)．
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2－4ac<0(x∈R)．
7、一元二次不等式恒成立问题的求解思路
(1)形如 f(x)＞0 或 f(x)＜0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判
别式来求解．
(2)形如 f(x)＞0 或 f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的
最值或用分离参数法求最值．
(3)形如 f(x)＞0 或 f(x)＜0(参数 m∈[a，b])的不等式确定 x 的范围时，要注意变换主元，
一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
考点练习
考点四、形如 f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
例 4、(2019·甘肃张掖月考)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则实
数 a 的取值范围是__________.
【答案】(－2，2] [当 a－2＝0，即 a＝2 时，不等式即为－4<0，对一切 x∈R 恒成立，
当 a≠2 时，则有 2
2 0
4 2 16 2 0
a
a a
即
a<2，
－23} [对任意的 k∈[－1，1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0 恒成立，即
g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在 k∈[－1，1]时恒成立．
只需 g(－1)>0 且 g(1)>0，即
x2－5x＋6>0，
x2－3x＋2>0，
解得 x<1 或 x>3.]
考点七、成立问题
例 7、(2019·河南洛阳诊断)若不等式 x2＋ax－2>0 在区间[1，5]上有解，则 a 的取值范
围是( )
A．
－
23
5
，＋∞
B．
－
23
5
，1
C．(1，＋∞) D．
－∞，－
23
5
【答案】A [由Δ＝a2＋8>0 知方程恒有两个不等实根，又因为 x1x2＝－2<0，所以方程
必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．
所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是 f(5)>0，解得 a>－
23
5
.]
练习、若不等式 2kx2＋kx－
3
8
<0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( )
A．(－3，0) B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0]
【答案】D [当 k＝0 时，显然成立；当 k≠0 时，即一元二次不等式 2kx2＋kx－
3
8
<0 对
一切实数 x 都成立，
则
k<0，
Δ＝k2－4×2k×
－
3
8 <0，
解得－3
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