【数学】2019届一轮复习人教A版11-2　数系的扩充与复数的引入 16页

‎11.2　数系的扩充与复数的引入 ‎[知识梳理]‎ ‎1．复数的有关概念 ‎2．复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎3．复数代数形式的四则运算 ‎(1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎(3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.‎ ‎(4)复数加、减法的几何意义 ‎①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．‎ ‎②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．‎ ‎4．模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)‎ ‎(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A2－2P‎116A组T1(3))在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　z＝＝＝－i，其对应的点为，在第四象限．故选D.‎ ‎(2)(选修A2－2P‎112A组T3)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 答案　C 解析　∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　D 解析　＝＝＝2－i.故选D.‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　A 解析　由已知＝i，可得z＝＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选A.‎ 题型1　复数的有关概念 　　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.‎ 复数问题实数化．‎ 解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 则y＝a－bi，x＋y＝‎2a，xy＝a2＋b2，‎ 代入原式，得(‎2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，‎ 根据复数相等得 解得或或或 故所求复数为或或或 方法技巧 有关复数的基本概念问题的关键 因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．‎ 冲关针对训练 ‎(2018·山西四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg (a＋b)的值是(　　)‎ A．－2 B．－‎1 C．0 D. 答案　C 解析　因为＝＝－，所以a＝，b＝－，a＋b＝1，所以lg (a＋b)＝0，故选C.‎ 题型2　复数的几何意义 　　(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 先求z的代数形式，再求|z|.‎ 答案　C 解析　由(1＋i)z＝2i得z＝＝1＋i，‎ ‎∴|z|＝.故选C.‎ 方法技巧 复数几何意义及应用 ‎1．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ 提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．‎ 冲关针对训练 ‎　若复数z满足①|z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．‎ 答案　4π 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π.‎ 题型3　复数的代数运算 　　(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1 B．－‎1 C．i D．－i 先作乘法z·运算，然后作除法运算．‎ 答案　C 解析　∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i，故选C.‎ 方法技巧 ‎1．加减乘除用法则 ‎(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．‎ ‎(2)记住以下结论，可提高运算速度：‎ ‎①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎2．复数方程要求解，运用概念相等来解决 解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题．‎ 冲关针对训练 ＋2018＝________.‎ 答案　2i 解析　原式＝＋1009‎ ‎＝i＋1009＝i＋i1009＝i＋i4×252＋1＝i＋i＝2i.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p1：若复数z满足∈R，则z∈R；‎ p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；‎ p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；‎ p4：若复数z∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p‎4 C．p2，p3 D．p2，p4‎ 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．‎ 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．‎ 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a‎1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．‎ 对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.‎ ‎2．(2018·安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为(　　)‎ A. B．－ C．3 D．－3‎ 答案　C 解析　＝，由题意知‎2a－1＝a＋2，解之得a＝3.故选C.‎ ‎3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.‎ 答案　5　2‎ 解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.‎ 由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.‎ 所以a2＋b2＝5，ab＝2.‎ ‎4．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．‎ 答案　－2‎ 解析　∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.‎ ‎ [基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．(2018·湖南长沙四县联考)i是虚数单位，若复数z满足zi＝－1＋i，则复数z的实部与虚部的和是(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　复数z满足zi＝－1＋i，可得z＝＝＝1＋i.故复数z的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.‎ ‎2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是(　　)‎ A．－1＋3i B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i 答案　B 解析　－z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i ‎，其共轭复数是1＋3i，故选B.‎ ‎3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A.－i B.＋i C．1 D．－1－2i 答案　A 解析　复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.故选A.‎ ‎4．(2018·广东测试)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)‎ A．i B．‎1 C．－i D．－1‎ 答案　C 解析　∵z为纯虚数，∴∴a＝，‎ ‎∴＝＝＝＝－i.故选C.‎ ‎5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为(　　)‎ A. B.－‎1 C．1 D. 答案　A 解析　由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，z的实部为，故选A.‎ ‎6．(2017·安徽江南十校联考)若z＝，则|z|＝(　　)‎ A. B．‎1 C．5 D．25‎ 答案　B 解析　解法一：z＝＝＝－i，故|z|＝1.故选B.‎ 解法二：|z|＝＝＝＝1.故选B.‎ ‎7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－2i)＝5－i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＋＝‎2a＋bi，故‎2a＋bi＝＝1＋i，‎ 故a＝，b＝，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限．故选A.‎ ‎8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由复数相等的充要条件，可得 化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以λ∈.故选C.‎ ‎9．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为(　　)‎ A．－－i B．－＋i C.＋i D.＋i 答案　D 解析　由(z－i)＝1，可得z－i＝＝＋i，所以z＝＋i.故选D.‎ ‎10．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||，给出下列命题：‎ ‎(1)对任意z∈C，都有D(z)>0；‎ ‎(2)若是复数z的共轭复数，则D()＝D(z)恒成立；‎ ‎(3)若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2；‎ ‎(4)对任意z1，z2，z3∈C，结论D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立．‎ 其中真命题为(　　)‎ A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4)‎ C．(2)(4) D．(2)(3)‎ 答案　C 解析　对于(1)，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除 A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D()＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B，D，故选C.‎ 二、填空题 ‎11．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．‎ 答案　 解析　解法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ 解法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|‎ ‎＝×＝.‎ ‎12．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，则解得所以＝2.‎ ‎13．(2016·北京高考)设a∈R.若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，‎ ‎∵a∈R，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，‎ ‎∴a＋1＝0，∴a＝－1.‎ ‎14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．则z＝________.‎ 答案　－1－2i或－2－i 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，‎ 则z＋＝a＋bi＋ ‎＝a＋bi.‎ 又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋是实数，根据题意有 因为b≠0，所以解得或 所以z＝－1－2i或z＝－2－i.‎ 三、解答题 ‎15．(2017·徐汇模拟)已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应点在第一象限．‎ ‎(1)求z的值；‎ ‎(2)求实数a的取值范围．‎ 解　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 又z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＋2＝0，‎ 解得y＝－2.‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∵为实数，∴＝0，解得x＝4.‎ ‎∴z＝4－2i.‎ ‎(2)∵复数(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i＝(12＋‎4a－a2)＋(‎8a－16)i，‎ ‎∴解得2