高考理科数学专题复习练习8.2空间几何体的表面积与体积 6页

第八章立体几何 ‎8.2空间几何体的表面积与体积 专题2‎ 空间几何体的体积 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,空间几何体的体积,选择题,理5)某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为2,则该几何体的体积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎3‎‎8‎ B.8-2π C.‎4π‎3‎ D.8-‎‎2π‎3‎ 解析:由几何体的三视图可得出:三个正方形的边长均为2,‎ ‎∴正方体的内部挖空了一个圆锥,‎ ‎∴该几何体的体积为23-‎1‎‎3‎×π×12×2=8-‎2π‎3‎,故选D.‎ 答案:D ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,空间几何体的体积,填空题,理15)已知A,B,C,D四点在半径为‎29‎‎2‎的球面上,且AC=BD=‎13‎,AD=BC=5,AB=CD,则三棱锥D-ABC的体积是　　　　　. ‎ 解析:由题意,构造长方体,其面上的对角线构成三棱锥D-ABC,如图所示.‎ 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则 a‎2‎‎+b‎2‎+c‎2‎=29,‎a‎2‎‎+c‎2‎=25,‎b‎2‎‎+c‎2‎=13.‎‎∴a=4,b=2,c=3.‎ ‎∴三棱锥D-ABC的体积是2×3×4-4×‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×2×3×4=8,故答案为:8.‎ 答案:8‎ ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,空间几何体的体积,选择题,理7)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的全面积是(单位:m2).(　　)‎ A.4+2‎6‎ B.4+‎‎6‎ C.4+2‎2‎ D.4+‎‎2‎ 解析:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面皆全等的三棱锥.‎ 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为2,底面边长为2,故它们的面积皆为‎1‎‎2‎×2×2=2,‎ 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此二高线的长度相等,为‎2‎‎5‎,‎ 将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为2‎6‎‎5‎,同理可求出侧面底边长为‎5‎,‎ 可求得此两侧面的面积皆为‎1‎‎2‎×2‎6‎‎5‎‎×‎5‎=‎‎6‎,‎ 故此三棱锥的全面积为2+2+‎6‎‎+‎‎6‎=4+2‎6‎,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,空间几何体的体积,选择题,理9)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎2‎‎4‎ C.‎2‎‎6‎ D.‎‎2‎‎12‎ 解析:根据题意作出图形:‎ 设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,‎ 延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC.‎ ‎∵CO1=‎2‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴OO1=‎1-‎‎1‎‎3‎‎=‎‎6‎‎3‎,‎ ‎∴高SD=2OO1=‎2‎‎6‎‎3‎,‎ ‎∵△ABC是边长为1的正三角形,∴S△ABC=‎3‎‎4‎,‎ ‎∴V三棱锥S-ABC=‎1‎‎3‎‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎6‎‎3‎=‎‎2‎‎6‎.故选C.‎ 答案:C ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,空间几何体的体积,选择题,理7)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某多面体的三视图,该多面体的体积为(　　)‎ A.40 cm3 B.50 cm3‎ C.60 cm3 D.80 cm3‎ 解析:根据几何体的三视图,得:‎ 该几何体是由长方体截割得到,如图中三棱锥A-BCD,‎ 由三视图中的网格纸上小正方形边长为1 cm,‎ 得该长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,5 cm,‎ 则三棱锥的体积为V三棱锥=6×4×5-4×‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×6×4×5=40 cm3.故选A.‎ 答案:A 专题3‎ 组合体的“接”“切”综合问题 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,组合体的“接”“切”综合问题,填空题,理14)若正四棱锥P-ABCD的底面边长及高均为2,则此四棱锥内切球的表面积为　　　　. ‎ 解析:设球的半径为r,连接OP,OA,OB,OC,OD,得到四个三棱锥和一个四棱锥.‎ 它们的高均为r,‎ 则VP-ABCD=VO-PAB+VO-PAD+VO-PBC+VO-PCD+VO-ABCD,‎ 即‎1‎‎3‎×2×22=‎1‎‎3‎r(4×S△PBC+4),‎ 由四棱锥的高和斜高,及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到,‎ 斜高为‎5‎,‎ ‎∴S△PBC=‎1‎‎2‎×2×‎5‎‎=‎‎5‎,‎ ‎∴r=‎5‎‎-1‎‎2‎,‎ 则球的表面积为4π×‎5‎‎-1‎‎2‎‎2‎=(6-2‎5‎)π.故答案为(6-2‎5‎)π.‎ 答案:(6-2‎5‎)π ‎8.4直线、平面平行的判定与性质 专题 ‎3‎ 平面与平面平行的判定与性质 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,平面与平面平行的判定与性质,选择题,理4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题:‎ ‎①若m⊂β,α⊥β,则m⊥α;‎ ‎②若α∥β,m⊂α,则m∥β;‎ ‎③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β;‎ ‎④若m∥α,m∥β,则α∥β.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.①③ B.①②‎ C.③④ D.②③‎ 解析:①根据面面垂直的性质可知,面面垂直,线面不一定垂直,所以①错误.‎ ‎②根据面面平行的性质定理可知,面面平行,则线面平行,所以②正确.‎ ‎③根据垂直于同一条直线的两个平面是平行的,同时一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则必垂直另一个平面,所以③正确.‎ ‎④平行于同一条直线的两个平面不一定平行,所以④错误.故选D.‎ 答案:D ‎8.5直线、平面垂直的判定与性质 专题2‎ 直线与平面垂直的判定与性质 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,直线与平面垂直的判定与性质,解答题,理18)在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明:AB⊥平面VAD;‎ ‎(2)求二面角A-VD-B的余弦值.‎ ‎(1)证明:因为平面VAD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,‎ 又AB在平面ABCD内,AD⊥AB,‎ 所以AB⊥平面VAD.‎ ‎(2)解:由(1)知AD⊥AB,AB⊥AV.‎ 依题意设AB=AD=AV=1,‎ 所以BV=BD=‎2‎.‎ 设VD的中点为E,连接AE,BE,则AE⊥VD,BE⊥VD,‎ 所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角.‎ 又AE=‎3‎‎2‎,BE=‎7‎‎2‎,‎ 所以cos∠AEB=‎3‎‎4‎‎+‎7‎‎4‎-1‎‎2×‎3‎‎2‎×‎‎7‎‎2‎‎=‎‎21‎‎7‎.‎ 专题4‎ 空间中的距离问题 ‎■‎ ‎(2015河南省洛阳市高考数学一模,空间中的距离问题,解答题,理20)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,BC=CD=2AB=2.‎ ‎(1)若CC1=2,E为CD1的中点,在侧面ABB1A1内是否存在点F,使EF⊥平面ACD1,若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)令点K为BB1的中点,平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°,求DD1的长.‎ 解:以B为原点,BC,BA,BB1分别为x,y,z轴,建立坐标系,‎ 则A(0,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),D1(2,2,2),‎ ‎(1)若存在这样的点F,则可设F(0,y,z),其中0≤y≤1,0≤z≤2,BF=(-2,y-1,z-1),AC=(2,-1,0),CD‎1‎=(0,2,2),‎ ‎∵EF⊥平面ACD1,‎ ‎∴‎-4-(y-1)=0,‎‎2(y-1)+2(z-1)=0,‎∴y=-3,z=5,‎ 与0≤y≤1,0≤z≤2矛盾,‎ ‎∴不存在满足条件的点F.‎ ‎(2)设|DD1|=2k(k>0),则K(0,0,k),D1(2,2,2k),AK=(0,-1,k),AD‎1‎=(2,1,2k),‎ 设平面ACK的法向量为m=(x,y,z),则‎-y+kz=0,‎‎2x-y=0.‎ 取m=(k,2k,2),‎ 同理平面ACD1的法向量为n=(-k,-2k,2),‎ 则‎|-k‎2‎-4k‎2‎+4|‎‎5k‎2‎+4‎‎·‎‎5k‎2‎+4‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴k=±‎2‎‎15‎‎15‎或±‎2‎‎15‎‎5‎(负值舍去),‎ ‎∴DD1的长为‎4‎‎15‎‎15‎或‎4‎‎15‎‎5‎.‎ 专题5‎ 平行与垂直的综合问题(折叠、探究类)‎ ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,平行与垂直的综合问题(折叠、探究类),解答题,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是以AD为底的等腰三角形.‎ ‎(1)证明:AD⊥PB;‎ ‎(2)若四棱锥P-ABCD的体积等于‎3‎‎2‎,试求PB与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明:取AD的中点G,连接PG,GB,BD.‎ ‎∵PA=PD,∴PG⊥AD.‎ ‎∵AB=AD,且∠DAB=60°,‎ ‎∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD,‎ 又∵PG∩BG=G,PG,BG⊂平面PGB,‎ ‎∴AD⊥平面PGB.∴AD⊥PB.‎ ‎(2)解:∵侧面PAD⊥底面ABCD,PG⊥AD,连接GC.‎ ‎∴PG⊥底面ABCD;在底面直角梯形ABCD中,由已知可得BC=‎3‎,‎ 由VP-ABCD=‎3‎‎2‎,即‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎‎·(1+2)·‎‎3‎·PG=‎3‎‎2‎,得PG=‎3‎,而BG=CG=‎3‎,DG=1,‎ 在Rt△PGB,Rt△PGC,Rt△PGD中分别可求得PB=‎6‎,PC=‎6‎,PD=2,‎ 在△PCD中,cos∠PDC=PD‎2‎+CD‎2‎-PC‎2‎‎2·PD·CD=-‎1‎‎4‎,‎ ‎∴sin∠PDC=‎15‎‎4‎,∴△PCD的面积S△PDC=‎1‎‎2‎·PD·CD·sin∠PDC=‎15‎‎4‎,‎ 设点B到平面PCD的距离为h,由VP-BCD=VB-PCD,得h=‎2‎‎15‎‎5‎,‎ ‎∴PB与平面PCD所成角的正弦值为hPB‎=‎2‎‎15‎‎5‎·‎1‎‎6‎=‎‎10‎‎5‎.‎