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- 2021-07-01 发布
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1.分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)幂的运算性质aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中a>0，b>0，m，n∈R.
2.指数函数的图像与性质
y＝ax
a>1
00时，y>1；
当x<0时，00时，01
(6)是R上的增函数
(7)是R上的减函数
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.( × )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.( × )
(3)(－1)＝(－1)＝.( × )
(4)函数y＝a－x是R上的增函数.( × )
(5)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( × )
(6)函数y＝2x－1是指数函数.( × )
1.函数f(x)＝ax－1 (a>0，且a≠1)的图像一定过定点( )
A.(0,1) B.(1,1)
C.(1,0) D.(0,0)
答案 B
解析 令x－1＝0得x＝1，此时y＝a0＝1，所以点(1,1)与a无关，所以函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图像过定点(1,1).
2.函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( )
答案 D
解析 函数f(x)的图像恒过(－1,0)点，只有图像D适合.
3.计算××＋lg －lg 25＝________.
答案 1
解析 ××＋lg －lg 25＝－lg 4－lg 25＝3－lg 100＝3－2＝1.
4.若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________.
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得00，b>0)；
(2)(－)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.
解 (1)原式＝＝
＝ab－1.
(2)原式＝(－)＋()－＋1
＝(－)＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
(1)[(0.064)－2.5]－ －π0＝_______________.
(2)()·＝________.
答案 (1)0 (2)
解析 (1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝0.
(2)原式＝＝.
题型二 指数函数的图像及应用
例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0
C.2－a<2c D.2a＋2c<2
答案 (1)A (2)D
解析 (1)∵y＝x＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称.
(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图像，如图，
∵af(c)>f(b)，结合图像知
00，
∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
题型三 指数函数的图像和性质
命题点1 比较指数式的大小
例3 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
答案 (1)B (2)a>c>b
解析 (1)A中， ∵函数y＝1.7x在R上是增函数，
2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.
(2)∵y＝x为减函数，
∴<即b0＝1，
∴a>c，故a>c>b.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－3) B.(1，＋∞)
C.(－3,1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－30且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值.
解 因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x.
(1)因为f(1)>0，所以a－>0，
又a>0且a≠1，所以a>1.
因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，
所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为
f(x2＋2x)>f(4－x)，
所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，
所以x>1或x<－4.
所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}.
(2)因为f(1)＝，所以a－＝，
即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去).
所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)
＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝，
所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋).
即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.
思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.
(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
(2)若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1]，则a的取值范围是( )
A.a＝－ B.a≥－
C.a≤－ D.－≤a<0
答案 (1)(－∞，4] (2)A
解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减.而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，
所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1]，即2＋x＋a≥0的解集为(－∞，1].令t＝x，则t≥，即方程t2＋t＋a≥0的解集为，所以2＋＋a＝0，a＝－.
4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用
典例 (1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________.
(2)函数f(x)＝的单调减区间为___________________________.
思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域.
(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求.
解析 (1)因为x∈[－3,2]，
所以若令t＝x，则t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数值域为.
(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，
∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间.
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的减区间为(－∞，1].
答案 (1) (2)(－∞，1]
温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.
[方法与技巧]
1.通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较.
2.指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0c>b B.c>a>b
C.b>a>c D.a>b>c
答案 D
解析 a>20＝1，b＝1，c<()0＝1，∴a>b>c.
4.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以 f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.故选B.
5.设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )
A.3c>3b B.3b>3a
C.3c＋3a>2 D.3c＋3a<2
答案 D
解析 画出函数f(x)的图像，
易知c<0，a>0.
又f(c)>f(a)，
∴|3c－1|>|3a－1|，
∴1－3c>3a－1，
∴3c＋3a<2.
6.计算×0＋8×－ ＝________.
答案 2
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
7.已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________.
答案 m>n
解析 ∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍).
函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.
8.已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________.
答案 0
解析 当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
9.已知函数f(x)＝
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2).
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
10.已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数.
∴f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，
则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.
B组 专项能力提升
(时间25分钟)
11.已知函数f(x)＝，若对于任意a，b，c∈R，都有f(a)＋f(b)>f(c)成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.[0,1]
C.[1,2] D.
答案 A
解析 当m＝1时，f(x)＝1，显然满足题意.当m≠1时，令y＝，可得ex＝，由ex>0得>0，当m>1时，有y∈(1，m)，即此时函数f(x)的值域为(1，m)，则f(a)＋f(b)>2且f(c)2m且f(c)<1，要满足题意，则2m≥1，即m≥.综上知，≤m≤2.故选A.
12.已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则在直角坐标系中函数g(x)＝|x＋b|的图像为( )
答案 B
解析 f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，取等号时x＋1＝，此时x＝2.所以a＝2，b＝1，则g(x)＝|x＋1|.g(x)的图像可以看作是y＝|x|的图像向左平移一个单位得到的，选项B符合要求.
13.关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为__________.
答案
解析 由题意，得x<0，所以020＝1，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数.
(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，
∴
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