安徽省合肥市联考2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题（合肥一中合肥六中） 20页

‎2018-2019学年第二学期合肥一中、合肥六中高二年级期 中考试数学（理）试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法，求出复数z即可.‎ ‎【详解】复数z满足， ，‎ 故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.‎ ‎2.己知为导数，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先转化为═，再根据导数的运算法则求导，并代入数值计算即可.‎ ‎【详解】， ， ， 故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值，属于基础题.‎ ‎3.若函数，则函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. (0，3) D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果.‎ ‎【详解】函数的定义域为：，‎ 因为，‎ 令并且，得：，‎ 所以函数的单调递减区间为(0，3).‎ 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.‎ ‎4.用反证法证明命题“已知，如果可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“中至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”．故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5.水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如下表：‎ 开放水管号 ‎①②‎ ‎②③‎ ‎③④‎ ‎④⑤‎ ‎⑤①‎ 注满水池的时间（小时）‎ ‎2‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎19‎ 那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ）‎ A. ① B. ② C. ④ D. ③或⑤‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度，从而得到答案.‎ ‎【详解】①②用2小时，②③用15小时，所以①的速度要比③快；②③用15小时，③④要用6小时，所以④比②进水速度快；③④用6小时，④⑤用3小时，所以⑤比③进水速度快；④⑤用3小时，⑤①用19小时，④比①进水速度快；①②用两个小时，⑤①用19个小时，所以②比⑤进水快. 根据以上分析可得到:进水速度①>③；④>②；⑤>③；④>①；②>⑤.‎ 所以最快的是④.‎ 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水的时间，每两个横向比较，找到最快的.‎ ‎6.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排除法可令x=1，排除C，D，且当时，，排除B，从而得到答案.‎ ‎【详解】令x=1，则f(1)=e>0，所以排除C，D，令，解得或，‎ 则时，，排除B，选A.‎ 所以本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，一般采用排除法，可利用赋值，求函数奇偶性等进行排除，属基础题.‎ ‎7.用S表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S的表示，如图所示，；；；；；.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将阴影部分的面积用定积分表示，然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.‎ ‎【详解】由定积分的几何意义知，区域内的面积为：， 又当时，，当时，，‎ 所以，‎ 或者 ‎，‎ 所以③，⑤，⑥是正确的.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题.‎ ‎8.已知，用数学归纳法证明：对于任意的，，由的归纳假设证明，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可知，，从而可得到变化了的项.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎， ， . 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中的推理，确定到变化了的项是解题的关键，属基础题.‎ ‎9.己知函数，在处取得极大值，则实数的值是（ ）‎ A. B. 2 C. 2或6 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.‎ ‎【详解】函数的导数为，  由在处有极大值，即有，即， 解得或6，  若时，，可得或，  由在 处导数左负右正，取得极小值，  若，，可得或2 ， 由在处导数左正右负，取得极大值.  综上可得. 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.‎ ‎10.设的三边长分别为的面积为S，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，四面体的体积为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【详解】设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，‎ 则四面体的体积为 ，‎ ‎∴‎ 故本题正确答案C．‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理，将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键，属基础题.‎ ‎11.函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.‎ ‎【详解】， . . 将代入， 得， ，， 在处的切线斜率为， 函数在处的切线方程为， 即. 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法，函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.‎ ‎12.己知函数是减函数，则实数（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f(x)是定义域内的减函数转化为f′(x)=aln(x+1)-2x恒成立．再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a值.‎ ‎【详解】f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=aln(x+1)-2x． ‎ 由f(x)是减函数得，对任意的x∈(-1，+∞)，都有f′(x)=aln(x+1)-2x≤0恒成立． ‎ 设g(x)=aln(x+1)-2x． ‎ ‎∵，由a>0知，， ‎ ‎∴当时，g'(x)>0；当时，g'(x)<0， ‎ ‎∴g(x)在上单调递增，在上单调递减， ‎ ‎∴g(x)在时取得最大值． ‎ 又∵g(0)=0，∴对任意的x∈(-1，+∞)，g(x)≤g(0)恒成立，‎ 即g(x)的最大值为g(0)． ‎ ‎∴，解得a=2.‎ 所以本题答案为A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题，属中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.己知，则________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列组合的公式化简求解可得结果.‎ ‎【详解】由得，，‎ 解得，.‎ 所以本题答案为27.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.‎ ‎14.设，则________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，，根据定积分的几何意义可知，可得表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求，最后相加即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得，，‎ 根据定积分的几何意义可知，表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：‎ 故，又，‎ 所以.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.‎ ‎15.从2位医生，4位护士中选3人为参加救护工作，且至少有1位医生入选，则不同的选法共有________种.（用数字填写答案）‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析题意可知，需要分两种情况讨论求解：①当有一位医生时，有种；②当有两位医生时，有种，最后相加即可得到答案.‎ ‎【详解】因为选择3人，且至少有1位医生，‎ 所以当有一位医生时，有种，‎ 当有两位医生时，有种，‎ 故共有种.‎ 故本题正确答案为16.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.‎ ‎16.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．‎ ‎【详解】，设切点分别是，‎ 所以切线方程分别为：，‎ 化简为，‎ 所以消，得，‎ 令，，‎ 所以f(x)在单调递减，，，‎ 故，解得.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y=f(x)在处的切线是 ‎，若求曲线y=f(x)过点(m，n)的切线，应先设出切点，把(m，n)代入，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知复数，是实数，是虚数单位．‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）z=﹣2i．（2）m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：‎ 解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．‎ 又∵是实数，∴， ∴b=﹣2，即z=﹣2i．‎ ‎（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，‎ 又∵复数所表示的点在第一象限，∴，‎ 解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．‎ ‎18.如图，一个正方形花圃被分成5份.‎ ‎（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?‎ ‎（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?‎ ‎【答案】（1）96；（2） 16800‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，依次分析5个部分的种植方法数目， 对C部分种植进行分类，再由分步计数原理计算可得答案； （2）根据题意，分2步进行分析：①将7个盆栽分成5组，有2种分法：即分成的5组或分成的5组；②将分好的5组全排列，对应5个部分，由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【详解】（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：‎ ‎①C若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种；‎ ‎②C若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种.‎ 综上，共有96种种植方法.‎ ‎（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：‎ ‎①若分成2-2-1-1-1的5组，有种分法；‎ ‎②若分成3-1-1-1-1的5组，有种分法；‎ 将分好的5组全排列，对应5个部分，‎ 则一共有种放法.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关排列与组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求在上的最值；‎ ‎（2）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.‎ ‎【答案】（1）当时，的最大值为4；当时，的最小值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，令，得到在上的单调性，从而求得最值；（2）由，数形结合分析可得取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，令，解得或，‎ 因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，‎ 又因为，，，‎ 所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.‎ ‎（2）因为，结合图象：‎ 令，解得，‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查根据函数的图像和性质求参数法人方法，要熟练掌握数形结合思想方法的运用，属中档题.‎ ‎20.设函数，，，其中是的导数，令，，.‎ ‎（1）求，，，并猜想；‎ ‎（2）证明：猜想的表达式成立.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）利用数学归纳法证明即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，则，‎ 所以，，，‎ 猜想.‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，结论成立；‎ ‎②假设时结论成立，即，‎ 那么，当时，，即结论成立，‎ 由①②可知，对成立.‎ ‎【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明等式的方法、考查了猜想能力、推理能力与计算能力，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证n=1时成立；（2）假设当n=k时成立，证得n=k+1也成立；（3）得到证明的结论.其中在n=k到n=k+1的推理中必须使用归纳假设.属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数的求导数，然后分别讨论当时和当时的情况即可求得结果；（2）构造函数，求的导数，再构造函数，利用导数研究函数的零点，设为，分析可得，且，最后构造函数，因为，由其单调性可得，根据是增函数，从而有，解之即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ ‎①当时，，所以在R上单调递增；‎ ‎②当时，得，又因为是增函数；‎ 所以在上单调递减；在上单调递增.‎ ‎（2）因为，恒成立，‎ 所以等价于 恒成立，‎ 令，定义域，则，‎ 令，则，所以是增函数，‎ 因为，，时，，‎ 所以有且只有一个根，设，则，‎ 则在单调递减，在单调递增，‎ 所以，则，‎ 令，则，‎ 又因为，所以，则，解得，‎ 综上可得，实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，尤其是第二问，考查转化与化归的能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）得到，，则，令，则，，令，根据函数的单调性求出t的范围，再根据，求出a的范围即可.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ 令，则，‎ ‎①当时，，恒成立，函数单调递增区间为；‎ ‎②当时，，方程有两根，，，‎ 函数在上，在上，在上，‎ 单调递增区间为、；‎ 单调递减区间为.‎ ‎（2）由（1）知函数在上单调递减，则，‎ 令，则，，‎ 令，则，所以在上单调递减，‎ 因为，所以，‎ 因为，，‎ 所以，解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间和根据不等式恒成立求参数，尤其是第二问，考查转化与化归的能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎ ‎