高中数学选修2-3教学课件：离散型随机变量的期望和方差（二）上课用 20页

离散型随机变量的期望方差（二） 高二数学 选修 2-3 如果其他对手的射击成绩都在 8 环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 x 1 、 x 2 的分布列如下： 试比较两名射手的射击水平 . x 1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 x 2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 如果其他对手的射击成绩都在 9 环左右，应派哪一名选手参赛？ 显然两名选手的水平是不同的 , 这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性 . 方差定义 一组数据的方差： 方差反映了这组数据的波动情况 在一组数： x 1 , x 2 , … , x n 中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为： 类似于这个概念 , 我们可以定义随机变量的方差 .. 离散型 随机变量取值的方差和标准差 : 则称 为随机变量 x 的方差 . 一般地 , 若离散型随机变量 x 的概率分布列为： ··· ··· ··· ··· 称 为随机变量 x 的标准差 . 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 记忆方法 : “ 三个的 ” 练习一下 练习 1.( 课本第 78 练习 ) 已知随机变量 x 的分布列 x 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求 D x 和 σ x . 解： 2. 若随机变量 x 满足 P （ x ＝ c ）＝ 1 ，其中 c 为常数，求 E x 和 D x . E x ＝ c×1 ＝ c D x ＝（ c － c ） 2 ×1 ＝ 0 练习一下 结论 1 ： 则 ; 结论 2 ：若 ξ~ B ( n ， p ) ，则 E ξ= np. (1) 则 ; (2) 若 ξ~ B ( n ， p ) ，则 D ξ= ?. 可以证明 , 对于方差有下面两个重要性质： 则 1. 已知随机变量 x 的分布列为则 E x 与 D x 的值为 ( ) (A) 0.6 和 0.7 (B)1.7 和 0.3 (C) 0.3 和 0.7 (D)1.7 和 0.21 2. 已知 x~ B(100,0.5), 则 E x =___,D x =____, sx=___. E(2 x -1)=____, D(2 x -1)=____, s (2 x -1)=_____ x 1 2 P 0.3 0.7 D 50 25 5 99 100 10 3 、有一批数量很大的商品，其中次品占 1 ％，现从中任意地连续取出 200 件商品，设其次品数为 X ，求 EX 和 DX 。 2 ， 1.98 练习： 117 10 0.8 5. 若随机变量 服从二项分布，且 E=6 ， D =4, 则此二项分布是 。 设 二项分布为  ~B(n,p) , 则 E =np=6 D =np(1-p)=4 n =18 p =1/3 再看一例 例 2 如果其他对手的射击成绩都在 8 环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 x 1 、 x 2 的分布列如下： 试比较两名射手的射击水平 . x 1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 x 2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 如果其他对手的射击成绩都在 9 环左右，应派哪一名选手参赛？ 如果对手在 8 环左右 , 派甲 . 如果对手在 9 环左右 , 派乙 . 例 2 ：甲乙两人每天产量相同，它们的 次品个数分别为 ，其分布列为  0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2  0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 判断甲乙两人生产水平的高低？ E =0×0.3+1×0.3 ＋ 2×0.2 ＋ 3×0.2=1.3 E =0×0.1+1×0.5 ＋ 2×0.4=1.3 D =(0 － 1.3) 2 ×0.3+(1 － 1.3) 2 ×0.3 ＋（ 2 － 1.3 ） 2 ×0.2 ＋（ 3-1.3) 2 ×0.2=1.21 结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高。 期望值高，平均值大，水平高 方差值小，稳定性高，水平高 例 3: 有甲乙两个单位都愿意聘用你 , 而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资 X 1 / 元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率 P 1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资 X 2 / 元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率 P 2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解： 在两个单位工资的数学期望相等的情况下 , 如果认为自己能力很强 , 应选择工资方差大的单位 , 即乙单位 ; 如果认为自己能力不强 , 就应选择工资方差小的单位 , 即甲单位 . 知识回顾 ★ 求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？ ★ 在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？ 求分布列→求期望→求方差 ★ 分布列性质 拓展例题 析 : 审清题意是解决该题的关键 . 1. 抓住蝇子一个个有顺序地飞出 , 易联想到把 8 只蝇子看作 8 个元素有序排列 . ●●☆●●●☆● ，由于 ξ=0“ 表示☆ ●●●●●☆●”，最后一只必为 果蝇，所以有 ξ=1“ 表示 ● ☆ ●●●☆●●” P （ ξ=0 ） = ，同理有 P （ ξ=1 ） = ξ=2“ 表示 ● ● ☆ ●●☆●●”有 P （ ξ=2 ） = ξ=3“ 表示 ● ● ● ☆ ●☆●●”有 P （ ξ=3 ） = ξ=4“ 表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有 P （ ξ=4 ） = ξ=5“ 表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有 P （ ξ=5 ） = ξ=6“ 表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有 P （ ξ=6 ） = 0 1 2 3 4 5 6 2 、（ 07 ，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司交纳 900 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 9000 元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1/9 、 1/10 、 1/11 ，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （ 1 ）获赔的概率； （ 2 ）或赔金额 的分布列与期望。 3. 根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为 0.01 ，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费 100 元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿 a 元（ a>100 ），问 a 如何确定，可使保险公司期望获利？ 4 、若随机事件 A 在一次试验中发生的概率为 p(0