高中数学选修2-3课件3_1 回归分析（四） 20页

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（四） 高二数学 选修 2-3 第三章 统计案例 比 《 数学 3》 中“回归”增加的内容 数学３ —— 统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 y ＝ bx ＋ a 用回归直线方程解决应用问题 选修 2-3 —— 统计案例 引入线性回归模型 y ＝ bx ＋ a ＋ e 了解模型中随机误差项 e 产生的原因 了解相关指数 R 2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果 复习回顾 1 、线性回归模型： y=bx+a+e ， (3) 其中 a 和 b 为模型的未知参数， e 称为随机误差 。 y=bx+a+e ， E(e)=0,D(e)= (4) 2 、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为 残差 。 3 、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为 残差平方和 ， 它代表了随机误差的效应。 4 、 两个指标： （ 1 ）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。 （ 2 ）我们可以用 相关指数 R 2 来刻画回归的效果，其 计算公式是： R 2 1 ，说明回归方程拟合的越好； R 2 0 ，说明回归方程拟合的越差。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。 5 、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称为残差分析 。 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为 残差图 。 案例 2 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关。现收集了 7 组观测数据列于表中： （ 1 ）试建立产卵数 y 与温度 x 之间的回归方程；并预测温度为 28 o C 时产卵数目。 （ 2 ）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 温度 x o C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 非线性回归问题 假设线性回归方程为 ： ŷ =bx+a 选 模 型 由计算器得：线性回归方程为 y= 19.87 x -463.73 相关指数 R 2 = r 2 ≈0.864 2 =0.7464 估计参数 解：选取气温为解释变量 x ，产卵数 为预报变量 y 。 选变量 所以，二次函数模型中温度解释了 74.64% 的产卵数变化。 探索新知 画散点图 0 50 100 150 200 250 300 350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方案 1 分析和预测 当 x =28 时， y = 19.87×28-463.73≈ 93 一元线性模型 奇怪？ 93>66 ? 模型不好？ y=bx 2 +a 变换 y=bt+a 非线性关系 线性关系 方案 2 问题１ 选用 y=bx 2 +a ，还是 y=bx 2 +cx+a ？ 问题 3 产卵数 气温 问题 2 如何求 a 、 b ？ 合作探究 t =x 2 二次函数模型 方案 2 解答 平方变换 ： 令 t=x 2 ，产卵数 y 和温度 x 之间二次函数模型 y=bx 2 +a 就转化为产卵数 y 和温度的平方 t 之间线性回归模型 y=bt+a 温度 21 23 25 27 29 32 35 温度的平方 t 441 529 625 729 841 1024 1225 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 作散点图，并由计算器得： y 和 t 之间的线性回归方程为 y= 0.367 t -202.543 ，相关指数 R 2 =0.802 将 t=x 2 代入线性回归方程得： y= 0.367 x 2 -202.543 当 x =28 时 ， y =0.367×28 2 -202.54≈85 ，且 R 2 =0.802 ， 所以，二次函数模型中温度解 释了 80.2% 的产卵数变化。 t 问题２ 变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系 问题１ 如何选取指数函数的底 ? 产卵数 气温 指数函数模型 方案 3 合作探究 对数 方案 3 解答 温度 x o C 21 23 25 27 29 32 35 z=lny 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 x z 当 x=28 o C 时， y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了 98.5% 的产卵数的变化 由计算器得： z 关于 x 的线性回归方程 为 对数变换：在 中两边取常用对数得 令 ，则 就转换为 z=bx+a. 相关指数 R 2 =0.98 最好的模型是哪个 ? 产卵数 气温 产卵数 气温 线性模型 二次函数模型 指数函数模型 比一比 函数模型 相关指数 R 2 线性回归模型 0.7464 二次函数模型 0.80 指数函数模型 0.98 最好的模型是哪个 ? 回归分析（二） 则回归方程的残差计算公式分别为： 由计算可得： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 0.557 -0.101 1.875 -8.950 9.230 -13.381 34.675 47.696 19.400 -5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968 因此模型（ 1 ）的拟合效果远远优于模型（ 2 ）。 总 结 对于给定的样本点 两个含有未知参数的模型： 其中 a 和 b 都是未知参数。拟合效果比较的步骤为： （ 1 ）分别建立对应于两个模型的回归方程 与 其中 和 分别是参数 a 和 b 的估计值； （ 2 ）分别计算两个回归方程的残差平方和 与 （ 3 ）若 则 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。 练习： 为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 y/ 个 6 12 25 49 95 190 （ 1 ）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图； （ 2 ） 描述解释变量与预报变量 之间的关系； （ 3 ） 计算残差、相关指数 R 2 . 天数 繁殖个数 解： （ 1 ） 散点图如右所示 （ 2 ）由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y= 的周围，于是令 Z=lny, 则 x 1 2 3 4 5 6 Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得 则有 6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 （ 3 ） 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了 99.99%. 练习 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料。 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 ,y 对 x 呈线性相关关系。试求： （ 1 ）线性回归方程 的回归系数 ； （ 2 ）求残差平方和； （ 3 ）求相关系数 ； （ 4 ）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 解： （ 1 ）由已知数据制成表格。 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 4 9 16 25 36 90 所以有