2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：平面解析几何第8节圆锥曲线中的范围、最值问题 9页

第八节　圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎⊙考点1　范围问题 ‎　圆锥曲线中范围问题的五个解题策略 解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：‎ ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ ‎　(2019·大连模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，离心率为，点F1为圆M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．‎ ‎[解](1)由题意知＝，则a＝2c.‎ 圆M的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，‎ 从而椭圆的左焦点为F1(－1,0)，即c＝1.所以a＝2.‎ 由b2＝a2－c2，得b＝.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知椭圆右焦点F2(1,0)．‎ ‎①当直线l与x轴垂直时，此时斜率k不存在，直线l：x＝1，直线l1：y＝0，可得|AB|＝3，|CD|＝8，四边形ACBD的面积为12.‎ ‎②当直线l与x轴平行时，此时斜率k＝0，直线l：y＝0，直线l1：x＝1，可得|AB|＝4，|CD|＝4，四边形ACBD的面积为8.‎ ‎③当直线l与x轴不垂直也不平行时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.‎ 显然Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 所以|AB|＝|x1－x2|＝.‎ 过点F2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y＝－(x－1)，则圆心到直线l1的距离为，‎ 所以|CD|＝2＝4.‎ 故四边形ACBD的面积S＝|AB||CD|＝12.‎ 可得当直线l与x轴不垂直时，四边形ACBD面积的取值范围为(12,8)．‎ 综上，四边形ACBD面积的取值范围为[12,8]．‎ ‎　过点F2的直线l与l1，有斜率不存在的情况，应分类求解．‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎(2019·石家庄模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围．‎ ‎[解](1)由抛物线定义，得|PF|＝x0＋，由题意得，解得 ‎　所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由题意知，过P引圆(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤)的切线斜率存在且不为0，设切线PA的方程为y＝k1(x－1)＋2，则圆心M(3,0)到切线PA的距离d＝＝r，整理得，(r2－4)k－8k1＋r2－4＝0.‎ 设切线PB的方程为y＝k2(x－1)＋2，同理可得(r2－4)k－8k2＋r2－4＝0.‎ 所以k1，k2是方程(r2－4)k2－8k＋r2－4＝0的两根，k1＋k2＝，k1k2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得，k1y2－4y－4k1＋8＝0，由根与系数的关系知，2y1＝，所以y1＝＝－2＝4k2－2，同理可得y2＝4k1－2.(8分)‎ t＝＝＝＝2(k＋k)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)2‎ ‎－2(k1＋k2)－3，‎ 设λ＝k1＋k2，则λ＝∈[－4，－2)，‎ 所以t＝2λ2－2λ－3，其图像的对称轴为λ＝＞－2，所以9＜t≤37.‎ ‎　(2019·郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎[解](1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 联立解得 故椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，‎ 所以m2＜1＋4k2. ①‎ 所以x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝.‎ 所以kAP＝＝－.‎ 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，‎ 则－＝－，即3m＝4k2＋1. ②‎ 把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.‎ 由②得k2＝＞0，解得m＞.‎ 综上可知，m的取值范围为.‎ ‎⊙考点2　最值问题 ‎　求解圆锥曲线中最值问题的两种方法 ‎(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；‎ ‎(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解．‎ ‎　利用基本不等式求最值 ‎　已知抛物线E：y2＝2px(0＜p＜10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E上，且|FM|＝10.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)过点F作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B，C，D，P、Q分别为弦AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．‎ ‎[解](1)抛物线E的准线方程为x＝－.‎ 由抛物线的定义可得|FM|＝t＋＝10，故t＝10－.‎ 由点M在抛物线上，可得82＝2p，整理得p2－20p＋64＝0，解得p＝4或p＝16，‎ 又0＜p＜10，所以p＝4.‎ 故抛物线E的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)由(1)知抛物线E的方程为y2＝8x，焦点为F(2,0)，‎ 由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0.‎ 设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为－，‎ 故直线AB的方程为y＝k(x－2)．‎ 联立方程组，消去x，整理得ky2－8y－16k＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，‎ 因为P(xP，yP)为弦AB的中点，所以yP＝(y1＋y2)＝，‎ 由yP＝k(xP－2)得xP＝＋2＝＋2，故P.‎ 同理可得Q(4k2＋2，－4k)．‎ 故|QF|＝＝＝4，‎ ‎|PF|＝＝.‎ 因为PF⊥QF，‎ 所以△FPQ的面积S＝|PF|·|QF|＝××4 ‎＝8×＝8≥8×2＝16，当且仅当|k|＝，即k＝±1时，等号成立．‎ 所以△FPQ的面积的最小值为16.‎ ‎　求点Q的坐标时，可根据直线AB与CD的斜率关系，把点P坐标中的k换成－，即可得到点Q的坐标．‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎[解](1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.‎ 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.‎ 故E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.‎ ‎　当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.‎ 从而|PQ|＝|x1－x2|‎ ‎＝.‎ 又点O到直线PQ的距离d＝，‎ 所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.‎ 设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.‎ 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.‎ 所以，当△OPQ的面积最大时，‎ l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.‎ ‎　利用二次函数求最值 ‎　(2019·合肥模拟)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．‎ ‎[解](1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，‎ 联立消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由于直线m的斜率不为0，‎ 可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，‎ ‎∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，‎ ‎∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．‎ 设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，‎ 则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，‎ ‎∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.‎ ‎　本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到dA＋dB＝2d.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎(2019·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C不同于R(1,2)的D，E两点，若直线DR，ER分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程．‎ ‎[解](1)由题意知，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，F，直线AB的方程为x＝y＋，‎ 联立得y2－2py－p2＝0，‎ 解得y＝(1±)p.‎ 则|AB|＝＝＝4p＝8，‎ ‎∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，‎ 由题意知，直线DE的斜率存在且不为0.‎ 设直线DE的方程为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，‎ 联立消去x得y2－4my＋4(m－1)＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)．‎ ‎∴|y2－y1|＝＝4.‎ 设直线DR的方程为y＝k1(x－1)＋2，‎ 联立解得xM＝.‎ 又k1＝＝＝，‎ ‎∴xM＝＝－.‎ 同理得xN＝－.‎ ‎∴|MN|＝|xM－xN|＝＝2·＝2·.‎ 令m－1＝t，t≠0，则m＝t＋1.‎ ‎∴|MN|＝2＝2 ‎＝2≥.‎ ‎∴当t＝－2，m＝－1时，|MN|取得最小值．‎ 此时直线DE的方程为x＝－(y－1)＋1，即x＋y－2＝0.‎ ‎　(2019·黄山模拟)已知点M(1，n)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，且点M到抛物线焦点的距离为2.直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点为P(3,2)．‎ ‎(1)求直线l的方程．‎ ‎(2)点Q是直线y＝x上的动点，求·的最小值．‎ ‎[解](1)由题意知，抛物线的准线方程为x＝－，所以1＋＝2，解得p＝2，‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y＝4x1，y＝4x2，‎ 则y－y＝4(x1－x2)，‎ 即＝＝＝1，‎ 所以直线l的方程为y－2＝x－3，‎ 即x－y－1＝0.‎ ‎(2)因为点A，B都在直线l上，所以A(x1，x1－1)，B(x2，x2－1)，设Q(m，m)，‎ ·＝(x1－m，x1－(m＋1))·(x2－m，x2－(m＋1))＝(x1－m)(x2－m)＋[x1－(m＋1)][x2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝2x1x2－(2m＋1)(x1＋x2)＋m2＋(m＋1)2，‎ 联立得x2－6x＋1＝0，‎ 则x1＋x2＝6，x1x2＝1，‎ 所以·＝2－(2m＋1)×6＋m2＋m2＋2m＋1＝2m2－10m－3＝2－，‎ 当m＝时，·取得最小值，为－.‎ ‎　利用导数求最值 ‎　(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎(2)求|PA|·|PQ|的最大值．‎ ‎[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，‎ 因为－