2017-2018学年北京师大附中高二年级下学期期中考试数学试题（文科）（Word版） 9页

北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）‎ 说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）‎ ‎1．设集合，集合，则集合等于 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．设全集U是实数集R，，，则下图中阴影部分所表示的集合是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．“a>b>0”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．当时，关于函数，下列叙述正确的是( )‎ A．函数f(x)有最小值2 B．函数f(x)有最大值2‎ C．函数f(x)有最小值3 D．函数f(x)有最大值3‎ ‎8．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果，使得，则称为区间[a，b]上的“中值点”，下列函数：‎ ‎①； ②； ③； ④中，在区间[O，1]上“中值点”多于一个的函数序号为( )‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①④‎ 二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎9．已知复数为纯虚数，则实数a=________．‎ ‎10．若，则的解集为__________．‎ ‎11．已知函数，若，则实数a=___________．‎ ‎12．已知，则的最小值是__________．‎ ‎13．已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：‎ ‎①函数在（-2，-1）和(1，2)是单调递增函数；‎ ‎②函数在x=0处取得极大值f(0)；‎ ‎③函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值；‎ ‎④函数f(x)在(-2，0)上是单调递增函数，在(0，2)上是单调递减函数．‎ 则正确命题的序号是___________．（填上所有正确命题的序号）‎ ‎14．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA =x(x>1)，AD=y．则当x=时，y有最小值___________．‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（满分13分）己知函数．‎ ‎(I)求函数f(x)的极值：‎ ‎(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；‎ ‎16．（满分13分）已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，．‎ ‎（I）若，求a的取值范围；‎ ‎（II）若是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎17．（满分13分）设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．‎ ‎(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；‎ ‎(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．‎ ‎18．（满分14分）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB,PD的中点．‎ ‎（I）求证：PB∥平面FAC；‎ ‎（II）求三棱锥P-EAD的体积；‎ ‎（III）求证：平面EAD⊥平面FAC．‎ ‎19．（满分13分）已知椭圆，点P(2，0)．‎ ‎(I)求椭圆C的短轴长与离心率；‎ ‎(II)过(1，0)的直线与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．‎ ‎20．（满分14分）已知函数 ‎(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；‎ ‎(II)设实数k使得f(x)0，且,‎ 所以．‎ ‎（II）因为A，B是抛物线C上的两点，所以设，‎ 由OA⊥OB，得，所以．‎ 由，知 ‎，即直线AB经过定点M（4,0）．‎ ‎18．解：（I）连接BD，与AC交于点O，连接OF，‎ 在△PBD中，O，F分别是BD，PD中点，‎ 所以OF∥PB，‎ 又因为OF平面FAC，---1分 PB平面FAC，‎ 所以PB//平面FAC，‎ ‎{说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}‎ ‎（II）法1：因为PA⊥平面ABCD，AB,AD平面ABCD，‎ 所以PA⊥AB，PA⊥AD，‎ 又因为AB⊥AD，，PA,AB平面PAB，‎ 所以AD⊥平面PAB，‎ 在直角△PAB中，PA=AB=2，E为PB中点，‎ 所以，‎ 所以三棱锥P-EAD的体积为．‎ 法2：因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P-ABD的高．‎ 因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，‎ 所以，‎ 因为E为PB中点，所以，‎ 所以．‎ ‎（III）证明：‎ 因为AD⊥平面PAB，PB平面PAB，‎ 所以AD⊥PB，‎ 在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，‎ 又，AE,AD平面EAD，‎ 所以PB⊥平面EAD，‎ 又OF∥PB，‎ 所以OF⊥平面EAD，‎ 又OF平面FAC，‎ 所以平面EAD⊥平面FAC．‎ ‎19．解：（I），故 有，．‎ 椭圆C的短轴长为，离心率为．‎ ‎（II）方法1：结论是：．‎ 当直线斜率不存在时，‎ 当直线斜率存在时，设直线 ‎，整理得：‎ 故 故，即点P在以MN为直径的圆内，故．‎ ‎（II）方法2：结论是．‎ 当直线斜率不存在时，‎ 当直线斜率存在时，设直线 ‎，整理得：‎ 故 此时，‎ 故 ‎20．解：（I）；‎ ‎（II）因为，所以恒成立等价于恒成立，‎ 令，再求函数的最大值，得k的范围是；‎ ‎（III）由，得，即，，‎ 研究函数，的最大值，，‎ 所以，当或者时，有0个零点；‎ 当或者时，有1个零点；‎ 当时，有2个零点；‎