江西省宜春市第九中学2019-2020学年高二入学考试数学（文）试卷 14页

数学(文科)试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的     ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查充分条件和必要条件的判断及复数的概念和四则运算，属基础题． 根据复数的概念和运算将条件“复数为纯虚数”化简得出a、b的关系式，再判断是充分或是必要条件即可． 【解答】 解：， 当为纯虚数时，且， 若，则或，此时充分性不成立， 若且，则成立，即必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件． 故选B． ‎ 2. 设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．求解指数函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，再由并集运算得答案． 【解答】 解：，， ， ． 故选C． ‎ 3. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是   ‎ A.   B. 1 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】 解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图， 联立，解得， 化目标函数为， 由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最大， z有最大值：10． 故选：C． ‎ 1. 已知，，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查条件概率，利用条件概率的公式即可求解，属于基础题． 根据条件概率公式，得，结合题中的数据代入即可求得本题的答案．  【解答】 解：由， 得． 故选C． ‎ 2. 等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，则前6项的和为     ‎ A. B. C. 3 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列前n项和的求法，等差数列、等比数列的性质，属于基础题． 利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出前6‎ 项的和． 【解答】 解：设等差数列的公差为d，， 由题意得， ，，成等比数列， ， ， 解得， 前6项的和为 ． 故选A． ‎ 1. 如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是 ‎ A. 34 B. 55 C. 78 D. 89‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题． 写出前几次循环的结果，直到不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值． 【解答】 解：第一次循环得，，； 第二次循环得，，； 第三次循环得，，； 第四次循环得，，； 第五次循环得，，； 第六次循环得，，； 第七次循环得，，； 第八次循环得，，；退出循环，输出55， 故选B． ‎ 1. 下面几种推理过程是演绎推理的是   ．‎ A. 在数列中，，，由其归纳出的通项公式 B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C. 两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则 D. 某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人 ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论．演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项． 【解答】 解：A选项，在数列中，，，由其归纳出的通项公式，是归纳推理． B选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理； C选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“与是两条平行直线的同旁内角”，结论是“” D选项中：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理； 综上得，C选项正确． 故选C． ‎ 2. 已知，则    ‎ A.  0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数公式，属于基础题． 利用诱导公式和两角差的正弦公式进行变形，整体带入求值即可． 【解答】 解：， ， ‎ ‎， 故， 故选C． ‎ 1. 有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性．这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：‎ 男 女 合计 无 ‎40‎ ‎35‎ ‎75‎ 有 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 合计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 附：‎ 据此表，可得 A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 ‎【答案】A ‎【解析】解：由表中数据，计算， 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足； 故选：A． 由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论． 本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．属中档题． ‎ 2. 设m，n，t是互不相等的正数，则，，三个数    ‎ A. 都不等于4 B. 至少有一个小于4 C. 至少有一个大于4 D. 至多有一个不大于4‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】  本题主要考查用反证法证明不等式，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，  属于中档题． 把这三个数的和变形为，利用基本不等式可得三个数的和大于12，从而得到这三个数中， 至少有一个大于4． 【解答】 解：、n、t都是正数， 假设都小于或等于4， 则， 由于，当且仅当时取 ‎， 因为m，n，t是互不相等的正数，则， 所以假设不成立， 故三个数，至少有一个大于4． 故选C． ‎ 1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 本题考查两个变量的线性相关，考查相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近或，此题是基础题． 根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【解答】 解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选：A． ‎ 2. 设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于A，B两点，则 A. B. 6 C. 12 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，属于中档题． 求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得 ‎． 【解答】 解：由得其焦点，准线方程为， 则过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线方程为： ， 代入抛物线方程，消去y，得， 设，， 则， 所以 ． 故选C． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 如果复数其中i是虚数单位是实数，则实数m值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得m值． 【解答】 解：为实数， ，即 故答案为． ‎ 2. 已知函数有两个极值点，则a的范围______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查导数的应用，函数极值存在的条件，考查一元二次函数根的个数，考查转化思想，属于基础题． 求导，由函数有两个极值点，则方程有两个不相等的根，则，即可求得a的范围． 【解答】 解：由题意可知：函数，求导，， 由函数有两个极值点， 则方程有两个不相等的根， ，即，解得：或， 的范围， 故答案为． ‎ 3. 已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前n项和等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，数列的前n项和求法，是基本知识的考查． 利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列的前n项和． 【解答】 解：数列是递增的等比数列，，， 可得，解得，， ，， 数列的前n项和为：． 故答案为：． ‎ 1. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据如表，由最小二乘法求得回归方．‎ 零件数x个 ‎10 ‎ ‎20 ‎ ‎30 ‎ ‎40 ‎ ‎50 ‎ 加工时间 ‎ ‎62 ‎ ‎ ‎ ‎75 ‎ ‎81 ‎ ‎89 ‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______．‎ ‎【答案】解：设表中有一个模糊看不清数据为m． 由表中数据得：，， 由于由最小二乘法求得回归方程． 将，代入回归直线方程，得． 故答案为68．‎ ‎【解析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程代入样本中心点求出该数据的值， 本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 2. ‎  已知函数．‎ Ⅰ若不等式的解集为，求实数a的值；‎ Ⅱ在Ⅰ的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】Ⅰ由得，解得．‎ 又已知不等式 的解集为，‎ 所以，解得                               ‎ Ⅱ当时，，，设，‎ 于是 所以当时，，；  ‎ 当时，，； ‎ 当时，．‎ 综上可得，的最小值为                            ‎ 从而若，即对一切实数x恒成立，‎ 则m的取值范围为                                ‎ ‎【解析】本题考查极坐标方程与参数方程  ‎ Ⅰ直接把圆C的参数方程化为变通方程，再化为极坐标方程 Ⅱ把代入圆C与直线l的极坐标方程求出点P，Q的极径，从而求出PQ的长．‎ 本题考查的是绝对值不等式及恒成立问题．‎ Ⅰ解，并对照解集的左右端点可求a值 Ⅱ令，求去绝对值把化为分段函数求出的最小值从而解决恒成立问题．‎ ‎ ‎ 1. 已知圆的极坐标方程为． 将极坐标方程化为直角坐标方程；‎ 若点在该圆上，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】解：由圆的极坐标方程为， 可得， 即， 所以直角坐标方程为 由可知圆的标准方程为， 所以圆的参数方程为 为参数， 因为点在该圆上， 所以 ‎， 所以， 因为 所以的最大值为1，最小值为， 所以的最大值为6，最小值为2．‎ ‎【解析】本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆的参数方程的应用，属于中档题． 根据极坐标方程与直角坐标方程的转化公式计算，即可得到答案 由圆的普通方程得到圆的参数方程为 为参数，，从而得到点，再通过三角恒等变换以及三角函数的性质求得最大值和最小值． ‎ 1. 某电视传媒公司为了解本地区观众对体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看体育节目时间的频率分布直方图将日均收看体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”． ‎ 根据已知条件完成下面的列联表：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎ 根据此调查结果，是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？ 参考公式和数据：‎ ‎，‎ ‎【答案】解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “体育迷”有人，‎ 从而完成列联表如下： ‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，‎ 得，‎ 因为，‎ 所以没有的把握认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎【解析】本题考查独立性检验，频率分布直方图，属于中档题．‎ 利用频率分布直方图直接完成列联表； 计算，即可得解．‎ ‎ ‎ 1. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． 求数列，的通项公式； 令，求数列的前n项和 ‎【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， ，， ，， 联立解得． ． ，， ，． ， ， ， ． ．‎ ‎【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式以及错位相减法求和，属基础题． 由，，结合等差数列的通项公式联立求出数列首项和公差，得到等差数列的通项公式，根据，的值，利用等比数列的通项公式求得等比数列的首项和公比，得到比数列的通项公式． 由的结论得到数列的前通项公式，利用错位相减的求和方法，结合等比数列的求和公式即可求得． ‎ 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．‎ 求tanB的值；‎ 若，求的面积 ‎ ‎【答案】解：在中，由，得， 所以． 所以 ． 在中，由，得，， 则 ． 由正弦定理， 得， 所以的面积．‎ ‎【解析】本题考查两角和差公式、同角三角函数关系、正弦定理、三角形的面积，属于中档题． 运用同角三角函数关系，求得，   再运用两角和差的正切公式计算，即可得到答案； 先求得，，再运用两角和差公式求得sinC值，进而运用正弦定理求得，最后通过三角形的面积公式计算，即可得到答案． ‎ 1. 设函数，，，记． Ⅰ求曲线在处的切线方程； Ⅱ求函数的单调区间； Ⅲ当时，若函数没有零点，求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：Ⅰ因为，所以， 则在处的切线斜率为， 又， 函数在处的切线方程为 ‎， 即； Ⅱ， ，， 当时，， 在区间上单调递增， 当时，令，解得， 令，解得， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上所述： 当时，函数的增区间是， 当时，函数的增区间是，减区间是； Ⅲ依题意，函数没有零点， 由Ⅱ知：当时， 函数在区间上为增函数，区间上为减函数， 只需， 解得． 实数a的取值范围为 ‎【解析】本题主要考查导数的几何意义，以及函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点问题，考查学生的运算能力，属于中档题． Ⅰ求函数的导数，利用导数的几何意义，即可求曲线在处的切线方程； Ⅱ求函数的导数，利用函数导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间； Ⅲ根据函数没有零点，转化为最大值小于零，即可得到结论． ‎