【数学】2021届一轮复习人教版（理）20　定积分与微积分基本定理 5页

‎　　　　　　　定积分与微积分基本定理 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)‎ A．1　　　　 B．－2‎ C．－2或4 D．4‎ D　[由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．]‎ ‎2．设f(x)＝cos tdt，则f＝(　　)‎ A．1 B．sin C．sin 2 D．2sin D　[∵f(x)＝cos tdt＝sin t|＝2sin x，‎ ‎∴f＝2sin ＝，∴f＝2sin .]‎ ‎3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ D　[如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积．‎ S阴＝(4x－x3)dx ‎＝| ‎＝8－×24＝4，故选D.]‎ ‎4.dx的值为(　　)‎ A. B. C．π D．2π A　[令y＝，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)．‎ ‎∴dx表示由曲线y＝，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的，∴dx＝.]‎ ‎5．若S1＝dx，S2＝(ln x＋1)dx，S3＝xdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)‎ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3‎ C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S1＜S2‎ A　[如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.]‎ ‎6．如果1 N的力能拉长弹簧‎1 cm，为了将弹簧拉长‎6 cm，所耗费的功为(　　)‎ A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J A　[设F(x)＝kx，当x＝‎0.01 m时，F(x)＝1，可知k＝100.‎ ‎∴所耗费的功W＝100xdx＝50x2|＝0.18 J．]‎ ‎7．若f(x)＝x2＋‎2‎f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ B　[由题意知f(x)＝x2＋‎2‎f(x)dx，‎ 设m＝f(x)dx，‎ ‎∴f(x)＝x2＋‎2m，‎ f(x)dx＝(x2＋‎2m)dx＝| ‎＝＋‎2m＝m，∴m＝－.]‎ 二、填空题 ‎8.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________．‎ 　[由题图可知f(x)＝－x2＋1.‎ ‎∴它与x轴所围成的面积S＝(1－x2)dx＝|＝－＝＋＝.]‎ ‎9．汽车以‎72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝‎4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.‎ ‎50　[先求从刹车到停车所用的时间，‎ 当t＝0时，v0＝‎72 km/h＝‎20 m/s，‎ 刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.‎ 令v(t)＝0，可得t＝5 s，‎ 所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：‎ (20－4t)dt＝(20t－2t2)|＝50(m)．‎ 即汽车从开始刹车到停止，共走了‎50 m．]‎ ‎10．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝‎3f(x0)，x0＞0，则x0＝________．‎ 　[依题意得f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝x3＋bx|＝3(ax＋b)，即3ax＝‎9a(a≠0)，x＝3(x0＞0)，由此解得x0＝.]‎ ‎1．已知f(x)＝，则f(x)dx＝(　　)‎ A．2＋π B. C．－2＋ D.－2‎ D　[f(x)dx＝sin xdx＋dx，‎ sin xdx＝－cos x|＝－2，‎ dx的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的，故dx＝，所以f(x)dx＝－2，故选D.]‎ ‎2．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　)‎ A．5 000　　　　　　 B．6 667‎ C．7 500 D．7 854‎ B　[题图中阴影部分的面积为 (1－x2)dx＝|＝，又正方形的面积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×≈6 667，故选B.]‎ ‎3．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．‎ 　[封闭图形如图所示，‎ 则dx＝x|＝a－0＝a2，解得a＝.]‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝πx2dx＝x3|＝.据此类比：将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴，y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________．‎ π(e－1)　[类比已知结论，将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e)2＝πey，积分变量为y，积分区间为[0，1]，即V＝πeydy＝πey|＝π(e－1)．]‎ ‎1.(＋ex－1)dx＝________．‎ ＋e－－2　[(＋ex－1)dx ‎＝dx＋(ex－1)dx.‎ 因为dx表示单位圆的上半部分的面积，‎ 所以dx＝.‎ 而(ex－1)dx＝(ex－x)| ‎＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，‎ 所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.]‎ ‎2．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x‎2f′(1)，则f′(1)＝________，f(x)dx＝________．‎ ‎－3　－4　[因为f(x)＝x3＋x‎2f′(1)，‎ 所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．‎ 所以f′(1)＝3＋‎2f′(1)，解得f′(1)＝－3.‎ 所以f(x)＝x3－3x2.‎ 故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝(－x3)|＝－4.]‎