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- 2021-07-01 发布
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高一年级下学期期中考试数学试题
考试时间:120分钟;分值:150分
一.选择题(共24小题,每小题5分,共120分)
1.如果,那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用的特殊值,代入选项逐一判断选项是否正确,由此得出正确选项.
【详解】令.对于A选项,所以A选项错误.对于B选项,,故B选项错误.对于C选项,,C选项正确.对于D选项,,故D选项错误.综上所述,本小题选C.
【点睛】本小题主要考查比较数的大小,考查选择题的特殊值排除法,属于基础题.比较两个数的大小,对于对于选择题或者填空题来说,最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质,或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂,还需要借助奇偶性,结合图像来求解.
2.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化不等式的二次项系数为正,因式分解确定对应方程的根,然后结合二次函数性质写出解集.
【详解】原不等式可化为:,即,,
所以原不等式解集为.
故选:C.
【点睛】本题考查解一元二次不等式,解题关键是化二次项系数为正.
3.数列,,,,…,是其第( )项
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,分析归纳可得该数列可以写成,,,……,,可得该数列的通项公式,分析可得答案.
【详解】解:根据题意,数列,,,,…,,
可写成,,,……,,
对于,即,为该数列的第20项;
故选:D.
【点睛】此题考查了由数列的项归纳出数列的通项公式,考查归纳能力,属于基础题.
4.在中,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角,再根据正弦定理即可求出边.
【详解】因为,所以根据正弦定理知,,即,解得.
故选:D.
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题.
5.在中,角、、的对边分别为、、,其面积,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形的面积公式和余弦定理可得出关于和的等量关系式,由此可求出的值.
【详解】由,,
由,可得,整理得,
因此,.
故选:A.
【点睛】本题考查利用三角形的面积公式和余弦定理求角的正切值,考查计算能力,属于基础题.
6.在△中,分别为角的对边,已知,,面积,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理可得,根据三角形面积公式可求c,然后利用余弦定理求出a,从而可求得结果.
【详解】由正弦定理,(为三角形外接圆的半径),
所以
因为,所以,
根据余弦定理,,
解得,所以.
故选A.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,也考查了三角形的面积公式,要求熟练掌握定理,准确计算,属中档题.
7.在中,,则三角形的解的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
用正弦定理可以求出,运用大边对大角和正弦函数的性质,可以选出正确的答案.
【详解】由正弦定理可知:,
因为,所以由正弦函数的性质,有二种取值,他们互补,故三角形解的个数为2个,故本题选C.
【点睛】本题考查了判断三角形解的个数,运用大边对大角是解题的关键,
8.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则为( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理将等式统一到三角形内角的三角函数等式,然后利用三角函数的变形得到或者,从而判断三角形的形状.
【详解】解:中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
若,由正弦定理得到,
由,所以,
所以,整理得到
,
所以,所以或者,
所以或者;
故为直角三角形或者为等腰三角形;
故选:D.
【点睛】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦等知识,考查了计算能力,属于基础题.
9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶在西偏北(即)的方向上,行驶后到达处,测得此山顶在北偏东(即)的方向上,仰角,则此山的高度( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理先求得,再求出即可.
【详解】易得.
由正弦定理得.
故.
故选:C
【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理的实际运用,属于中等题型.
10.在正项等比数列{}中,,则=
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数运算法则以及等比数列性质求解.
【详解】因为,
所以.
选D.
【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
11.在等差数列中,,,则数列的前项和中最小的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质,了解数列的特点,可得结果
【详解】因为数列是等差数列,所以,
由,所以,又,可知,
等差数列公差,即等差数列是递增数列,
且前7项均是负数,所以前项和中最小的是
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质,简单判断,属基础题.
12.已知是公差为的等差数列.若成等比数列,则的前项和( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等比中项以及等差数列的通项公式求出,再利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由成等比数列得即解得,
.
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及等差数列的通项公式,需熟记公式,属于基础题.
13.若两个等差数列、的前项和分别为、,且满足,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质将化简为,再利用数列求和公式求解即可.
【详解】,
故选:C.
【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.若数列中,,则这个数列的第10项( )
A. 28 B. 29 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
两边取倒数,结合等差数列的定义和通项公式,可得,计算可得的值,得到答案.
【详解】由题意,数列中,,可得,
所以数列表示首项为1,公差为3的等差数列,
所以,即,
所以,
故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用,其中解答中对等式取倒数,得到数列表示首项为1,公差为3的等差数列是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
15.已知等比数列的前项和为,前项和为,则前项和为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
利用成等比数列,计算得到答案.
【详解】等比数列的前项和为,前项和为
成等比数列.
故答案选B
【点睛】本题考查了等比数列前N
项和的性质,利用此方法可以简化运算,也可以直接利用等比数列公式计算得到答案.
16.已知等差数列的前n项和为,,,则数列的前2020项和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于和d的方程组,解出和d的值,即可得到数列的通项公式,也即求出数列的通项公式,根据通项公式的特点采用裂项相消法求出前2020项和.
【详解】解:由题意,设等差数列的公差为d,则
,解得.
∴数列的通项公式为,.
∴.
设数列的前n项和为,
则
∴.
故选:A.
【点睛】此题考查等差数列中的基本量计算和裂项相消求和法,属于基础题.
17.数列前项和为,若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据,求出,,,,,寻找规律,即可求得答案.
【详解】
当,,解得:
当,,解得:
当,,解得:
当,,解得:
当奇数时,
当偶数时,
,
故
故选:A.
【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值,解题关键是掌握数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
18.已知数列的通项,,若为单调递增数列,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
是单调递增数列,,即,可排除;
时,在上递增,合题意,可排除;当时,在上递增,,合题意,排除,故选A.
19.对于任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论a是否为0,不为0时,根据开口方向和判别式建立不等式组,解之即可求出所求.
【详解】解:1°当 时,成立
2° 当 时,,∴,∴
综上,实数a的取值范围是
故选:C.
【点睛】此题考查不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想,属于基础题.
20.若关于的不等式的解集中恰有个正整数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式化为,分、和三种情况讨论,结合题意可求出实数的取值范围.
【详解】原不等式可化为,
若,则不等式的解是,不等式的解集中不可能有个正整数;
若,则不等式的解集为空集,不合乎题意;
若,则不等式的解为,所以该不等式的解集中的个正整数分别是、、、
,所以,.
因此,实数的取值范围是.
故选:A.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的整数解的个数求参数,解题的关键就是对参数的取值进行分类讨论,考查运算求解能力和分类讨论思想的应用,属于中等题.
21.函数的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
将变形为,然后根据基本不等式求解出的最小值即可.
【详解】因为,
所以,
取等号时,即,
所以.
故选:C.
【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值,难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
22.两个正实数满足,则满足,恒成立的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由基本不等式和“1”的代换,可得的最小值,再由不等式恒成立思想可得
小于等于的最小值,解不等式即得m的范围。
【详解】由,,可得,当且仅当上式取得等号,若恒成立,则有,解得.
故选:B
【点睛】本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围,是常考题型。
23.在中,角所对的边分别为满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值,进而求得A,利用正弦定理将进行边角转化,利用公式化简,通过B的范围,即可得解b+c的取值范围.
【详解】在中,,
由余弦定理可得,
∵A是三角形内角,
,
,
,
可得:,
,
,可得:,
可得:,
故选:B.
【点睛】本题考查正、余弦定理的应用解三角形,解三角形问题通常是将利用正弦定理或余弦定理进行边角转化,再进一步求解可得,属于基础题.
24.已知数列的前项和,设,为数列的前项和,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出、的通项公式,代入,可得的取值范围.
【详解】由数列的前项和,
可得,故,
故,
故=,
不等式恒成立,即恒成立,
即,由,可得,(当n=1时等号成立),
所以,故选:A.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和的求法、基本不等式的应用.
二.解答题(共3小题,每题10分,共30分)
25.已知在中,角对应的边分别为,.
(1)求角;
(2)若,的面积为,求.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得B的大小;(2)先根据的面积为求出a=1,即得C.
【详解】(1)由及正弦定理
可得
由余弦定理可得
又因为,所以 .
(2)因为 ,
所以.
又因为,
所以是等边三角形,所以
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
26.设函数.已知不等式的解集为
(1)求和的值.
(2)若对任意恒成立,求的取值范围.
【答案】(1),;(2).
【解析】
【分析】
(1)由不等式的解集,求得方程的根,根据韦达定理求得参数;
(2)等式两边同除以,分离参数,转化为最值问题.
【详解】(1)由不等式的解集为,可知:
和为方程的两根,故:
由韦达定理可知:,.
(2)由(1)可知,,则:
若对任意恒成立,等价于:
,对任意恒成立,只需:
,
因为,则,
即:,当且仅当时取得.
故,即.
【点睛】本题第一问考查一元二次不等式与二次方程之间的关系,第二问考查由恒成立问题求解参数的范围,涉及均值不等式的利用.
27.已知等差数列的前项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)结合等差数列下标性质可得,再由前项和公式,即可求解;
(2)由(1),再结合错位相减法即可求解;
【详解】(1)设数列的公差为,∵,∴,,∴,
∴,∴.
(2)由(1)可知,
∴数列的前项和为,
,
两式作差,得,
∴.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解,错位相减法求解数列的前项和,属于中档题
28.在中,角、、的对边分别为、、,若,则角的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理结合切化弦的思想可求得的值,结合角的取值范围可求得角的值.
【详解】,由余弦定理可得,
,即,即,
,则,解得,因此,或.
【点睛】本题考查了利用余弦定理求角,同时也考查了同角三角函数的基本关系的应用,考查计算能力,属于中等题.
29.在中,角、、的对边分别为、、,若,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得的值,然后利用正弦定理可得出,进而得解.
【详解】,,由正弦定理可得.
故选:A.
【点睛】本题考查利用正弦定理求值,考查计算能力,属于基础题.
30.设的内角所对的边分别为,若,则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
已知等式利用正弦定理化简,再利用二倍角的正弦函数公式变形,利用正弦函数的性质得到或,即可确定出三角形的形状.
【详解】解:利用正弦定理化简,得:,即
,
,
或,即或,
则为等腰或直角三角形.
故选:.
【点睛】此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有:正弦定理,正弦函数的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
31.在等差数列中,,,则数列的前项和中最小的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质,了解数列的特点,可得结果
【详解】因为数列是等差数列,所以,
由,所以,又,可知,
等差数列公差,即等差数列是递增数列,
且前7项均是负数,所以前项和中最小的是
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质,简单判断,属基础题.
32.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意和等差数列的性质可得:,化简可得.
【详解】由题意和等差数列的性质可得:
故选D.
【点睛】本题考查等差数列的性质,涉及等差数列的求和公式,属中档题.
33.已知等比数列的各项均为正数,若,则=( )
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对数运算法则,可知,再根据等比数列的性质可知,最后计算的值.
【详解】由 ,
可得,进而可得 ,
.
【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能力.
34.如果关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解集以及根与系数的关系,求出,,代入,化简得,利用一元二次不等式的解法,即可得解.
【详解】关于的不等式的解集为,
所以和是方程两实数根,且,
由根与系数的关系得解得,,
所以,,,
所以不等式化为,
即,即,
解得或,
则该不等式的解集为.
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了一元二次方程的根与系数的关系,属于基础题.
35.若直线过点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得,然后将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为直线过点,则,
,
当且仅当时,等号成立,
因此,的最小值为.
故选:B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查的妙用,考查计算能力,属于基础题.
36.函数y=loga(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则的最小值为( )
A. 2 B. 6 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
函数y=loga(x+4)﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(﹣3,﹣1),进而可得3m+n=
1,结合基本不等式可得的最小值.
【详解】函数y=loga(x+4)﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,
当x+4=1时,即x=﹣3,y=﹣1,则A(﹣3,﹣1),
∴﹣3m﹣n+1=0,
∴3m+n=1,
∴(3m+n)()=55+25+2,当且仅当nm时取等
号,
故最小值为5+2,
故答案为:C
【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题,对数函数的图象和性质,基本不等式的应用,难度中
档.
37.已知数列中,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件,利用累加法得到的通项公式,从而得到.
【详解】因为,
所以,,,,,
所以得到,
因为,所以得到,
所以.
故选:B.
【点睛】本题考查累加法求数列的通项,属于简单题.
38.数列满足,是数列的前项和,是函数的两个零点,则的值为( )
A. 6 B. 12 C. 2020 D. 6060
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意判断数列为等差数列,由函数的零点与方程根的关系可得,
再由等差数列的性质以及等差数列的前和的公式即可求解.
【详解】数列满足,
数列为等差数列,
又是函数的两个零点,
即是方程的两个根,,
,
故选:D
【点睛】本题主要考查了等差中项、函数与方程的关系、等差数列的性质以及前和的公式,属于基本知识的考查,属于基础题.
39.已知数列通项公式,其前n项和为,则( )
A. 1010 B. 2020 C. 505 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出,再由可得出的值.
【详解】对任意的,
,
,因此,.
故选:A.
【点睛】本题考查数列求和,计算出是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.
40.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)已知等式利用正弦定理化简,整理后求出的值,即可确定出角A的大小;
(2)由的值,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出bc的最大值,即可确定出三角形ABC面积的最大值.
【详解】解:(1)由可得:,
由正弦定理可得:
∴,
∵,
∴,
∵,
∴;
(2)由(1)知,由余弦定理得,
即
∵,所以(当且仅当时取等号)
∴,
所以面积的最大值为.
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及两角和与差的正弦函数公式,基本不等式的应用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
41.已知数列满足,,数列的前项和为,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1),;(2).
【解析】
【分析】
(1)由已知条件得an+1﹣an=2,利用等差数列的通项公式即可得出an;且,当时,bn=Sn﹣Sn﹣1,当n=1时,,利用等比数列的通项公式即可得出bn;
(2)由(1)得,利用分组求和求和即可.
【详解】(1)因为,,所以为首项是1,公差为2的等差数列,所以.
又当时,,所以,
当时, ①
②
由得,即(),
所以是首项为1,公比为的等比数列,故.
(2)由(1)得,
所以.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法,属于基础题.