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- 2021-07-01 发布
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必修四 第二章平面向量(A)
一、选择题
1、如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )
A.· B.·
C.· D.·
2、设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a-b与b垂直 D.a∥b
3、已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
4、已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则a+b+c的模等于( )
A.0 B.2+ C. D.2
5、若a与b满足|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,则a·a+a·b等于( )
A. B. C.1+ D.2
6、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.-a+b
7、若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8、向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形状为( )
A.等腰非直角三角形 B.等边三角形
C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形
9、设点A(1,2)、B(3,5),将向量按向量a=(-1,-1)平移后得到为( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,7)
10、与向量a=(1,)的夹角为30°的单位向量是( )
A.(,)或(1,) B.(,)
C.(0,1) D.(0,1)或(,)
11、在菱形ABCD中,若AC=2,则·等于( )
A.2 B.-2
C.||cos A D.与菱形的边长有关
12、若a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
13、已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.
14、已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.
15、已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数k的值为________.
16、如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是________.
三、解答题
17、已知向量、、满足条件++=0,||=||=||=1.
求证:△P1P2P3是正三角形.
18、已知a,b,c在同一平面内,且a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c;
(2)若|b|=,且(a+2b)⊥(2a-b),求a与b的夹角.
19、已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数k为何值时,
(1)c∥d;(2)c⊥d.
20、已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.
21、在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
22、已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
以下是答案
一、选择题
1、A [根据正六边形的几何性质.
〈,〉=,〈,〉=,
〈,〉=,〈,〉=.
∴·<0,·=0,
·=||·||cos =||2,
·=||·2||·cos =||2.比较可知A正确.]
2、C
3、D [根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0,∴f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).]
4、D [|a+b+c|=|++|=|2|=2||=2.]
5、B [由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos 60°=1+=,故选B.]
6、B [令c=λa+μb,则 ∴∴c=a-b.]
7、C [∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又∵(8a-b)·c=30,∴(6,3)·(3,x)=18+3x=30.∴x=4.]
8、C [∵=(4,-3),=(2,-4),
∴=-=(-2,-1),
∴·=(2,1)·(-2,4)=0,
∴∠C=90°,且||=,||=2,||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形.]
9、B [∵=(3,5)-(1,2)=(2,3),平移向量后得,==(2,3).]
10、D
11、B [
如图,设对角线AC与BD交于点O,∴=+. ·=·(+)=-2+0=-2,故选B.]
12、A [a·b=-3λ+10<0,∴λ>.当a与b共线时,=,∴λ=.此时,a与b同向,∴λ>.]
二、填空题
13、-1
解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m),∴a+b=(1,m-1).
∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)·(m-1)=0.∴m=-1.
14、3
解析 a·b=|a||b|cos 30°=2··cos 30°=3.
15、6
解析 由(2a+3b)·(ka-4b)=2ka2-12b2=2k-12=0,∴k=6.
16、-
解析 因为点O是A,B的中点,所以+=2,设||=x,则||=1-x(0≤x≤1).
所以(+)·=2·=-2x(1-x)=2(x-)2-.
∴当x=时,(+)·取到最小值-.
三、解答题
17、证明 ∵++=0,∴+=-,
∴(+)2=(-)2,
∴||2+||2+2·=||2,
∴·=-,
cos∠P1OP2==-,
∴∠P1OP2=120°.同理,∠P1OP3=∠P2OP3=120°,即、、中任意两个向量的夹角为120°,故△P1P2P3是正三角形.
18、解 (1)∵c∥a,∴设c=λa,则c=(λ,2λ).
又|c|=2,∴λ=±2,∴c=(2,4)或(-2,-4).
(2)∵⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0.
∵|a|=,|b|=,∴a·b=-.
∴cos θ==-1,∴θ=180°.
19、解 由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3.
(1)当c∥d,c=λd,则5a+3b=λ(3a+kb).
∴3λ=5,且kλ=3,∴k=.
(2)当c⊥d时,c·d=0,则(5a+3b)·(3a+kb)=0.
∴15a2+3kb2+(9+5k)a·b=0,∴k=-.
20、解 (1)∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=1-|b|2=,∴|b|2=,∴|b|=,
设a与b的夹角为θ,则cos θ===.∴θ=45°.
(2)∵|a|=1,|b|=,
∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=.∴|a-b|=,
又|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=.∴|a+b|=,
设a-b与a+b的夹角为α,则cos α===.即a-b与a+b的夹角的余弦值为.
21、解 (1)=(3,5),=(-1,1),
求两条对角线的长即求|+|与|-|的大小.
由+=(2,6),得|+|=2,
由-=(4,4),得|-|=4.
(2)=(-2,-1),∵(-t)·=·-t2,易求·=-11,2=5,
∴由(-t)·=0得t=-.
22、证明
如图建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),
E(1,2),F(0,1).
(1)=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵·=-1×(-2)+2×(-1)=0,
∴⊥,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1),
∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-2.
解得x=,∴y=,即P.
∴2=2+2=4=2,
∴||=||,即AP=AB.