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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修4同步练习:第二章平面向量(A)

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必修四 第二章平面向量(A)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(  )‎ A.· B.·‎ C.· D.·‎ ‎2、设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是(  )‎ A.|a|=|b| B.a·b= C.a-b与b垂直 D.a∥b ‎3、已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于(  )‎ A.(-1,-2) B.(1,-2)‎ C.(-1,2) D.(1,2)‎ ‎4、已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则a+b+c的模等于(  )‎ A.0 B.2+ C. D.2 ‎5、若a与b满足|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,则a·a+a·b等于(  )‎ A. B. C.1+ D.2‎ ‎6、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(  )‎ A.-a+b B.a-b C.a-b D.-a+b ‎7、若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(‎8a-b)·c=30,则x=(  )‎ A.6 B.‎5 C.4 D.3‎ ‎8、向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形状为(  )‎ A.等腰非直角三角形 B.等边三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 ‎9、设点A(1,2)、B(3,5),将向量按向量a=(-1,-1)平移后得到为(  )‎ A.(1,2) B.(2,3)‎ C.(3,4) D.(4,7)‎ ‎10、与向量a=(1,)的夹角为30°的单位向量是(  )‎ A.(,)或(1,) B.(,)‎ C.(0,1) D.(0,1)或(,)‎ ‎11、在菱形ABCD中,若AC=2,则·等于(  )‎ A.2 B.-2‎ C.||cos A D.与菱形的边长有关 ‎12、若a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎13、已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.‎ ‎14、已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.‎ ‎15、已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(‎2a+3b)⊥(ka-4b),则实数k的值为________.‎ ‎16、如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是________.‎ 三、解答题 ‎17、已知向量、、满足条件++=0,||=||=||=1.‎ 求证:△P1P2P3是正三角形.‎ ‎18、已知a,b,c在同一平面内,且a=(1,2).‎ ‎(1)若|c|=2,且c∥a,求c;‎ ‎(2)若|b|=,且(a+2b)⊥(‎2a-b),求a与b的夹角.‎ ‎19、已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,c=‎5a+3b,d=‎3a+kb,当实数k为何值时,‎ ‎(1)c∥d;(2)c⊥d.‎ ‎20、已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:‎ ‎(1)a与b的夹角;‎ ‎(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.‎ ‎21、在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.‎ ‎22、已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证:‎ ‎(1)BE⊥CF;‎ ‎(2)AP=AB.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A [根据正六边形的几何性质.‎ ‎〈,〉=,〈,〉=,‎ ‎〈,〉=,〈,〉=.‎ ‎∴·<0,·=0,‎ ‎·=||·||cos =||2,‎ ‎·=||·2||·cos =||2.比较可知A正确.]‎ ‎2、C ‎3、D [根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0,∴f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).]‎ ‎4、D [|a+b+c|=|++|=|2|=2||=2.]‎ ‎5、B [由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos 60°=1+=,故选B.]‎ ‎6、B [令c=λa+μb,则 ∴∴c=a-b.]‎ ‎7、C [∵a=(1,1),b=(2,5),∴‎8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又∵(‎8a-b)·c=30,∴(6,3)·(3,x)=18+3x=30.∴x=4.]‎ ‎8、C [∵=(4,-3),=(2,-4),‎ ‎∴=-=(-2,-1),‎ ‎∴·=(2,1)·(-2,4)=0,‎ ‎∴∠C=90°,且||=,||=2,||≠||.‎ ‎∴△ABC是直角非等腰三角形.]‎ ‎9、B [∵=(3,5)-(1,2)=(2,3),平移向量后得,==(2,3).]‎ ‎10、D ‎ ‎11、B [‎ 如图,设对角线AC与BD交于点O,∴=+. ·=·(+)=-2+0=-2,故选B.]‎ ‎12、A [a·b=-3λ+10<0,∴λ>.当a与b共线时,=,∴λ=.此时,a与b同向,∴λ>.]‎ 二、填空题 ‎13、-1‎ 解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m),∴a+b=(1,m-1).‎ ‎∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)·(m-1)=0.∴m=-1.‎ ‎14、3‎ 解析 a·b=|a||b|cos 30°=2··cos 30°=3.‎ ‎15、6‎ 解析 由(‎2a+3b)·(ka-4b)=2ka2-12b2=2k-12=0,∴k=6.‎ ‎16、- 解析 因为点O是A,B的中点,所以+=2,设||=x,则||=1-x(0≤x≤1).‎ 所以(+)·=2·=-2x(1-x)=2(x-)2-.‎ ‎∴当x=时,(+)·取到最小值-.‎ 三、解答题 ‎17、证明 ∵++=0,∴+=-,‎ ‎∴(+)2=(-)2,‎ ‎∴||2+||2+2·=||2,‎ ‎∴·=-,‎ cos∠P1OP2==-,‎ ‎∴∠P1OP2=120°.同理,∠P1OP3=∠P2OP3=120°,即、、中任意两个向量的夹角为120°,故△P1P2P3是正三角形.‎ ‎18、解 (1)∵c∥a,∴设c=λa,则c=(λ,2λ).‎ 又|c|=2,∴λ=±2,∴c=(2,4)或(-2,-4).‎ ‎(2)∵⊥(‎2a-b),∴(a+2b)·(‎2a-b)=0.‎ ‎∵|a|=,|b|=,∴a·b=-.‎ ‎∴cos θ==-1,∴θ=180°.‎ ‎19、解 由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3.‎ ‎(1)当c∥d,c=λd,则‎5a+3b=λ(‎3a+kb).‎ ‎∴3λ=5,且kλ=3,∴k=.‎ ‎(2)当c⊥d时,c·d=0,则(‎5a+3b)·(‎3a+kb)=0.‎ ‎∴‎15a2+3kb2+(9+5k)a·b=0,∴k=-.‎ ‎20、解 (1)∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=1-|b|2=,∴|b|2=,∴|b|=,‎ 设a与b的夹角为θ,则cos θ===.∴θ=45°.‎ ‎(2)∵|a|=1,|b|=,‎ ‎∴|a-b|2=a2-‎2a·b+b2=1-2×+=.∴|a-b|=,‎ 又|a+b|2=a2+‎2a·b+b2=1+2×+=.∴|a+b|=,‎ 设a-b与a+b的夹角为α,则cos α===.即a-b与a+b的夹角的余弦值为.‎ ‎21、解 (1)=(3,5),=(-1,1),‎ 求两条对角线的长即求|+|与|-|的大小.‎ 由+=(2,6),得|+|=2,‎ 由-=(4,4),得|-|=4.‎ ‎(2)=(-2,-1),∵(-t)·=·-t2,易求·=-11,2=5,‎ ‎∴由(-t)·=0得t=-.‎ ‎22、证明 ‎ 如图建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,‎ 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),‎ E(1,2),F(0,1).‎ ‎(1)=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),‎ ‎=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),‎ ‎∵·=-1×(-2)+2×(-1)=0,‎ ‎∴⊥,即BE⊥CF.‎ ‎(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1),‎ ‎∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.‎ 同理由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-2.‎ 解得x=,∴y=,即P.‎ ‎∴2=2+2=4=2,‎ ‎∴||=||,即AP=AB.‎

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