浙江省嘉兴市第一中学湖州中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 9页

浙北G2期中联考 ‎2019学年第一学期高二数学试题 命题：嘉兴一中 审题：湖州中学 考生须知：‎ ‎1．本卷满分150分，考试时间120分钟；‎ ‎2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；‎ ‎3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；‎ ‎4．考试结束后，只需上交答题卷。‎ 一、选择题：（共10小题，每小题4分）‎ ‎1．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 （ ）‎ A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交 ‎3．如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 ‎5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与的位置关系为（ ）‎ A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 ‎6．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）‎ A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 ‎7．若实数满足的取值范围为（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，为切点，当的最大值为时，则的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎9．对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“新距离”：‎ ‎.给出下列三个命题：‎ ‎①若点在线段上. 则 ；‎ ‎②在中，若,则；‎ ‎③在中，。‎ 其中的真命题为 ( )‎ A. ①③ B. ①② C. ① D.③ ‎ ‎10．如图，在菱形中，，线段的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：（共7小题，每小题36分）‎ ‎11．在直观图（如图）中，四边形为菱形且边长为2cm，则在坐标系中，四边形的周长为　 　cm，面积为　 　cm2．‎ ‎12．如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为　 　，体积为　 　．‎ ‎13．直线的斜率是关于的方程的两根，若，则 ‎　 　；若，则　 　．‎ ‎14．如果平面直角坐标系内的两点关于直线对称，那么直线的方程为 。‎ ‎15．正方体的棱长为2，分别是的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为　 　，和该截面所成角的正弦值为　 　．‎ ‎16．已知实数满足，则的取值范围是　 　．‎ ‎17．四面体的四个顶点都在球的球面上，⊥平面，是等边三角形．若侧面的面积为1，则球的表面积的最小值为　 　．‎ 三、解答题：（共5小题）‎ ‎18．已知圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍。‎ ‎（1）求圆台两底面的半径；‎ ‎（2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求与平面所成角的正弦值。‎ ‎19．如图，在三棱锥中，分别为的中点。‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，且，,，求证：平面平面。‎ ‎20．已知点，直线及圆.‎ ‎(1)求过点的圆的切线方程；‎ ‎(2)若直线与圆相切，求的值；‎ ‎(3)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值．‎ ‎21．如图（1），边长为的正方形中，分别为上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将沿折起，使三点重合于点。（1）求证：；（2）求二面角的正切值的最小值。‎ ‎22．如图，圆与轴相切于点，与轴的正半轴相交于两点（在的上方），且．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）直线上是否存在点满足，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如果圆上存在两点，使得射线平分，求证：直线的斜率为定值．‎ 浙北G2期中联考 ‎2019学年第一学期高二数学参考答案 命题：嘉兴一中 审题：湖州中学 一．选择题 ACCDD CBDCC 二．填空题 ‎11. 12；8． 12．；． 13．；． 14. x﹣y+1＝0．‎ ‎15．；． 16．． 17．．‎ 三．解答题 ‎18．解：（1）如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO＝30°.‎ 在Rt△SO′A′中，，∴SA′＝2r.‎ 在Rt△SOA中，，∴SA＝4r.‎ ‎∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a. ‎ 故圆台上底面半径为a，下底面半径为2a.‎ ‎（2）过点作于点，连接,面,,面,为与平面所成的角，，，‎ ‎19．证明：（1）分别是的中点，。‎ 又平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）在三角形中，，为中点，‎ ‎。‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面。‎ ‎。‎ 又，‎ ‎，又，‎ 平面。‎ 平面平面。‎ ‎20. 解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.‎ 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．‎ 当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.‎ 由题意知，解得∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.‎ 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.‎ ‎(2)由题意有，解得a＝0或.‎ ‎(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴，解得.‎ ‎21．（1）证明：折叠前，，‎ 折叠后 又，所以平面，‎ 因此。‎ ‎（2）解：作交于点，连结。‎ 为二面角的平面角。‎ 令 ‎22．解：（1）由题知，圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r＝＝．‎ 因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），‎ 故圆C的方程为．‎ ‎（2）因为圆C的方程为，所以A（0，4），B（0，1）．‎ 设P（x，y），则由PA2+PB2+PC2＝12得 x2+（y﹣1）2+x2+（y﹣4）2+（x﹣2）2+y2＝12，‎ 化简得，‎ 所以点P在以（）为圆心，为半径的圆上，‎ 又因为B（0，1），T（2，0），所以得直线BT的方程为x+2y﹣2＝0．‎ 圆心（）到直线x+2y﹣2＝0的距离d＝，‎ 即直线x+2y﹣2＝0与圆相离，‎ 所以直线BT上不存在点P满足PA2+PB2+PC2＝12．‎ ‎（3）因为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分∠EAF，‎ 所以∠EAB＝∠FAB，得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数．‎ 设直线AE斜率为k且k≠0，则直线AE的方程为y＝kx+4，联立得 ‎，‎ 消去x化简得（k2+1）x2+（3k﹣4）x＝0，‎ 解得x＝0或x＝，‎ 所以E（），‎ 用﹣k替换点E坐标中的k得F（），‎ 由k≠0得xE≠xF，‎ 则kEF＝＝，‎ 所以直线EF的斜率为定值．‎