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  • 2021-07-01 发布

高中数学选修2-2教案第一章 章末复习课

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题型一 合情推理与演绎推理 ‎1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.‎ ‎2.演绎推理与合情推理不同,它是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式,也是公理化体系所采用的推理形式.另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.‎ 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…则每组内各数之和f(n) (n∈N+)与组的编号数n的关系式为________.‎ ‎(2)在平面几何中,对于Rt△ABC,AC⊥BC,设AB=c,AC=b,BC=a,则 ‎①a2+b2=c2;‎ ‎②cos2A+cos2B=1;‎ ‎③Rt△ABC的外接圆半径为r=.‎ 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论;如果你能证明,写出证明过程;如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论,试试看能否类比到空间?‎ ‎(1)答案 f(n)=n3‎ 解析 由于1=13,3+5=8=23,‎ ‎7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.‎ ‎(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.‎ ‎①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面面积为S,则S+S+S=S2.‎ ‎②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.‎ ‎③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球的半径为R=.‎ 反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容,通过观察给定的规律,得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.‎ ‎(2)类比推理重在考查观察和比较的能力,题目一般情况下较为新颖,也有一定的探索性.‎ 跟踪训练1 下列推理是归纳推理的是________,是类比推理的是________.‎ ‎①A、B为定点,若动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点P的轨迹是椭圆;‎ ‎②由a1=1,an+1=3an-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的通项an和Sn的表达式;‎ ‎③由圆x2+y2=1的面积S=πr2,猜想出椭圆的面积S=πab;‎ ‎④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.‎ 答案 ② ③④‎ 题型二 综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法与综合法可相互转换,相互渗透,要充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表示证明过程.‎ 例2 用综合法和分析法证明.‎ 已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤.‎ 证明 (分析法)‎ 要证明2sin 2α≤成立.‎ 只要证明4sin αcos α≤.‎ ‎∵α∈(0,π),∴sin α>0.‎ 只要证明4cos α≤.‎ 上式可变形为4≤+4(1-cos α).‎ ‎∵1-cos α>0,‎ ‎∴+4(1-cos α)≥2=4,‎ 当且仅当cos α=,即α=时取等号.‎ ‎∴4≤+4(1-cos α)成立.‎ ‎∴不等式2sin 2α≤成立.‎ ‎(综合法)‎ ‎∵+4(1-cos α)≥4,‎ ‎(1-cos α>0,当且仅当cos α=,即α=时取等号)‎ ‎∴4cos α≤.‎ ‎∵α∈(0,π),∴sin α>0.‎ ‎∴4sin αcos α≤.‎ ‎∴2sin 2α≤.‎ 跟踪训练2 求证:-2cos(α+β)=.‎ 证明 ∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α ‎=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α ‎=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α ‎=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α ‎=sin[(α+β)-α]=sin β,‎ 两边同除以sin α得 -2cos(α+β)=.‎ 题型三 反证法 反证法是一种间接证明命题的方法,它从命题结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结论.‎ 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度看,命题:“若p则q”的否定是“若p则綈q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若p则綈q”为假,从而可以导出“若p则q”为真,从而达到证明的目的.‎ 例3 若x,y都是正实数,且x+y>2,求证:<2或<2中至少有一个成立.‎ 证明 假设<2和<2都不成立,‎ 则有≥2和≥2同时成立.‎ 因为x>0且y>0,‎ 所以1+x≥2y且1+y≥2x,‎ 两式相加,得2+x+y≥2x+2y,‎ 所以x+y≤2.‎ 这与已知x+y>2矛盾.‎ 故<2与<2至少有一个成立.‎ 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时,也常用反证法.‎ 跟踪训练3 已知:ac≥2(b+d).‎ 求证:方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0中至少有一个方程有实数根.‎ 证明 假设两方程都没有实数根,‎ 则Δ1=a2-4b<0与Δ2=c2-4d<0,有a2+c2<4(b+d),而a2+c2≥2ac,从而有4(b+d)>2ac,即ac<2(b+d),与已知矛盾,故原命题成立.‎ 题型四 数学归纳法 数学归纳法是一种逻辑推理,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,两步合在一起为完全归纳步骤,这两步缺一不可,第二步中证明“当n=k+1时结论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的.‎ 例4 用数学归纳法证明当n∈N+时,1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+1)·(n+2).‎ 证明 (1)当n=1时,1=·1·2·3,结论成立.‎ ‎(2)假设n=k时结论成立,‎ 即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-2)·3+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2).‎ 当n=k+1时,则1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+…+(k-1)·3+k·2+(k+1)·1‎ ‎=1·k+2·(k-1)+…+(k-1)·2+k·1+[1+2+3+…+k+(k+1)]‎ ‎=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)‎ ‎=(k+1)(k+2)(k+3),‎ 即当n=k+1时结论也成立.‎ 由(1)(2)可知,结论对一切n∈N+都成立.‎ 跟踪训练4 数列{an}满足:a1=1,an+1=an+1.‎ ‎(1)写出a2,a3,a4;‎ ‎(2)猜想数列{an}的通项公式,并加以证明.‎ 解 (1)因为a1=1,an+1=an+1,所以a2=a1+1=+1=.‎ a3=a2+1=·+1=.‎ a4=a3+1=·+1=.‎ ‎(2)猜想an=.下面用数学归纳法证明,‎ ‎(1)当n=1时,a1==1,满足上式,显然成立;‎ ‎(2)假设当n=k时ak=成立,那么当n=k+1时,‎ ak+1=ak+1=·+1=+1==满足上式,‎ 即当n=k+1时猜想也成立,‎ 由(1)(2)可知,对于n∈N+都有an=.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.‎ ‎2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n=n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n=k时,结论成立,推得n=k+1时结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.‎

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