数学（文）卷·2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第三次月考（2017 16页

南昌二中2017～2018学年度上学期第三次考试 高三数学（文）试卷 第Ι卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则=（ ）‎ A. B.{2} C．{0} D．{-2}‎ ‎2. 复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ ‎ A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 设，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 已知，则的大小顺序为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 ‎ C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎7. 已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最大值的是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 已知函数，则函数的大致图像为（ ）‎ 主视图 侧视图 俯视图 ‎10．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出 ‎ 的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11.在各项均为正数的等比数列中，若 ‎ ‎，则的最小值为（ ）‎ A．12 B． ‎ C． D．‎ ‎12．设函数 ，则函数的各极小值之和为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 设向量，，且，则________.‎ ‎14. 已知函数，且，则的值为___________.‎ ‎15. 已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为　　．‎ ‎16. 已知函数，若方程在上有三个实根，则正实数的取值范围为______________．‎ 三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 17. ‎（本小题10分）‎ 中，内角的对边分别为， .‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎18. （本小题12分）‎ 已知等差数列的前项和为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎19．（本小题12分）‎ 直三棱柱，∠，， ，点分别为和的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．‎ ‎21.（本小题12分）‎ 已知椭圆的焦距为2，离心率为，轴上一点的坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且,求实数的取值范围． ‎ ‎22.（本小题12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 南昌二中2017～2018学年度上学期第三次考试 高三数学（文）试卷参考答案 命题人：任淑珍 审题人： 陶学明 第Ι卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则=（ ）‎ A． B．{2} C．{0} D．{-2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，所以，故选B.‎ ‎2.复数在复平面上对应的点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】对应点在第四象限故选D.‎ ‎3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】原命题是假命题，则其否定是真命题，即恒成立，故判别式.‎ ‎4.设，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，例如，而是不成立的，但由时，是成立的，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选C.‎ ‎5.已知，则的大小顺序为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】为单增函数，‎ ‎6. 为得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 ‎ C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎7. 已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最大值的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数与均是在点处取得最大值，目标函数在点处取得最大值，目标函数在点处取得最大值，故选D.‎ ‎8.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑，所以 ‎9. 已知函数，则函数的大致图像为（ ）‎ ‎【答案】A 主视图 侧视图 俯视图 ‎【解析】，因此不是奇函数，图象不会关于原点对称，B、C不正确，在时，，易知此时无零点，因此D错，只有A正确．故选A．‎ ‎10．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】该几何体如图，其体积为 故选C。‎ S D C B A ‎11.在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为（ ）‎ A．12 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎，则，求导得导函数零点，为唯一一个极小值点，也是最小值点，所以时取最小值为 ‎12．设函数 ，则函数的各极小值之和为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，当时，‎ ‎，当时，，则，且）是函数的极小值点，‎ 则极小值为（，且），‎ 则函数的各极小值之和为；故选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 设向量，，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎14.已知函数，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15. 已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为　　．‎ ‎【解析】由，，∴，可得；又∵平面，‎ ‎⊂平面，∴，，以为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的外接球就是四面体的外接球，∵长方体的对角线长为，∴长方体外接球的直径，得；因此，四面体的外接球表面积为．‎ ‎16.已知函数，若方程在上有三个实根，则正实数的取值范围为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别作出，图像，由图可知，因此正实数的取值范围为[‎ 三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 17. ‎（本小题满分10分）中，内角的对边分别为，.‎ ‎ （Ⅰ）求角的大小；‎ ‎ （Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,‎ 在中，……………1分 ‎………………3分 ‎………………5分 ‎（Ⅱ）方法①由余弦定理知 ‎……8分 ‎……………10分 方法② 在中，由正弦定理：，,…8分 ……………10分 ‎ ‎18. （本小题12分）已知等差数列的前项和为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ 答案：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意，得解得所以an＝2n－1.‎ ‎(2)因为 当为奇数时，‎ 当为偶数时，‎ 当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ 综上：‎ ‎19．（本小题12分）直三棱柱，∠，，，点分别为和的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证法一：（证明线面平行）连接，，由已知∠，，三棱柱为直三棱柱，‎ 所以为中点．又因为为的中点，所以∥.‎ 又平面，平面，‎ 因此∥平面.‎ 证法二：(证明面面平行)取中点，连接，.‎ 而分别为和的中点，‎ 所以∥，∥，‎ 所以∥平面，∥平面.‎ 又∩，因此平面∥平面.‎ 而⊂平面，因此∥平面.‎ ‎（Ⅱ）解法一：连接，由题意⊥，平面∩平面，‎ 所以⊥平面.又，‎ 故.‎ 解法二：.‎ ‎20．（本小题12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．‎ ‎【解答】（1）证明：取AD的中点E，连接PE，EM，AC．‎ ‎∵PA=PD，∴PE⊥AD．‎ ‎∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，‎ 又EM∥AC，∴EM⊥BD．‎ 又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，‎ 则BD⊥PE，∴PE⊥平面ABCD．‎ 又PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（2）解：设PA=PD=a，由∠APD=90°，可得，，．‎ 由（1）可知PE⊥平面ABCD，则VPABCD==，‎ ‎∴，则，AD=2．‎ 可得PE=1，，PB=PM=2．‎ ‎∴，．‎ 设三棱锥A﹣PBM的高为h，则由VA﹣PBM=VP﹣ABM可得．‎ 即．∴三棱锥A﹣PBM的高为．‎ ‎21.（本小题12分）已知椭圆的焦距为2，离心率为，轴上一点的坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且,求实数的取值范围． ‎ ‎ ‎ 由，解得………………5分 ‎，，‎ 设直线之中点为，则，‎ 由点在直线上得：，‎ 又点在直线上，，所以……①………8分 又，，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 解得：……②………………11分 综合①②，的取值范围为．……………… 12分 ‎22.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【解答】（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎ .............2分 当时，由得，或，由得，，‎ 故函数的单调增区间为和，单调减区间为．...............3分 当时，的单调增区间为．................4分 ‎（2）恒成立可转化为恒成立，‎ 令，则只需在恒成立即可，‎ ‎．‎ 当时，在时，，在时，‎ 的最小值为，由得，‎ 故当时恒成立，................8分 当时，，在不能恒成立，‎ 当时，取，有，在不能恒成立，...10分 综上所述当时，使恒成立. ………………12分