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  • 2021-07-01 发布

河北省沧州市2020届高三数学(理)一模试题(解析版)

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2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试 理科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上. 1.已知集合  | 1 4M x x    ,  2| 3 10 0N x x x    ,则 M N  ( ) A.  | 1 5x x   B.  | 1 2x x   C.  | 1 1x x   D.  | 5 4x x   【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 M 和 N ,即可根据交集的运算求出 M N . 【详解】∵    2| 3 10 0 5 2N x x x x x        ,而  | 1 4M x x    , ∴ M N   | 1 2x x   故选:B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题. 2.设 22 (1 )1z ii    (i 是虚数单位),则| |z  ( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数代数形式的四则运算法则求出 z ,即可根据复数的模计算公式求出| |z . 【详解】∵ 22 )1 1 2 1(1z i i i ii       ,∴ 2 2| | 1 1 2z    . 故选:A. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用, 属于容易题. 3.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS , 3 7a  , 3 9S  ,则 10a  ( ) A. 25 B. 32 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】 设出等差数列 na 的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得 10a . 【详解】设等差数列 na 的首项为 1a ,公差为 d ,则 3 1 3 1 2 7 3 3 9 a a d S a d        ,解得 1 1, 4a d   ,∴ 4 5na n  ,即有 10 4 10 5 35a     . 故选:C. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前 n 项和公式的应 用,属于容易题. 4.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有 6名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可 以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内 外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照 70,80 , 80,90 , 90,100 分组, 绘成频率分布直方图如下: 嘉宾 A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98 嘉宾评分的平均数为 1x ,场内外的观众评分的平均数为 2x ,所有嘉宾与场内外的观众评分的 平均数为 x ,则下列选项正确的是( ) A. 1 2 2 x xx  B. 1 2 2 x xx  C. 1 2 2 x xx  D. 1 2 1 2 2 x xx x x    【答案】C 【解析】 【分析】 计算出 1x 、 2x ,进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知, 1 96 95 96 89 97 98 95.176x       , 由频率分布直方图可知, 2 75 0.2 85 0.3 95 0.5 88x        ,则 1 2x x , 由于场外有数万名观众,所以, 1 2 2 12 x xx x x   . 故选:B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算, 考查计算能力,属于基础题. 5.已知函数 ( )f x 的图象如图所示,则 ( )f x 可以为( ) A. 3( ) 3 xf x x   B. e e( ) x x f x x  C. 2( )f x xx   D. | |e( ) x f x x  【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象可知,函数 ( )f x 为奇函数,以及函数在 0,  上单调递增,且有一个零点,即可 对选项逐个验证即可得出. 【详解】首先对 4 个选项进行奇偶性判断,可知, e e( ) x x f x x  为偶函数,不符合题意, 排除 B; 其次,在剩下的 3 个选项,对其在 0,  上的零点个数进行判断, | |e( ) x f x x  在 0,  上无 零点, 不符合题意,排除 D;然后,对剩下的 2 个选项,进行单调性判断, 2( )f x xx   在 0,  上单调递减, 不符合题意,排除 C. 故选:A. 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑 推理能力,属于容易题. 6.若两个非零向量 a  、b  满足    0a b a b       ,且 2a b a b      ,则 a  与b  夹角的余弦 值为( ) A. 3 5 B. 3 5  C. 1 2 D. 1 2  【答案】A 【解析】 【分析】 设平面向量 a  与b  的夹角为 ,由已知条件得出 a b r r ,在等式 2a b a b      两边平方, 利用平面向量数量积的运算律可求得 cos 的值,即为所求. 【详解】设平面向量 a  与 b  的夹角为 ,     2 22 2 0a b a b a b a b                ,可得 a b r r , 在等式 2a b a b      两边平方得 2 2 2 2 2 4 8 4a a b b a a b b              ,化简得 3cos 5   . 故选:A. 【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应 用,考查计算能力,属于中等题. 7.已知 na 为等比数列, 5 8 3a a   , 4 9 18a a   ,则 2 11a a  ( ) A. 9 B. -9 C. 21 2 D. 21 4  【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列的下标和性质可求出 5 8,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即 可求出 2 11a a . 【详解】∵ 4 9 5 8   ,∴ 4 9 5 8 18a a a a   ,又 5 8 3a a   ,可解得 5 8 6 3 a a     或 5 8 3 6 a a     设等比数列 na 的公比为 q,则 当 5 8 6 3 a a     时, 3 8 5 1 2 aq a    , ∴ 35 2 11 83 6 1 2131 2 2 2 aa a a qq             ; 当 5 8 3 6 a a     时, 3 8 5 2aq a    ,∴    35 2 11 83 3 216 22 2 aa a a qq          . 故选:C. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 8.已知 1F 、 2F 分别是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点,过 2F 作双曲线C 的 一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点 A 、 B ,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足恰为 1F ,则 双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 设点 B 位于第二象限,可求得点 B 的坐标,再由直线 2BF 与直线 by xa  垂直,转化为两直线 斜率之积为 1 可得出 2 2 b a 的值,进而可求得双曲线 C 的离心率. 【详解】设点 B 位于第二象限,由于 1BF x 轴,则点 B 的横坐标为 Bx c  ,纵坐标为 B B b bcy xa a    ,即点 , bcB c a     , 由题意可知,直线 2BF 与直线 by xa  垂直, 2 2 2BF bc b aak c a b       , 2 2 2b a   , 因此,双曲线的离心率为 2 2 2 2 21 3c a b be a a a      . 故选:B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出 a 、b 、c 的等量关系,考查计 算能力,属于中等题. 9.已知 0.3log 0.5a  , 3log 0.5b  , 0.5log 0.9c  ,则( ) A. ab ac a b   B. a b ab ac   C. ac ab a b   D. ab a b ac   【答案】D 【解析】 【分析】 先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换 底公式化简,即可得出三个式子的大小关系. 【详解】∵ 0.3 0.3 0.30 log 1 log 0.5 log 0.3 1    ,即 0 1a  , 3 3log 0.5 log 1 0  ,即 0b  , 0.5 0.5 0.50 log 1 log 0.9 log 0.5 1    ,即 0 1c  , ∴ 0,0 1ab ac   ,即有 ab ac . ∵ 0.5 0.5 0.5log 0.3 log 3 log 01 .91 ca b     ,即 0 1a b cab    , ∴ 0ab a b   . 综上, ab a b ac   . 故选:D. 【点睛】本题主要考查对数的运算性质, 换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学 生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题. 10.过抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点,且 2AF FB  ,抛 物线的准线l 与 x 轴交于 C , ACF 的面积为8 2 ,则 AB  ( ) A. 6 B. 9 C. 9 2 D. 6 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ,并设直线 AB 的方程为 2 px my  ,由 2AF FB  得 1 22y y  , 将直线 AB 的方程代入韦达定理,求得 1y ,结合 ACF 的面积求得 p 的值,结合焦点弦长 公式可求得 AB . 【详解】设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ,并设直线 AB 的方程为 x my p  , 将直线 AB 的方程与抛物线方程联立 2 2 2 px my y px      ,消去 x 得 2 22 0y pmy p   , 由韦达定理得 1 2 2y y pm  , 2 1 2y y p  , 1 1,2 pAF x y       , 2 2,2 pFB x y      , 2AF FB uuur uur Q , 1 22y y  , 1 22y y   , 2 2 1 2 22y y y p     ,可得 2 2 2y p , 1 22 2y y p  , 抛物线的准线l 与 x 轴交于 ,02 pC     , ACF 的面积为 21 22 8 22 2p p p    ,解得 4p  ,则抛物线的方程为 2 8y x , 所以, 2 2 2 1 2 1 2 5 24 98 8 py yAB x x p p        . 故选:B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能 力,属于中等题. 11.已知函数 ( ) cos( )f x A x   ( 0A  , 0 ,| | 2   ),将函数 ( )f x 的图象向左平 移 3 4  个单位长度,得到函数 ( )g x 的部分图象如图所示,则 1( ) 3f x  是 3 2 12 3 xg      的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据图象求出函数 ( )g x 的解析式,再由平移知识得到 ( )f x 的解析式,然后分别找出 1( ) 3f x  和 3 2 12 3 xg      的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设  ( ) sing x A x   ,根据图象可知, 3 71, 24 6 12A T T              , 再由 7 7sin 2 112 12g                      , 所以 5 2 ( )3 k k Z     , ∴ ( ) sin 2 3g x x      将函数 ( )g x 的图象向右平移 3 4  个单位长度,得到函数 ( )f x 的图象, ∴ 3 3( ) sin 2 cos 24 4 3 3f x g x x x                            . 1 1( ) cos 23 3 3f x x        , 3sin2 12 6 3 xg x              , 令 6x    ,则 23 1sin cos2 1 2sin3 3        ,显然, 1 3cos2 sin3 3     ∴ 1( ) 3f x  是 3 2 12 3 xg      的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公 式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力, 属于中档题. 12.2019 年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎( COVID 19 )疫情,并快速席卷我国其他地区, 传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治 疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新 冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、 不漏一人.在排查期间,一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医 护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染 高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 p ( 0 1p  )且相互独立,该家庭至少 检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ( )f p ,当 0p p 时, ( )f p 最大,则 0p  ( ) A. 61 3  B. 6 3 C. 1 2 D. 31 3  【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意分别求出事件 A:检测 5 个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件 B:检测 6 个 人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出 ( )f p 的表达式,再根据基本不等式即可求出. 【详解】设事件 A:检测 5 个人确定为“感染高危户”, 事件 B:检测 6 个人确定为“感染高危户”, ∴    41P A p p  ,    51P B p p  . 即       4 5 41 1( ) 2 1f p p p p p p p p      设 1 0x p   ,则       4 2 41 1( ) 1g x x x x xf p x     ∴         32 2 2 2 4 2 2 2 2 21 1 41 2 22 2 3 27 x x x g x x x x x x                     当且仅当 2 22 2x x  即 6 3x  时取等号,即 0 61 3p p   . 故选:A. 【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概 率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查 学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 x 、 y 满足约束条件 3 2 3 6 y x y x y        ,则 2z x y  的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数 2z x y  取得最小时 对应的最优解,代入目标函数计算即可. 【详解】作出不等式组 3 2 3 6 y x y x y        所表示的可行域如下图所示: 联立 2 3 6 x y x y      ,解得 3 1 x y     ,即点  3, 1A  , 平移直线 2z x y  ,当直线 2z x y  经过可行域的顶点  3, 1A  时,该直线在 x 轴上的截距 最小,此时 z 取最小值,即  min 3 2 1 1z      . 故答案为:1. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数形结合思想 的应用,属于基础题. 14.已知函数   1ln1 xf x ax   为奇函数,则 a ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用奇函数的定义得出    f x f x   ,结合对数的运算性质可求得实数 a 的值. 【 详 解 】 由 于 函 数   1ln1 xf x ax   为 奇 函 数 , 则    f x f x   , 即 1 1 1ln ln ln1 1 1 x x ax ax ax x         , 1 1 1 1 x ax ax x      ,整理得 2 2 21 1x a x   ,解得 1a   . 当 1a  时,真数 1 11 x x    ,不合乎题意; 当 1a   时,   1ln 1 xf x x   ,解不等式 1 01 x x   ,解得 1x   或 1x  ,此时函数  y f x 的定义域为   , 1 1,  U ,定义域关于原点对称,合乎题意. 综上所述, 1a   . 故答案为: 1 . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应 用,考查计算能力,属于中等题. 15.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、 商、角、徵、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音 阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成______种不同的音序. 【答案】32 【解析】 【分析】 按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出. 【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有 2 2 2 22 3 24A A    种; ②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧; ③若“角”在第二个或第四个位置上,则有 2 2 2 22 8A A  种; 综上,共有 24 8 32  种. 故答案为:32. 【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原 理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题. 16.在三棱锥 P ABC 中, AB BC ,三角形 PAC 为等边三角形,二面角 P AC B  的余 弦值为 6 3  ,当三棱锥 P ABC 的体积最大值为 1 3 时,三棱锥 P ABC 的外接球的表面积 为______. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角 P AC B  的平面角,再设出 ,AB BC 的长, 即可求出三棱锥 P ABC 的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥 P ABC 的体积 最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关 系即可求出三棱锥 P ABC 的外接球的表面积. 【详解】如图所示: 过点 P 作 PE  面 ABC ,垂足为 E ,过点 E 作 DE AC 交 AC 于点 D ,连接 PD . 则 PDE 为二面角 P AC B  的平面角的补角,即有 6cos 3PDE  . ∵易证 AC  面 PDE ,∴ AC PD ,而三角形 PAC 为等边三角形, ∴ D 为 AC 的中点. 设 ,AB a BC b  , 2 2AC a b c   . ∴ 3 3sin 2 3 2 cPE PD PDE c       . 故三棱锥 P ABC 的体积为 2 2 31 1 1 3 2 2 12 12 12 2 24 c c c a b cV ab abc ab          当且仅当 2 2a b c  时, 3 max 1 24 3 cV   ,即 2, 2a b c   . ∴ , ,B D E 三点共线. 设三棱锥 P ABC 的外接球的球心为 O ,半径为 R . 过点O 作OF PE 于 F ,∴四边形ODEF 为矩形. 则 2 1OD EF R   , 6cos 3 23DE OF PD PDE      , 1PE  , 在 Rt PFO 中,  2 2 22 1 1R R    ,解得 2 2R  . 三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 24 8S R   . 故答案为:8 . 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用, 以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于 较难题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为 必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.如图,在 ABC 中, 2AC  , 3A   ,点 D 在线段 AB 上. (1)若 1cos 3CDB   ,求 CD 的长; (2)若 2AD DB ,sin 7 sinACD BCD   ,求 ABC 的面积. 【答案】(1) 3 6 4CD  (2) 3 3 2 【解析】 【分析】 (1)先根据平方关系求出 sin CDA ,再根据正弦定理即可求出CD ; (2)分别在 ADC 和 BDC 中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即 可求出CB ,再根据余弦定理求出 AB ,即可根据 1 sin2S AC AB A   求出 ABC 的面积. 【详解】(1)由 1cos 3CDB   ,得 1cos 3CDA  ,所以 2 2sin 3CDA  . 由正弦定理得, sin sin CD AC A CDA   ,即 2 3 2 2 2 3 CD  ,得 3 6 4CD  . (2)由正弦定理,在 ADC 中, sin sin AD AC ACD ADC   ,① 在 BDC 中, sin sin DB CB BCD BDC   ,② 又sin sinADC BDC   , 2AD DB ,sin 7 sinACD BCD   , 由 ① ② 得 7CB  , 由余弦定理得 2 2 2 2 cosCB AC AB AC AB A    , 即 27 4 2AB AB   ,解得 3AB  , 所以 ABC 的面积 1 3 3sin2 2S AC AB A    . 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在 考查学生的数学运算能力,属于基础题. 18.如图,在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面 ABCD 为菱形, 1 1AB CB . (1)证明:平面 1 1BDD B  平面 ABCD ; (2)若 60DAB   , 1DB B 是等边三角形,求二面角 1 1A BD C  的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 0 【解析】 【分析】 (1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明 AC  平面 1 1BDD B 即可. 由 ABCD 为菱形可得 AC BD ,连接 1B 和 AC 与 BD 的交点O , 由等腰三角形性质可得 1B O AC ,即能证得 AC  平面 1 1BDD B ; (2)由题意知, 1B O  平面 ABCD ,可建立空间直角坐标系Oxyz ,以O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴, 1OB 所在直线为 z 轴,再分别求出平面 1C BD 的法向 量,平面 1A BD 的法向量,即可根据向量法求出二面角 1 1A BD C  的余弦值. 【详解】(1)如图,设 AC 与 BD 相交于点O ,连接 1B O , 又 ABCD 为菱形,故 AC BD ,O 为 AC 的中点. 又 1 1AB CB ,故 1B O AC . 又 BD  平面 1 1BDD B , 1B O  平面 1 1BDD B ,且 1BD B O O , 故 AC  平面 1 1BDD B ,又 AC  平面 ABCD , 所以平面 1 1BDD B  平面 ABCD . (2)由 1DB B 是等边三角形,可得 1B O BD ,故 1B O  平面 ABCD , 所以 1B O , AC , BD 两两垂直.如图以O 为坐标原点,OA所在直线为 x 轴,OB 所在直线 为 y 轴, 1OB 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz . 不妨设 2AB  ,则 3AO  , 1 3OB  , 则 ( 3,0,0)A , (0,1,0)B , 1(0,0, 3)B , (0, 1,0)D  , 1( 3, 1, 3)A  , 1( 3, 1, 3)C   , 设  1 1 1, ,n x y z 为平面 1C BD 的法向量, 则 1 0, 0, n BD n OC        即 1 1 1 1 2 0, 3 3 0, y x y z     可取 (1,0,1)n  , 设  2 2 2, ,m x y z 为平面 1A BD 的法向量, 则 1 0, 0, m BD m OA        即 2 2 2 2 2 0, 3 3 0, y x y z     可取 ( 1,0,1)m   , 所以 cos , 0n mn n m m          . 所以二面角 1 1A BD C  的余弦值为 0. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的应用,以及利用向量法 求二面角,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和数学运算能力,属于基础题. 19.某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm ,只要误差的绝对值不超过 0.03cm 就认为合 格,工厂质检部抽检了某批次产品 1000 件,检测其长度,绘制条形统计图如图: (1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望; (2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取 2 件, 假设其中至少有 1 件是标准长度产品的概率不小于 0.8 时,该设备符合生产要求.现有设备是 否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小 值. 【答案】(1) 0.01025 (2) 51 5  【解析】 【分析】 (1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值 X 的频率分布列,再根据期望公式即可 求出; (2)由(1)可知,任取一件产品是标准长度的概率为 0.4,即可求出随机抽取 2 件产品,都 不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取 2 件产品,至少有 1 件 是标准长度产品的概率,判断其是否符合生产要求;当不符合要求时,设生产一件产品为标 准长度的概率为 x ,可根据上述方法求出 21 (1 )P x   ,解 21 (1 ) 0.8x   ,即可得出最 小值. 【详解】(1)由柱状图,该批次产品长度误差的绝对值 X 的频率分布列为下表: X 0 0.01 0.02 0.03 0.04 频率 P 0.4 0.3 0.2 0.075 0.025 所以 X 的数学期望的估计为 ( ) 0 0.4 0.01 0.3 0.02 0.2 0.03 0.075 0.04 0.025 0.01025E X            . (2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为 0.4,设至少有 1 件是标准长度产品为事 件 B ,则 23 16( ) 1 0.64 0.85 25P B         ,故不符合概率不小于 0.8 的要求. 设生产一件产品为标准长度的概率为 x , 由题意 2( ) 1 (1 ) 0.8P B x    ,又 0 1x  ,解得 51 5x   , 所以符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值为 51 5  . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法,相互独立事件同时发生的概率公式的 应用,对立事件的概率公式的应用,解题关键是对题意的理解,意在考查学生的数学建模能 力和数学运算能力,属于基础题. 20.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     经过点  3,1 ,离心率为 6 3 . (1)求椭圆C 的方程; (2)过点  4,0M 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,若 AM MB  ,在线段 AB 上取点 D ,使 AD DB   ,求证:点 D 在定直线上. 【答案】(1) 2 2 16 2 x y  ;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意得出关于 a 、b 、 c 的方程组,解出 2a 、 2b 的值,进而可得出椭圆 C 的标准 方程; (2)设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y 、  0 0,D x y ,设直线 AB 的方程为 4x my  ,将该直线 的方程与椭圆 C 的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点 D 的坐标表达式, 并代入韦达定理,消去  ,可得出点 D 的横坐标,进而可得出结论. 【详解】(1)由题意得 2 2 2 2 2 6 3 3 1 1 c a a b c a b         ,解得 2 6a  , 2 2b  . 所以椭圆 C 的方程是 2 2 16 2 x y  ; (2)设直线 AB 的方程为 4x my  ,  1 1,A x y 、  2 2,B x y 、  0 0,D x y , 由 2 2 4 16 2 x my x y     ,得  2 23 8 10 0m y my    .    2 2 28 40 3 0 5m m m       ,则有 1 2 2 8 3 my y m    , 1 2 2 10 3y y m   , 由 AM MB  ,得 1 2y y  ,由 AD DB   ,可得 1 2 0 1 2 0 1 1 x xx y yy           ,   21 21 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1024 4 2 2 334 4 481 1 21 3 mmy myx x my my y mx y my y my                   , 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1022 2 53 81 21 3 y y y y y my y my y m my            , 综上,点 D 在定直线 3 2x  上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推 理能力,属于中等题. 21.设函数 ( ) (2 cos ) sinf x ax x x   , ( )f x 是函数 ( )f x 的导数. (1)若 1a  ,证明 ( )f x 在区间 ,2 2      上没有零点; (2)在 (0, )x  上 ( ) 0f x  恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 1 ,3    【解析】 【分析】 (1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出 ( )f x ,再由函数 ( )f x 的导数可知, 函数 ( )f x 在 ,02     上单调递增,在 0, 2      上单调递减,而 02f       , 02f      , 可知 ( ) 0f x  在区间 ,2 2      上恒成立,即 ( )f x 在区间 ,2 2      上没有零点; (2)由题意可将 ( ) 0f x  转化为 sin 02 cos xax x   ,构造函数 sin( ) 2 cos xF x ax x    , 利用导数讨论研究其在 (0, )x  上的单调性,由 min 0F  ,即可求出 a 的取值范围. 【详解】(1)若 1a  ,则 ( ) (2 cos ) sinf x x x x   , ( ) 2 sinf x x x   , 设 ( ) ( ) 2 sinh x f x x x   ,则 ( ) sin cosh x x x x    , (0) 0h  , ( ) sin cos ( )h x x x x h x      ,故函数 ( )h x 是奇函数. 当 0, 2x     时, sin 0x  , cos 0x x  ,这时 ( ) 0h x  , 又函数 ( )h x 是奇函数,所以当 ,02x      时, ( ) 0h x  . 综上,当 ,02x      时,函数 ( )f x 单调递增;当 0, 2x     时,函数 ( )f x 单调递减. 又 2 02 2f          , 2 02 2f         , 故 ( ) 0f x  在区间 ,2 2      上恒成立,所以 ( )f x 在区间 ,2 2      上没有零点. (2) sin( ) (2 cos ) 2 cos xf x x ax x       ,由  cos 1,1x   ,所以 2 cos 0x  恒成立, 若 ( ) 0f x  ,则 sin 02 cos xax x   ,设 sin( ) 2 cos xF x ax x    , 2 2 2cos 1 2 3( ) (2 cos ) 2 cos (2 cos ) xF x a ax x x         21 1 13 2 cos 3 3ax        . 故当 1 3a  时, ( ) 0F x ≥ ,又 (0) 0F  ,所以当 0x  时, ( ) 0F x  ,满足题意; 当 0a  时,有 1 02 2 2F a         ,与条件矛盾,舍去; 当 10 3a  时,令 ( ) sin 3g x x ax  ,则 ( ) cos 3g x x a   , 又3 1a  ,故 ( ) cos 3 0g x x a    在区间 (0, ) 上有无穷多个零点, 设最小的零点为 1x , 则当  10,x x 时, ( ) 0g x  ,因此 ( )g x 在 10, x 上单调递增. ( ) (0) 0g x g  ,所以sin 3x ax . 于是,当  10,x x 时, sin sin 2 cos 3 x x axx   ,得 sin 02 cos xax x   ,与条件矛盾. 故 a 的取值范围是 1 ,3    . 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单 调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力, 数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所 做的第一题计分. 22.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 2 2 2 2 x t y t      (t 为参数),以O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 1C 的极坐标方程为 2sin  . (1)求l 的普通方程和 1C 的直角坐标方程; (2)把曲线 1C 向下平移1个单位,然后各点横坐标变为原来的 2 倍得到曲线 2C(纵坐标不变), 设点 P 是曲线 2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】(1) : 2 4 2 0l x y   ,  22: 1 1C x y   ;(2) 2 10 5 . 【解析】 【分析】 (1)在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程,在曲线 1C 的极坐标方程两边 同时乘以  得 2 2 sin   ,进而可化简得出曲线 1C 的直角坐标方程; (2)根据变换得出 2C 的普通方程为 2 2 14 x y  ,可设点 P 的坐标为 2cos ,sin  ,利用 点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果. 【详解】(1)由 2 2 2 2 x t y t      (t 为参数),得 2 2 2 2 x y     ,化简得 2 4 2 0x y   , 故直线l 的普通方程为 2 4 2 0x y   . 由 2sin  ,得 2 2 sin   ,又 2 2 2x y   , cosx   , siny   . 所以 1C 的直角坐标方程为  22 1 1x y   ; (2)由(1)得曲线 1C 的直角坐标方程为  22 1 1x y   ,向下平移1个单位得到 2 2 1x y  , 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍得到曲线 2C 的方程为 2 2 14 x y  , 所以曲线 2C 的参数方程为 2cos sin x y      ( 为参数). 故点 P 到直线l 的距离为 2 2 sin 4 22cos 2sin 4 2 4 5 5 d           , 当 4   时, d 最小为 2 10 5 . 【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化,同时也考查了利用 椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解,考查计算能力,属于中等题. 23.已知 0a  , 0b  ,函数   2f x x a x b    的最小值为 1 2 . (1)求证: 2 1a b  ; (2)若 2a b tab  恒成立,求实数t 的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)最大值为 9. 【解析】 【分析】 (1)将函数  y f x 表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证 得结论成立; (2)由 2a b tab  可得出 1 2t a b   ,并将代数式 1 2 a b  与 2a b 相乘,展开后利用基本不 等式可求得 1 2 a b  的最小值,进而可得出实数 t 的最大值. 【详解】(1)   3 , 2 2 , 2 3 , ax a b x af x x a x b x a b x b x a b x b                      . 当 2 ax   时,函数  y f x 单调递减,则   2 af x f      ; 当 2 a x b   时,函数  y f x 单调递增,则    2 af f x f b      ; 当 x b 时,函数  y f x 单调递增,则    f x f b . 综上所述,   1 2 2 2 a af x f b        ,所以 2 1a b  ; (2)因为 2a b tab  恒成立,且 0a  , 0b  ,所以 2a bt ab  恒成立,即 min 2 1t b a      . 因为  2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 9b a b aa bb a b a a b a b               ,当且仅当 1 3a b  时等 号成立, 所以 9t  ,实数t 的最大值为9. 【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数, 考查推理能力与计算能力,属于中等题.

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