数学文·广东省汕头市潮阳林百欣中学2017届高三上学期期中数学试卷（文科）（13-20班） Word版含解析 21页

‎2016-2017学年广东省汕头市潮阳林百欣中学高三（上）期中数学试卷（文科）（13-20班）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）‎ ‎2．已知，且，则=（　　）‎ A． B．﹣7 C． D．7‎ ‎3．设z=+i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 ‎6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③‎ ‎8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎9．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎11．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）‎ A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3‎ ‎12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为　　．‎ ‎14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ 由此可判断乙去过的城市为　　．‎ ‎15．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　　．‎ ‎16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=　　m．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎18．从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？‎ ‎19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．‎ ‎（1）证明：B1C⊥AB；‎ ‎（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎20．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 选做题（请考生从第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5；不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|‎ ‎（1）求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市潮阳林百欣中学高三（上）期中数学试卷（文科）（13-20班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，‎ 则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．已知，且，则=（　　）‎ A． B．﹣7 C． D．7‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．‎ ‎【解答】∵cos，且 ‎∴sin=‎ 即tan ‎∴tan（）==7‎ 故答案选：D ‎　‎ ‎3．设z=+i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．‎ ‎【解答】解：z=+i=+i=．‎ 故|z|==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ e===2，‎ 解得，a=1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），‎ f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，‎ ‎|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，‎ f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．‎ ‎|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．‎ ‎【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，‎ ‎∴+=（+）+（+）=+=（+）=，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，‎ ‎②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，‎ ‎③y=cos（2x+）的最小正周期为 =π，‎ ‎④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．‎ ‎【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，‎ 可知几何体如图：几何体是三棱柱．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M=时满足条件n≤k，退出循环，输出M的值．‎ ‎【解答】解：n=1时，M=1+=，‎ n=2时，M=2+=，‎ n=3时，M=+=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）‎ ‎∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，‎ ‎∴x0=x0+，‎ 解得x0=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）‎ A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 当a≥1时，由，‎ 解得，y=．‎ ‎∴．‎ 当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，‎ ‎∴，化为a2+2a﹣15=0，‎ 解得a=3，a=﹣5舍去．‎ 当a＜1时，不符合条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，‎ ‎∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；‎ ‎①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；‎ ‎②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；‎ ‎③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；‎ 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；‎ 而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；‎ 故f（）=﹣3•+1＞0；‎ 故a＜﹣2；‎ 综上所述，‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，‎ 其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ 由此可判断乙去过的城市为　A　．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．‎ ‎【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，‎ 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，‎ 再由丙说：我们三人去过同一城市，‎ 则由此可判断乙去过的城市为A．‎ 故答案为：A．‎ ‎　‎ ‎15．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　x≤8　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．‎ ‎【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．‎ ‎【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，‎ ‎∴x≤ln2+1，‎ ‎∴x＜1；‎ x≥1时，≤2，‎ ‎∴x≤8，‎ ‎∴1≤x≤8，‎ 综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．‎ 故答案为：x≤8．‎ ‎　‎ ‎16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=　150　m．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．‎ ‎【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．‎ 在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，‎ 由正弦定理得，，因此AM=100m．‎ 在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由 得MN=100×=150m．‎ 故答案为：150．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；‎ ‎（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，‎ 故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，‎ 故an=2+（n﹣2）×=n+1，‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为Sn，‎ Sn=，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn==，‎ 解得Sn==2﹣．‎ ‎　‎ ‎18．从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；‎ ‎（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．‎ ‎（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，‎ 质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，‎ 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．‎ ‎（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，‎ 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．‎ ‎　‎ ‎19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．‎ ‎（1）证明：B1C⊥AB；‎ ‎（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；‎ ‎（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，‎ ‎∵侧面BB1C1C为菱形，‎ ‎∴BC1⊥B1C，‎ ‎∵AO⊥平面BB1C1C，‎ ‎∴AO⊥B1C，‎ ‎∵AO∩BC1=O，‎ ‎∴B1C⊥平面ABO，‎ ‎∵AB⊂平面ABO，‎ ‎∴B1C⊥AB；‎ ‎（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD，‎ ‎∴OH⊥BC，‎ ‎∵OH⊥AD，BC∩AD=D，‎ ‎∴OH⊥平面ABC，‎ ‎∵∠CBB1=60°，‎ ‎∴△CBB1为等边三角形，‎ ‎∵BC=1，∴OD=，‎ ‎∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，‎ 由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，‎ ‎∵O为B1C的中点，‎ ‎∴B1到平面ABC的距离为，‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ ‎　‎ ‎20．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎【考点】轨迹方程；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；‎ ‎（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，‎ ‎∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．‎ 设M（x，y），则，．‎ 由题意可得：．‎ 即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．‎ 整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ ‎∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．‎ ‎（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，‎ 由于|OP|=|OM|，‎ 故O在线段PM的垂直平分线上，‎ 又P在圆N上，‎ 从而ON⊥PM．‎ ‎∵kON=3，‎ ‎∴直线l的斜率为﹣．‎ ‎∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．‎ 则O到直线l的距离为．‎ 又N到l的距离为，‎ ‎∴|PM|==．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；‎ ‎（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．‎ ‎（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，‎ ‎∴=．‎ ‎①当a时，则，‎ 则当x＞1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，‎ 解得；‎ ‎②当a＜1时，则，‎ 则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；‎ 当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．‎ ‎∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，‎ 而=+，不符合题意，应舍去．‎ ‎③若a＞1时，f（1）=，成立．‎ 综上可得：a的取值范围是．‎ ‎　‎ 选做题（请考生从第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C： +=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，‎ 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．‎ 对于直线l：，‎ 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．‎ P到直线l的距离为．‎ 则，其中α为锐角．‎ 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．‎ 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5；不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|‎ ‎（1）求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为4，再根据|a﹣2|≥4，求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．‎ 解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．‎ 综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．‎ ‎（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．‎ 若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或 a﹣2≤﹣4，‎ 求得a≥6，或a≤﹣2，‎ 故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．‎ ‎　‎ ‎2016年11月26日