专题12-6 离散型随机变量的均值与方差（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 8页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】第十二章 概率与统计 第06节 离散型随机变量的期望和方差 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 离散型随机变量的均值与方程 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．‎ ‎2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ ‎2013课标1,2‎ ‎2014课标1,2‎ ‎2015课标1,2‎ ‎2016课标1,2,3‎ ‎2017课标1,2,3‎ 离散型随机变量的均值几乎每年都考 备考重点：‎ 以实际生活为背景离散型随机变量的均值和方差 ‎【知识清单】‎ ‎1.离散型随机变量的均值 ‎（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：‎ 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎（2）若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b ‎（3）(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.‎ 对点练习 ‎【2018四川南充嘉陵一中模拟】某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（ ）‎ A. 400 B. 300 C. 200 D. 100‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C.‎ ‎2.离散型随机变量的方差 ‎（1）设离散型随机变量X的分布列为 则(xi－E(X)) 2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi　为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的_平均偏离程度　．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差．‎ ‎（2）D(aX＋b)＝a2D(X).‎ ‎（3）若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)‎ ‎（4）若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)‎ ‎.对点练习 设非零常数是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【考点深度剖析】‎ 离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．‎ ‎【重点难点突破】‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎【1-1】【2018广东深圳南山区模拟】—个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元励；若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )‎ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】游客摸出的2个小球同色的概率为 ，所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列为，因此 ‎ ‎【1-2】口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（ ）‎ A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ， ， ， ，故选 .‎ ‎【1-3】某人从家乘车到单位，途中有 个交通岗亭，假设在 个交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 ，则此人上班途中遇到红灯次数的期望为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设此人上班途中遇红灯的次数为X，则X～B（3，0.4）‎ ‎∴E（X）=3×0.4=1.2‎ 故选B．‎ ‎【1-4】已知某一随机变量x的概率分布如下，且=5.9，则a的值为（ ）‎ ‎2-8‎ ‎9‎ p ‎0.5‎ b-0.1‎ b A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由0.5+0.2+b=1，得b=0.3，‎ 由E(x)=5.9，得4×0.5+0.2a+9×0.3=5.9，解得a=6.‎ 故选B.‎ ‎【1-5】（【2018广西贺州桂梧高中模拟】为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度，需要抽检一批轮胎（共10个轮胎），已知这批轮胎宽度（单位： ）的折线图如下图所示：‎ ‎（1）求这批轮胎宽度的平均值；‎ ‎（2）现将这批轮胎送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批轮胎中任取5个作检验，这5个轮胎的宽度都在内，则称这批轮胎合格，如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，若还是不合格，这批轮胎就认定不合格.‎ 求这批轮胎第一次抽检就合格的概率；‎ 记为这批轮胎的抽检次数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）这批轮胎宽度的平均值为 ‎.‎ ‎（2）这批轮胎宽度都在内的个数为6，‎ 故这批轮胎第一次抽检就合格的概率为.‎ ‎ 的可能取值为1,2， ， .‎ 则的分布列为：‎ 故.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎2. 求离散型随机变量均值的步骤 ‎(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；‎ ‎(2)求的每个值的概率；‎ ‎(3)写出的分布列；‎ ‎(4)由均值定义求出．‎ ‎3. 六条性质 ‎(1) (为常数)‎ ‎(2) (为常数)‎ ‎(3) ‎ ‎(4)如果相互独立，则 ‎(5) ‎ ‎(6) ‎ ‎4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018江苏徐州市模拟】某同学在上学路上要经过、、三个带有红绿灯的路口.已知他在、、三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是秒、秒、秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.‎ ‎（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，‎ ‎（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.‎ ‎【解析】（1）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件，‎ 因为事件等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，‎ 所以事件的概率为.‎ ‎【变式二】【2018湖北部分重点中模拟】随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店． ‎ ‎（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； ‎ ‎（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解析】 （1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A， ‎ 则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”， ‎ 则P（A）=1﹣P=1﹣=． ‎ 三、易错试题常警惕 易错典例：某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．‎ ‎（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；‎ ‎（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．‎ 易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．‎ 正确解析：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件， ‎ 则 ，‎ 故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率． ‎ ‎（2）随机变量的所有取值为． ‎ ‎，,‎ ‎，‎ 所以，随机变量的分布列为: ‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎ ‎ ‎．‎ 温馨提醒：(1) 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．理解均值易失误，均值是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述值的取值平均状态．注意，易错．‎ ‎ ‎