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- 2021-07-01 发布
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高三数学月考理科试卷答案
1.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=( )
A.[0,1] B.(0,1]
C.[0,1) D.(-∞,1]
2.已知命题p:复数z=在复平面内所对应的点位于第四象限,命题q:∃x0>0,x0=cosx0,则下列命题中为真命题的是( )
A.(┑p)∧(┑q) B.(┑p)∧q
C.p∧(┑q) D.p∧q
3.已知,,则( )
A. B.或 C. D.
4.叙述中正确的是( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
5. 设则( )
A. B. C. D.
6.△ABC中,tanA是以-4为第三项,-1为第七项的等差数列的公差,tanB是以为第三项,4为第六项的等比数列的公比,则该三角形的形状是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均错
7.已知两向量=(4,-3),=(-5,-12),则在方向上的投影为( )
A.(-1,-15) B.(-20,36) C. D.
8.已知某正三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( )
A.9 B.9+
C.12 D.12
9.已知一个圆的圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切,则当圆的面积最小时,该圆的方程为( )
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-2)2+(y-1)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-2)2+(y-1)2=25
10.函数f(x)=x|x-a|,若∀x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等式>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.(-∞,3] D.(0,3]
11.知点A,B,C,D均在球O上,AB=BC=,AC=3,若三棱锥D-ABC体积的最大值为,则球O的表面积为( )
A.36π B.16π C.12π D.π
12.已知函数有两个零点,且,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13.已知实数x,y满足则目标函数z=x-y的最大值是________。
14.已知函数,若,则 。
15.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(3+a)(sinB-sinA)=(c-a)sinC,且b=3,则△ABC面积的最大值为______。
解析 由b=3,(3+a)(sinB-sinA)=(c-a)sinC,即(b+a)(sinB-sinA)=(c-a)sinC
,利用正弦定理化简得(a+b)(b-a)=c(c-a),整理得b2-a2=c2-ac,即a2+c2-b2=ac,所以cosB==,即B=60°,所以ac=a2+c2-b2≥2ac-9,即ac≤9,所以S△ABC=acsinB≤,则△ABC面积的最大值为。
16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式:
;
根据上述分解规律,若的分解中最小的正整数是43,则________.
三、解答题:
17.(本题满分12分)
已知函数=.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)已知在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,a=2,b+c=4,
求b,c.
18. 已知数列满足:,()
(1)求证:数列是等比数列;
(2)令,(),如果对任意,都有,求实数的取值范围.
19.(本题满分12分)
如图,在梯形中,,,,四边形是矩形,且平面平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当二面角的平面角的余弦值为,求这个六面体的体积.
20.已知椭圆()的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线()与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试探究是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
21.设函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(1)若函数f(x)在x=e处的切线与y轴相交于点(0,2﹣e)求a的值;(e为自然对数的底数,e=2.781828…);
(2)当a≤2时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)当1<x<2时,证明:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为.
(1)写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程;
(2)点P是直线l上的,求点P 的坐标,使P 到圆心C 的距离最小.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若,证明:
参考答案
1.答案:A
2.答案:D
3.答案 D
4.答案:D
5.答案:C
6.答案:B
7.答案 C
8.答案 D
9.答案 A
10.答案:C
11.答案:B
12.答案:B
13.解析 画出可行域如图阴影所示,当直线y=x-z经过点A(2,-2)时,目标函数取得最大值z=2-(-2)=4。
14.答案 4
答案 -3
15.答案
16.答案 18
17. 【解析】(1)∵ =sin(3π+x)·cos(π−x)+cos2(+x),
∴=(−sin x)·(−cos x)+(−sin x)
=sin 2x+=sin(2x−)+.(3分)
由2kπ−2x−2kπ+,k∈Z,
得kπ−xkπ+,k∈Z,
即函数的单调递增区间是[kπ−,kπ+],k∈Z.(6分)
(2)由=得,sin(2A−)+=,∴sin(2A−)=1,
∵0