数学卷·2018届甘肃省定西市临洮二中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版） 21页

‎2016-2017学年甘肃省定西市临洮二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）‎ ‎1．命题“若x=3，则x2﹣9x+18=0”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（　　）‎ A．无数多条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎3．“a＞b”是“ac2＞bc2”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎6．已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎7．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎8．4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．△ABC的三个顶点分别是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD长为（　　）‎ A．5 B． C．4 D．‎ ‎11．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，O是平面A′B′C′D′的中心，则O到平面ABC′D′的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题：对∀x∈R，x3﹣x2+1≤0的否定是　　．‎ ‎14．已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是　　．‎ ‎15．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=　　．‎ ‎16．方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：‎ ‎（1）曲线C不能是圆 ‎（2）若1＜k＜4，则曲线C为椭圆 ‎（3）若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4‎ ‎（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中正确的命题是　　（填序号）‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）‎ ‎17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，已知b=5，，．‎ ‎（I）求c的值； ‎ ‎（II）求sinC的值．‎ ‎18．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，﹣2）‎ ‎（1）求抛物线的标准方程．‎ ‎（2）如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点，求m的取值范围．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（1）证明：PA∥平面EDB；‎ ‎（2）证明：PB⊥平面EFD．‎ ‎20．已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜．‎ ‎21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）用向量方法求直线EF与MN的夹角；‎ ‎（Ⅱ）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值．‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；‎ ‎（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省定西市临洮二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）‎ ‎1．命题“若x=3，则x2﹣9x+18=0”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】先判断原命题为真，逆命题为假，根据原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，即可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，原命题为：若x=3，则x2﹣9x+18=0，显然3是方程的解，为真命题；‎ 逆命题为：若x2﹣9x+18=0，则x=3，因为方程还有另一根为6，故为假命题；‎ 因为原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真；逆命题与否命题等价，故否命题为假．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（　　）‎ A．无数多条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0；当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0，即直线为y轴时，‎ 与抛物线y2=8x只有一个公共点．‎ 当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为 y=2，与抛物线y2=8x只有一个公共点．‎ 当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y﹣2=kx，即：y=kx+2，代入抛物线方程 可得 k2x2+（4k﹣8）x+4=0，由判别式等于0 可得：64﹣64k=0，∴k=1，此时，直线的方程为 y=kx+2．‎ 综上，满足条件的直线共有3条，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．“a＞b”是“ac2＞bc2”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：当c=0时，a＞b⇏ac2＞bc2；‎ 当ac2＞bc2时，说明c≠0，‎ 有c2＞0，得ac2＞bc2⇒a＞b．‎ 故a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0＜k＜1‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由 得 b=2a，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎6．已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义与性质，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x，可得P=1，‎ P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值为：2+p=3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞‎ ‎2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．‎ ‎【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；‎ 命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；‎ 所以p∧￢q为真命题；‎ 故选D；‎ ‎　‎ ‎8．4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．‎ ‎【解答】解：在椭圆C1中，由，得 椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），‎ 曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，‎ 故C2的标准方程为：﹣=1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意作图，可得所求数量积为，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案．‎ ‎【解答】解：如图连接空间四边形ABCD的对角线AC，BD，‎ 由空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，‎ 可知底面ABC为等边三角形，故∠BDC=60°，‎ 又点E、F分别是AB、AD的中点，所以，‎ 故==‎ ‎==﹣，‎ 故选B ‎　‎ ‎10．△ABC的三个顶点分别是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD长为（　　）‎ A．5 B． C．4 D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】设，可得=+=（1，﹣1+4λ，2﹣3λ），于是==（﹣4，5+4λ，﹣3λ）．由于，可得=0，解得λ=﹣．利用模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设，则=+=（1，﹣1，2）+λ（0，4，﹣3）=（1，﹣1+4λ，2﹣3λ），‎ ‎∴==（﹣4，5+4λ，﹣3λ），‎ ‎∵，‎ ‎∴=0+4（5+4λ）+9λ=0，‎ 解得λ=﹣．‎ ‎∴=，‎ ‎∴==5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义、勾股定理，△F1PF2面积是9，可得c2﹣a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值．‎ ‎【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则|m﹣n|=2a①‎ 由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=4c2，②‎ 则①2﹣②得：﹣2mn=4a2﹣4c2，‎ ‎∴mn=2c2﹣2a2，‎ ‎∵△F1PF2面积是9，‎ ‎∴c2﹣a2=9，‎ ‎∵双曲线的离心率是=，‎ ‎∴c=5，a=4，‎ ‎∴b=3，‎ ‎∴a+b=7．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，O是平面A′B′C′D′的中心，则O到平面ABC′D′的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】过O作A′B′的平行线，交B′C′于E，则O到平面ABC′D′的距离即为E到平面ABC′D′的距离．作EF⊥BC′于F，可得EF⊥平面ABC′D′，进而根据EF=B′C，求得EF．‎ ‎【解答】解：过O作A′B′的平行线，交B′C′于E，‎ 则O到平面ABC′D′的距离即为E到平面ABC′D′的距离．‎ 作EF⊥BC′于F，可得EF⊥平面ABC′D′，‎ 从而EF=B′C=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题：对∀x∈R，x3﹣x2+1≤0的否定是　　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题：对∀x∈R，x3﹣x2+1≤0的否定是，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是　9　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由x+y=（x+y）（）=5+，利用基本不等式即可求解x+y的最小值 ‎【解答】解：∵x，y是正数，且 ‎ ‎∴x+y=（x+y）（）=5+=9‎ 当且仅当即y=2x（此时x=3，y=6）时取等号 故x+y的最小值为9‎ 故答案为：9‎ ‎　‎ ‎15．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=　　．‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），‎ ‎∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．‎ 又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎16．方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：‎ ‎（1）曲线C不能是圆 ‎（2）若1＜k＜4，则曲线C为椭圆 ‎（3）若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4‎ ‎（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中正确的命题是　（3）（4）　（填序号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可．‎ ‎【解答】解：方程表示的曲线为C，‎ 对于（1），曲线C，当4﹣k=k﹣1＞0，解得k=时，方程表示圆，∴（1）不正确；‎ 对于（2），当1＜k＜4且k≠，此时曲线表示椭圆，故（2）不正确；‎ 对于（3），若曲线C表示双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，可得k＜1或k＞4，故（3）正确；‎ 对于（4），若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，此时4﹣k＞k﹣1＞0，∴，故（4）正确；‎ 故答案为：（3）（4）．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）‎ ‎17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，已知b=5，，．‎ ‎（I）求c的值； ‎ ‎（II）求sinC的值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由b的值和sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于得到关于c的方程，求出才的解即可得到c的值；‎ ‎（II）由三角形为锐角三角形，得到A的范围，由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosA的值，然后由b，c和cosA的值即可求出a的值，再由c，a和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．‎ ‎【解答】解：（I）由b=5，sinA=，‎ 则，‎ 可得×5c=，‎ 解得c=6；‎ ‎（II）由锐角△ABC中可得：，‎ 由余弦定理可得：，‎ 有：a=4．‎ 由正弦定理：，‎ 即．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，﹣2）‎ ‎（1）求抛物线的标准方程．‎ ‎（2）如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点，求m的取值范围．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设抛物线方程，将M代入抛物方程，即可求得p的值，求得抛物线方程；‎ ‎（2）将直线方程代入抛物线方程，由△＞0，即可求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，﹣2），则抛物线的焦点在y的负半轴上，‎ ‎∴可设它的标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），‎ 又因为点M在抛物线上，则3=﹣2p×（﹣2），解得：p=，‎ ‎∴椭圆的标准方程：x2=﹣y；‎ ‎（2）将直线方程代入抛物线方程：，整理得2x2+x+m=0，‎ 则△=b2﹣4ac=3﹣8m＞0，解得：m＜，‎ m的取值范围（﹣∞，）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（1）证明：PA∥平面EDB；‎ ‎（2）证明：PB⊥平面EFD．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知 PA∥平面EDB；‎ ‎（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．‎ ‎∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，‎ ‎∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，‎ ‎∴PA∥平面EDB．‎ ‎（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．‎ 又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．‎ ‎∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，‎ ‎∴PB⊥平面EFD．‎ ‎　‎ ‎20．已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出；‎ ‎（II）由bn==，利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．‎ ‎【解答】（I）解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ Sn==n2+2n．‎ ‎（II）证明：bn===．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为Tn=+…+=．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）用向量方法求直线EF与MN的夹角；‎ ‎（Ⅱ）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线．‎ ‎【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系利用向量方法求直线EF与MN的夹角；‎ ‎（Ⅱ）求出两个平面的法向量，根据法向量之间的关系，即可求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：‎ 设正方体的棱长为1，‎ 则A（0，0，0），B（1，0，0），E（，0，1），F（1，，0），‎ M（，1，1），N（1，，1），‎ 则=（），=（），‎ 则•=（）•（）=，‎ 则⊥，‎ 即直线EF与MN的夹角为90°；‎ ‎（Ⅱ）∵直线EF与MN的夹角为90°，‎ ‎∴EF⊥MN，‎ ‎∵FN⊥MN，MN∩FN=N，‎ ‎∴MN⊥平面ENF，‎ 即向量=（）是平面ENF的法向量，‎ 设平面EFM的法向量为=（x，y，z），‎ 则=（0，1，0），=（），‎ 则，‎ 即y=0，x=2z，设z=1，则x=2，即=（2，0，1），‎ 则cos＜，＞==，‎ 则sin＜，＞=，‎ 则tan＜，＞=．‎ ‎　‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；‎ ‎（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）由“左焦点为，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．‎ ‎（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式，分别求得x0，y0，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程．‎ ‎（3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．‎ 又椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆的标准方程为 ‎（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），‎ 由得 由，点P在椭圆上，得，‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是．‎ ‎（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，‎ 因此△ABC的面积S△ABC=1．‎ 当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，‎ 解得B（，），C（﹣，﹣），‎ 则，又点A到直线BC的距离d=，‎ ‎∴△ABC的面积S△ABC=‎ 于是S△ABC=‎ 由≥﹣1，得S△ABC≤，其中，当k=﹣时，等号成立．‎ ‎∴S△ABC的最大值是．‎ ‎　‎ ‎2017年4月18日