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  • 2021-07-01 发布

高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:1-2第1课时

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‎1.2 应用举例 ‎ 第1课时 正、余弦定理在实际问题中 的应用 双基达标 (限时20分钟) ‎1.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150°,向新的方向走了3 km,结果他离出发点恰好为 km,那么x的值为 (  ).‎ A. B.2 C.2或 D.3‎ 解析 根据余弦定理可得,()2=x2+32-2×3xcos(180°-150°),即x2-3x+6=0,∴x=2或.‎ 答案 C ‎2.从200 m高的山顶看,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为(  ).‎ A. m B. m C. m D. m 解析 由山顶与塔底的俯角为60°可知,山脚与塔底的水平距离为,又山顶看塔顶的俯角为30°,设塔高为x m,则200-x=×,∴x= m.故选A.‎ 答案 A ‎3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔在这次测量中的高度是 (  ).‎ A.100 m B.400 m C.200 m D.500 m 解析 由题意画出示意图,‎ 设高AB=h,在Rt△ABC中,由已知BC=h,在Rt△ABD ‎ 中,由已知BD=h,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2‎ ‎+CD2-2BC·CD·cos∠BCD得,3h2=h2+5002+h·500,解 之得h=500 m.故选D.‎ 答案 D ‎4.如图,A、B两点间的距离为________.‎ 解析 ∵AB2=32+32-2×3×3cos 45°=32×(2-),‎ ‎∴AB=3.‎ 答案 3 ‎5. 如图所示,为了测量河的宽度,在一侧岸边选定两点A,B,在另一侧岸边选定点C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为________.‎ 解析 设河宽h m,则+=120,‎ 又∵tan 75°=,‎ ‎∴h+h=120,∴h=60 m.‎ 答案 60 m ‎6.一商船行至索马里海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后,即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处,并沿方位角为105°的方向,以9海里/时的速度航行.“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程.‎ 解 如图所示,若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船, ‎ 则A,B,C构成一个三角形,‎ 设所需时间为t小时,则AB=21t海里,BC=9t海里.‎ 又已知AC=10海里,依题意知,∠ACB=120°,‎ 根据余弦定理,AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos∠ACB.‎ ‎∴(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos 120°,‎ ‎∴(21t)2=100+81t2+90t,即360t2-90t-100=0.‎ ‎∴t=或t=-(舍).‎ ‎∴AB=21×=14(海里).‎ 即“黄山”舰需要用小时靠近商船,共航行14海里.‎ 综合提高 (限时25分钟)‎ ‎7.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 (  ).‎ A.a km B.a km C.a km D.2a km 解析 在△ABC中,AB=BC=a km,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,‎ ‎∴AB= ‎= =a (km).‎ 答案 B ‎8.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长 (  ).‎ A.5 m B.10 m C.10 m D.10 m 解析 如图,设将坡底加长到B′时,倾斜角为30°.‎ 依题意,∠B′=30°,∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m,‎ 在△ABB′中,根据正弦定理,得 BB′===10 (m),‎ 即当坡底伸长10 m时,斜坡的倾斜角将变为30°.‎ 答案 C ‎9.已知A,B两岛相距10 n mile,从A岛看B,C两岛的视角为60°,从B岛看A,C两岛的视角是75°,则B,C两岛的距离为________ n mile.‎ 解析 A,B,C为△ABC的顶点,且A=60°,B=75°,‎ ‎∴C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.‎ 根据正弦定理得,‎ BC===5 (n mile).‎ 答案 5 ‎10.某海岛周围38海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30海里后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的危险(填“有”或“无”).‎ 解析 由题意在三角形ABC中,AB=30,∠BAC=30°,‎ ‎∠ABC=135°,∴∠ACB=15°,由正弦定理BC=·‎ sin∠BAC=·‎ sin 30°==15(+).‎ 在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)>38.‎ 答案 无 ‎11.为了测量两山顶M、N间的距离,飞机沿水平方向在A、B两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面内,如图,飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离,请设计一个方案;包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.‎ 解 ①需要测量的数据有A到M、N的俯角α1、β1,B到M、N的俯角α2、β2,A、B的距离d(如图所示).‎ ‎②方案一:第一步:计算AM,由正弦定理AM=;‎ 第二步:计算AN,由正弦定理AN=;‎ 第三步:计算MN,由余弦定理 MN=.‎ 方案二:第一步:计算BM,由正弦定理BM=;‎ 第二步:计算BN,由正弦定理BN=;‎ 第三步:计算MN,由余弦定理 MN=.‎ ‎12.(创新拓展)某海上养殖基地A接到气象部门预报,位于基地南偏东60°距离20(+1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为20海里,正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.‎ 解 如题图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,则B,C,D在同一直线上,且AD=20海里,AC=20海里.‎ 由题意知,AB=20(+1) 海里,DC=2×10=20 海里,BC=(+1)×10 海里.‎ 在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,‎ ‎∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.‎ 在△ABC中,由余弦定理得 cos∠BAC==,‎ ‎∴∠BAC=30°,‎ 又∵B位于A的南偏东60°,且60°+30°+90°=180°,‎ ‎∴D位于A的正北方向,又∵∠ADC=45°,‎ ‎∴台风移动的方向为的方向,即北偏西45°方向.‎ 所以台风向北偏西45°方向移动.‎

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