湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 23页

‎2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知命题，总有，则为（　　）‎ A. 使得 B. 使得 C. 总有 D. ,总有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定解答即得解.‎ ‎【详解】根据全称命题否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎2.一直平面内的定点A，B和动点P，则“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数成立是定值．‎ 若动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数，当，此时的轨迹不是椭圆．‎ ‎“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的必要不充分条件．‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．‎ ‎3.直线l经过两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. ∪ B. [0，π)‎ C. D. ∪‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值取值范围．‎ ‎【详解】‎ 故选A.‎ ‎【点睛】已知直线上两点求斜率利用公式．需要注意的是斜率不存在的情况．‎ ‎4.已知直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原位置，则斜率（ ）．‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像的平移，求平移后的解析式，再求参数的值即可.‎ ‎【详解】解：将直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿轴正方向平移1个单位长度后，所得直线方程为 ，‎ 由题意可知，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的平移，属基础题.‎ ‎5.已知椭圆的短轴长为4，上顶点A，左顶点B，焦点，‎ 分别是椭圆左右焦点，且的面积为，则椭圆的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，且，列方程组求.‎ ‎【详解】解：椭圆的短轴长为4，可得，‎ 上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为，‎ 可得，即，所以，，可得，，‎ 椭圆的焦距为：．‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．‎ ‎6.已知实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 其中表示两点与所确定直线的斜率，由图知，所以的取值范围是的取值范围是选C.‎ ‎7.过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，‎ ‎∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，‎ ‎∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，‎ 所以此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，‎ ‎∴四边形AOBP的外接圆的方程为，‎ ‎∴△AOB外接圆的方程为，‎ 故选 A．‎ ‎8.椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可知，又恰好与圆相切于点P，可知且，即可列出方程求椭圆的离心率.‎ ‎【详解】由恰好与圆相切于点P，可知，且 ，‎ 又，可知，‎ 在中，，‎ 即 所以，‎ 解得，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.‎ ‎9.唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短．‎ ‎【详解】设点A关于直线对称点，，‎ 的中点为，故解得，，‎ 要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，‎ 即为点和圆上的点连线的最小值，为点和圆心的距离减半径，‎ ‎“将军饮马”的最短总路程为，‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．‎ ‎10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点不重合），则的面积最大值是（ ）．‎ A. B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出时，交点，；当时，利用基本不等式求的面积最大值，综合得解.‎ ‎【详解】动直线，令，解得，‎ 因此此直线过定点．‎ 动直线，即，‎ 令，，‎ 解得，，‎ 因此此直线过定点.‎ 时，两条直线分别为，，交点，‎ ‎．‎ 时，两条直线的斜率分别为：，，‎ 则，‎ 因此两条直线相互垂直．‎ 当时，的面积取得最大值．‎ 综上可得：面积最大值是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11.设椭圆C：上的一点P到两条直线和的距离分别是，，则的最小值（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，由题意可得：，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论．‎ ‎【详解】解：设，，‎ 由题意可得：．‎ 当且仅当时取等号．‎ 的最小值为8．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，由点Q在椭圆的内部，可得以为直径的圆在椭圆内，可得；于是，再根据临界值，由点的位置建立不等式，确定即可得出e的范围．‎ ‎【详解】解：，‎ 点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，‎ 点Q在椭圆的内部，以为直径的圆在椭圆内，；‎ ‎，，‎ 故．‎ ‎，,‎ 设，，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，①‎ ‎，‎ 由已知可知，点在以为直径的圆上，不包含，两个点，‎ 当点与重合时，此时，的最大值是 ‎ 由图象可知其他满足条件的满足条件时，需满足 ②‎ 由①②可知 ， ‎ ‎，‎ 解得： ，‎ 综上可知：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，本题的关键是根据满足条件的点的位置确定，建立面积条件的的不等关系，求出离心率的范围.‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.已知直线l过点（1，2），且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为__________．‎ ‎【答案】x=1或3x﹣4y+5=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况，当斜率不存在时，验证是否满足题意；当斜率存在时，设出点斜式方程，再由点到直线的距离公式求出斜率即可求解.‎ ‎【详解】直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：x=1，满足题意；‎ 直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1），化为：kx﹣y+2﹣k=0．‎ 由题意可得：，解得：k，‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣2（x﹣1），化为：3x﹣4y+5=0，‎ 综上可得：直线l的方程为：x=1或3x﹣4y+5=0，‎ 故答案为：x=1或3x﹣4y+5=0．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程、点到直线的距离公式，注意斜率不存在的情况，考查分类讨论的思想，属于基础题 ‎14.若椭圆焦距为1，则______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论焦点的位置，然后利用，求的值.‎ ‎【详解】解：椭圆的焦距为1，‎ 当焦点在轴时，， ‎ ‎ ，解得： ‎ 当焦点在轴时，，，‎ ‎，解得：.‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆方程的形式求参数，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．‎ ‎15.已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据待定系数法求椭圆方程，再利用点差法求和与的斜率关系，最后利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】不妨设，根据题意可知，解得： ‎ 椭圆方程是 ‎ 设 ‎ ‎ ，两式相减得 ‎ 整理为： ‎ 当，且时，，‎ ‎，即，‎ 同理：，‎ ‎，即 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎ ， ‎ ‎.‎ 当且仅当时等号成立，即时，‎ 故的最大值是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】考查点差法求斜率关系式，和利用基本不等式求最值，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用点差法求斜率间的关系.‎ ‎16.已知直线与圆交于两点A，B，若(其中O为坐标原点)，则实数b的取值范围______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平行四边形法则，转化为，借助于弦长公式，求得 ，利用点到直线的距离求的取值范围．‎ ‎【详解】解：设AB中点为D，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 直线与圆交于不同的两点A、B，‎ ‎．‎ ‎，则．‎ 或．‎ 即实数b的取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的推理和计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知和的交点为．‎ ‎（1）求经过点且与直线垂直的直线的方程 ‎（2）直线经过点与轴、轴交于、两点，且为线段的中点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立两条直线的方程，解方程组求得点坐标，根据的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中点的坐标以及为中点这一条件，求得两点的坐标，进而求得三角形的面积.‎ ‎【详解】解：（1）联立，解得交点的坐标为，‎ ‎∵与垂直，‎ ‎∴的斜率，‎ ‎∴的方程为，即.‎ ‎（2）∵为的中点，已知，，即，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.‎ ‎18.已知P：方程表示圆心在第三象限的圆，q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 若为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若“”为假，“为真”，求m的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求为真命题时，的取值范围，再求其补集，就是为真时，的取值范围；‎ ‎（2）求出命题q为真时m的取值范围，利用“”为假，“为真”时p、q一真一假；从而列不等式求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】解：方程可化为；‎ 若P为真命题，则，解得；‎ 所以为真命题时，实数m的取值范围是；‎ 命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 若q为真命题时，；‎ 由“”为假，“为真”，则p、q一真一假；‎ 当p真q假时，，即；‎ 当p假q真时，，即；‎ 综上知，实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了圆的方程与椭圆的标准方程应用问题，也考查了简单的复合命题真假性判断问题，是基础题．‎ ‎19.若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；‎ ‎(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果．‎ ‎【详解】(1)令方程中的，得，令，得.‎ 所以点的坐标分别为.‎ 所以圆的圆心是，半径是，‎ 所以圆的标准方程为.‎ ‎(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.‎ 若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.‎ 若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.‎ 圆的圆心到直线的距离，解得.‎ 则直线的方程为，即.‎ 综上，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线的斜率是否存在，是中档题．‎ ‎20.如图，，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，链接M，N两地之间的铁路是圆心在上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且，点N到，距离分别为4km和5km．‎ 建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；‎ 若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距离点O的最近距离．注：校址视为一个点 ‎【答案】(1) (2)距O最近6km的地方．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程．‎ 据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题.‎ ‎【详解】解：分别以、为x轴，y轴建立如图坐标系．‎ 据题意得，，，‎ MN中点为，‎ 线段MN的垂直平分线方程为：，‎ 故圆心A的坐标为，‎ 半径．‎ 弧MN的方程为：‎ 设校址选在，‎ 对恒成立．‎ 即，对恒成立 整理得：，对恒成立 令．‎ ‎，，‎ 在上为减函数．，‎ 解得，‎ 即校址选在距O最近6km的地方．‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，函数的恒成立问题，利用二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，意在考查抽象和概括，将实际问题转化为数学问题，属于中档题．‎ ‎21.已知椭圆C：的离心率 ‎，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．‎ 求椭圆C的方程；‎ 如图所示，该椭圆C的左、右焦点，作两条平行的直线分别交椭圆于A，B，C，D四个点，试求平行四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2) 最大值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意离心率可得，再结合面积求解a，b的值，则椭圆方程可求；‎ 由知，，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形ABCD的面积用三角形OAB的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值．‎ 详解】解：由题意，，则，即．‎ 又，，．‎ 椭圆C的方程为；‎ 由知，，且直线AB的斜率不为0，‎ 设直线AB的方程为，，，‎ 联立，消去x得：．‎ 得，．‎ 四边形是平行四边形，根据对称性可知和关于点对称，‎ ‎．‎ 令，则，‎ ‎．‎ ‎，且函数在上单调递增，‎ 当，即时，平行四边形ABCD面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与函数的单调性求最值，是中档题．‎ ‎22.已知的两个顶点为，，平面内P，Q同时满足；；．‎ 求顶点A的轨迹E的方程；‎ 过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2) 直线MN过定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量等式可知P为三角形ABC的重心，设，则，再由，知Q是三角形ABC的外心，结合得 由列式求解顶点A的轨迹E的方程；‎ 设出直线的方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，同理求得N的坐标，求得MN的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线MN过定点 ‎【详解】解：，为三角形ABC的重心，设，则，‎ 由，知Q是三角形ABC的外心，在x轴上，‎ 又，‎ 由，得，整理得．‎ ‎，B，C三点不共线，‎ 顶点A的轨迹方程为；‎ 由知，为A的轨迹E的右焦点，‎ 设，，‎ 由，得．‎ 则，，‎ ‎．‎ 由中点坐标公式得，‎ 同理可求得 则当时，．‎ 直线MN的方程为．‎ 即．‎ 直线MN过定点 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线方程的求法，考查平面向量的应用，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎ ‎