数学卷·2017届广东省湛江一中等四校高三上学期第一次联考数学试卷（理科） （解析版） 29页

‎2016-2017学年广东省湛江一中等四校高三（上）第一次联考数学试卷 （理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={x|（x﹣3）（1﹣x）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（　　）‎ A．（3，+∞） B．[，3） C．（1，） D．（，3）‎ ‎2．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）‎ A．（，﹣） B．（1，﹣1） C．（1，﹣i） D．（2，﹣2i）‎ ‎3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（　　）‎ A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 ‎4．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数 C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数 ‎5．若函数f（x）=，则f（f（））=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．3‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是（　　）‎ A．6π B．7π C．12π D．14π ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=lnx，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（　　）‎ A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 ‎12．已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（　　）‎ A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知实数x、y满足，则z=2x+y的最小值是　　．‎ ‎14．已知向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，则||=　　．‎ ‎15．5的展开式中x的系数是　　．‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=﹣．‎ ‎（Ⅰ）若∠BAC=，求AC的长；‎ ‎（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．‎ ‎18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．‎ ‎（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为 ‎，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：AT2=BT•AD；‎ ‎（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．‎ ‎（Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎24．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省湛江一中等四校高三（上）第一次联考数学试卷 （理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={x|（x﹣3）（1﹣x）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（　　）‎ A．（3，+∞） B．[，3） C．（1，） D．（，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x﹣1）＜0，‎ 解得：1＜x＜3，即A=（1，3），‎ 由B中y=lg（2x﹣3），得到2x﹣3＞0，‎ 解得：x＞，即B=（，+∞），‎ 则A∩B=（，3），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）‎ A．（，﹣） B．（1，﹣1） C．（1，﹣i） D．（2，﹣2i）‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由（1+i）z=|+i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由（1+i）z=|+i|，‎ 得=，‎ 则在复平面内，z对应的点的坐标是：（1，﹣1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（　　）‎ A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中，‎ a1=5，a30=1，‎ ‎∴S30==90（尺）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的前n项和的求法问题，解题时应注意数列知识在生产生活中的合理运用，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数 C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数 ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】令题中选项分别为F（x），然后根据奇偶函数的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），‎ 即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，‎ B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|‎ ‎，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，‎ C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，‎ D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算．‎ ‎　‎ ‎5．若函数f（x）=，则f（f（））=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．3‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数的值．‎ ‎【分析】利用分段函数直接求解函数值即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，‎ 则f（f（））=f（ln）=f（﹣1）=e0﹣2=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，对数运算法则的应用，是基础题 ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=+++的值，利用裂项相消法，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的程序框图可知，‎ 该程序的功能是计算并输出S=+++的值，‎ 由于：S=+++=×（1﹣﹣+…+﹣）=（1﹣）=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知的程序框图分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是（　　）‎ A．6π B．7π C．12π D．14π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，‎ 且底面圆的半径为2，高为4，‎ ‎∴几何体的体积V=π×22×4﹣=14π，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，注意三视图中实线与虚线的在直观图中的位置，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，运用离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，‎ 垂足分别为B、C，‎ ‎∵e==2，‎ ‎∴===，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=lnx，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=lnx，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数 g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，‎ 故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确 又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=lnx，‎ 故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；‎ 当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；‎ 当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．‎ ‎　‎ ‎10．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．‎ ‎【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，‎ 则F（，0）．‎ ‎∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），‎ 即x=y+．‎ 联立，得4y2﹣12y﹣9=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1+y2=3，y1y2=﹣．‎ ‎∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（　　）‎ A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，‎ ‎∴f（）=（a﹣b）=，‎ 平方得a2+2ab+b2=0，‎ 即（a+b）2=0，‎ 则a+b=0，b=﹣a，‎ 则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，‎ 则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，‎ 且图象关于点（π，0）对称，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的性质的应用，根据函数的对称性求出b=﹣a是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（　　）‎ A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在 ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h（x）=exx﹣ex﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，‎ 依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，‎ ‎①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；‎ ‎②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．‎ 易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．‎ 假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），‎ 即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，‎ 消去a得，设h（x）=exx﹣ex﹣1，‎ 则h′（x）=exx，令h′（x）＞0，则x＞0，‎ 所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，‎ 当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，‎ 所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，‎ 而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知实数x、y满足，则z=2x+y的最小值是　﹣2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由线性约束条件画出可行域，根据角点法，求出目标函数的最小值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 由可得C（1，﹣1），此时z=1‎ 由可得B（1，5），此时z=7‎ 由可得A（﹣2，2），此时z=﹣2‎ ‎∴z=2x+y的最小值为﹣2‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．‎ ‎　‎ ‎14．已知向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，则||=　4　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】‎ 运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，解方程即可得到．‎ ‎【解答】解：向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，‎ 则（+）2=13，‎ 即有++2=13，‎ 即9+||2+2×3||•cos120°=13，‎ 即||2﹣3||﹣4=0，‎ 即有||=4（﹣1舍去），‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（x2+3x+2）5的展开式中x的系数是　240　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据（x2+3x+2）5 =（x+1）5 •（x+2）5，可得x的系数是••25+••24，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：（x2+3x+2）5 =（x+1）5 •（x+2）5，‎ 故x的系数是••25+••24=240，‎ 故答案为：240．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】先看n≥2根据题设条件可知an=2Sn﹣1，两式想减整理得an+1=3an，判断出此时数列{an}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，an=2Sn﹣1，‎ ‎∴an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，‎ 即an+1=3an，‎ ‎∴数列{an}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，‎ ‎∴an=2•3n﹣2，‎ 当n=1时，a1=1‎ ‎∴数列{an}的通项公式为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式．解题的最后一定要验证a1．是基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2016秋•广东月考）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=﹣．‎ ‎（Ⅰ）若∠BAC=，求AC的长；‎ ‎（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若∠BAC=，利用同角三角函数的基本关系求得sin∠ABC 的值，△ABC中，再利用正弦定理求得AC的长．‎ ‎（Ⅱ）若BD=9，由条件求得sin∠BCD 的值．在△BCD中，根据cos∠BCD=利用余弦定理求得CD的值，从而求得 S△BCD=•6•9•sin∠BCD 的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为cos∠ABC=﹣，∴∠ABC为钝角，sin∠ABC==，‎ 在△ABC中，，即=，解得AC=8．‎ ‎（Ⅱ）因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=π，‎ 故cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，‎ sin∠BCD=sin∠ABC=．‎ 在△BCD中，cos∠BCD==，‎ 整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，‎ 所以，S△BCD=•6•9•sin∠BCD==18．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•湖南模拟）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．‎ ‎（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；奇函数．‎ ‎【分析】（1）由任意两个奇函数的和为奇函数，而原来的六个函数中奇函数有三个，故可用古典概型求解；‎ ‎（2）ξ可取1，2，3，4，ξ=k的含义为前k﹣1次取出的均为奇函数，第k次取出的是偶函数，分别求概率，列出分布列，再求期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知．‎ ‎（2）ξ可取1，2，3，4，；‎ 故ξ的分布列为 ‎．‎ 答：ξ的数学期望为．‎ ‎【点评】本题考查函数奇偶性的判断、排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列、期望等知识，及利用所学知识解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；‎ ‎（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，‎ ‎∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，‎ DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，‎ ‎∴DE⊥平面PCD ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，‎ 过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，‎ 由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，‎ 以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），‎ ‎∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），‎ 设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，‎ 故可取=（2，1，1），‎ 由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），‎ ‎∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==‎ ‎∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2007•陕西）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（1）当AB⊥x轴时，．‎ ‎（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由已知，得．‎ 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，‎ ‎∴，．‎ ‎∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，‎ 综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 ‎．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•汕头二模）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，‎ 令f′（x）=0，解得x=，‎ 当0＜x＜时，f′（x）＜0；‎ 当x≥时，f′（x）＞0‎ 又∵f（）=2﹣ln2‎ ‎∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=‎ 当a＜﹣2时，﹣＜，‎ 令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，‎ 令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；‎ 当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，‎ 令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，‎ 令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；‎ 当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，‎ 综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；‎ 当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；‎ 当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，‎ 当x=1时，f（x）取最大值；‎ 当x=3时，f（x）取最小值；‎ ‎|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，‎ ‎∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，‎ ‎∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3‎ 整理得ma＞﹣4a，‎ ‎∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，‎ ‎∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，‎ ‎∴m≤﹣‎ ‎【点评】考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．‎ ‎　‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．（10分）（2016•安徽模拟）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：AT2=BT•AD；‎ ‎（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；‎ ‎（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径，即可求∠A．‎ ‎【解答】（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，‎ 所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．‎ 又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）‎ ‎（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．‎ 由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．‎ 因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．‎ 所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．‎ 所以∠ABT=∠DBT=90°．‎ 所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．（2016•厦门二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．‎ ‎（Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，利用三角形的面积公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2分）‎ 直线l的直角坐标方程为y=x，‎ 联立方程组，解得或，（4分）‎ 所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|= （6分）‎ 因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），（7分）‎ 则P到直线y=x的距离d=，（8分）‎ 所以S△PMN==≤1，（9分）‎ 当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．（10分）‎ ‎【点评】本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化，考查化归与转化思想，数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎24．（2016•龙岩一模）设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（I）利用绝对值的意义，去掉绝对值号，化为分段函数，利用分段函数的性质，求解函数的最值；‎ ‎（II）由，即，转为，分类讨论m，即可求解实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣4时，，‎ ‎∴函数f（x）在（﹣∞，3]上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，所以f（x）max=f（3）=2．‎ ‎（Ⅱ），即，‎ 令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则存在x0∈R，使得g（x0）≥成立，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴当m＞0时，原不等式为（m﹣1）2≤0，解得m=1，‎ 当m＜0时，原不等式为（m﹣1）2≥0，解得m＜0，‎ 综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．‎ ‎【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎