新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：6-5-1 直线与平面垂直 课件（96张） 96页

§5　垂 直 关 系 　　　5.1　直线与平面垂直 必备知识·自主学习 1.直线与平面垂直 (1)文字叙述:如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平 面α垂直,记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们 唯一的公共点P称为垂足. (2)符号表示:任意a⊂α,都有l⊥a⇒l⊥α. 导 思 1.直线与平面垂直的定义是什么? 2.线面垂直能得到线线垂直吗? 3.怎样理解直线与平面所成的角? (3)图形表示: 【思考】 过一点有几条直线和平面垂直呢? 提示:有且只有一条. 2.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述:垂直于同一个平面的两条直线_____. (2)符号表示:a⊥α,b⊥α⇒a∥b. (3)图形表示: 平行 【思考】 两条异面直线能垂直于同一个平面吗? 提示:不能,由线面垂直的性质定理可得. 3.直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上_________到平面的距离就是这条直 线到这个平面的距离. 任意一点 4.直线与平面所成的角 (1)定义:一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个 平面的斜线,斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作 垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线 与它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角. 如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角. (2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°. 【思考】 直线与平面所成的角范围是多少? 提示:直线与平面所成的角θ的范围:0°≤θ≤90°. 5.直线与平面垂直的判定定理 (1)文字叙述:如果一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与 此平面垂直. (2)图形表示: (3)符号表示: a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A⇒l⊥α. 两条相交直线 【思考】　 过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直? 提示:有且仅有一条. 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面平行. (　　) (2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线. (　　) (3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线. (　　) (4)到已知平面距离相等的两条直线平行. (　　) (5)斜线与平面所成的角为锐角. (　　) 提示:(1)√. (2)√.因为梯形的两条腰所在的直线相交. (3)×.梯形的上下底边平行,所以直线和平面不一定垂直. (4)×.这两条直线可能平行、相交或异面. (5)√. 2.直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l,m的位置关系是 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 【解析】选D.由题意可知l⊥α,所以l⊥m. 3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成 的角等于________.  【解析】如图所示,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1 在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知, ∠B1AB=45°,故所求角为45°. 答案:45° 关键能力·合作学习 类型一　直线与平面垂直的正确理解(直观想象、数学抽象) 【题组训练】 1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 (　　) A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m 2.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面 的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 3.下列命题中,正确的序号是________.  ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α; ②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α; ③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线; ④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直; ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 【解析】1.选B.根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线 也垂直于这个平面,知选项B正确. 2.选B.由直线与平面垂直的性质定理可知,这条垂线与圆柱的母线所在直线平 行. 3.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确; 当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以②不正确;当l与α 不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点 有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确. 答案:④⑤ 【解题策略】 直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直 若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直.即线 线垂直⇒线面垂直. (2)证明线线垂直 若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 ⇒线线垂直. 　【补偿训练】 一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系 是 (　　) A.平行 　B.垂直　 C.相交不垂直　D.不确定 【解析】选B.一条直线和三角形的两边同时垂直,则直线垂直三角形所在平面, 从而垂直第三边. 类型二　直线与平面垂直的性质定理和判定定理的应用(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图所示,直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中 点.求证:直线SD⊥平面ABC. 四步 内容 理解 题意 条件:直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜 边AC的中点. 结论:直线SD⊥平面ABC. 思路 探求 证明直线和平面垂直,必须在平面内找到两条相交直线和 此直线垂直. 四步 内容 书写 表达 【证明】因为SA=SC,点D为斜边AC的中点, 所以SD⊥AC. 如图,连接BD,在Rt△ABC中,则AD=DC=BD, 所以△ADS≌△BDS,所以∠ADS=∠BDS, 所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC. 注意书写的规范性:立体几何中的证明问题,需要特别注 意符号语言的规范性,证明线面垂直,条件一定要写全,不 能有遗漏,特别是相交这个条件. 题后 反思 证明线面垂直的关键是找到线线垂直,还要注意“相交”. 【解题策略】 线线垂直和线面垂直的相互转化 【跟踪训练】 如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中 点,求证:DF∥平面ABC. 【证明】取AB的中点G,连接FG,CG,可得FG∥AE,FG= AE.因为CD⊥平面 ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.又因为CD= AE.所以FG∥CD,FG=CD. 所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.又因为CG⊂平面ABC,DF⊄ 平面ABC, 所以DF∥平面ABC. 1 2 1 2 　【补偿训练】 　 　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2, BC=2 ,E,F分别是AD,PC的中点. 证明:PC⊥平面BEF. 2 【证明】如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE, 所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EF⊥PC. 又BP= =2 =BC,F是PC的中点,所以BF⊥PC. 又BF∩EF=F,BF,EF⊂平面BEF,所以PC⊥平面BEF. 2 2AP AB 2 类型三　线面垂直中的计算问题(直观想象、数学运算) 　角度1　求距离  【典例】已知△ABC,AC=BC=1,AB= ,S是△ABC所在平面外一点,SA=SB=2, SC= ,点P是SC的中点,求点P到平面ABC的距离. 【思路导引】求点到平面的距离,需要过此点找到平面的垂线,垂线段的长度即 为所求. 2 5 【解析】如图所示,连接PA,PB.易知△SAC,△ACB是直角三角形,所以 SA⊥AC,BC⊥AC. 取AB,AC的中点E,F,连接PF,EF,PE, 则EF∥BC,PF∥SA.所以EF⊥AC,PF⊥AC. 因为PF∩EF=F,所以AC⊥平面PEF. 又PE⊂平面PEF,所以PE⊥AC. 易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点,所以PA=PB.而E是AB的中点,所以PE⊥AB. 因为AB∩AC=A,所以PE⊥平面ABC. 从而PE的长就是点P到平面ABC的距离. 在Rt△AEP中,AP= SC= ,AE= AB= , 所以PE= , 即点P到平面ABC的距离为 . 1 2 1 2 5 2 2 2 2 2 5 2 3AP AE 4 1 2     3 2 【变式探究】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,BB1=2. (1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值; (2)求直线B1C1与平面A1BC的距离. 【解析】(1)因为B1C1∥BC,所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成角. 因为BC⊥AB,BC⊥BB1,AB∩BB1=B, 所以BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥A1B. 在Rt△A1BC中,tan∠A1CB= , 所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为 . (2)因为B1C1∥平面A1BC,所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离, 设B1到平面A1BC的距离为d,因为 , 所以 ,可得d= , 直线B1C1与平面A1BC的距离为 . 1A B 5 5BC 1＝ ＝ 1 1 1A BC A BB 1 1S d S BC3 3   ＝ 1 1 1 1B A BC C A BBV V ＝ 2 5 5 2 5 5 　角度2　求直线与平面所成的角  【典例】如图所示,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为 4,∠MBC=60°,求MC与平面CAB所成角的正弦值. 【思路导引】求直线和平面所成的角,需要先找到这个角,并将其放到三角形 中进行求解. 【解析】由题意知,AB是MB在平面ABC内的射影,所以MA⊥平面ABC, 所以MC在平面CAB内的射影为AC. 所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 又因为在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°, 所以MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5× .3 5 3 2 2＝ 在Rt△MAB中,MA= . 在Rt△MAC中,sin∠MCA= . 即MC与平面CAB所成角的正弦值为 . 2 2 2 2MB AB 5 4 3－ ＝ － ＝ MA 3 2 3 MC 55 3 2 ＝ ＝ 2 3 5 【解题策略】 求直线与平面所成角的一般步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直 角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 【题组训练】 1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的 角是 (　　) A.60°　B.45°　C.30°　D.120° 【解析】选A.∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角, 在Rt△AOB中,AB=2BO, 所以cos∠ABO= ,即∠ABO=60°.1 2 2.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=______.  【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE. 又因为AF=DE,所以四边形ADEF是平行四边形.所以EF=AD=6. 答案:6 3.三棱锥S -ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值. 【解析】如图,过S作SO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,则 SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO. 因为SA=SB=SC=a, 所以△SOA≌△SOB≌△SOC,所以AO=BO=CO, 所以O为△ABC的外心.因为△ABC为正三角形, 所以O为△ABC的中心.因为SO⊥平面ABC, 所以∠SAO即为SA与平面ABC所成的角. 在Rt△SAO中,SA=a,AO= × a= a, 所以cos∠SAO= = , 所以SA与底面ABC所成角的余弦值为 . 2 3 3 2 3 3 3 3 AO SA 3 3 　【补偿训练】 　 　线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的 距离为________.  【解析】如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1, 则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯 形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,所以MM1=4. 答案:4 备选类型　直线与平面垂直的综合应用(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平 面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB. 【思路导引】线面垂直作为已知条件,而要证明线线垂直,所以用线面垂直的 性质即可. 【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC. 因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC. 因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB. 因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AGFE,所以SC⊥AE. 又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC. 而SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB. 【解题策略】 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此 分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面. (2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线, 这一点在解题时一定要体现出来. 【跟踪训练】 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G”改为“过A作 AF⊥SC于点F,过点F作EF⊥SC交SB于点E”,结论不变,如何证明? 【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC. 因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC. 因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB. 因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE. 又因为AF⊥SC于点F,EF⊥SC交SB于点E, 所以SC⊥平面AEF,所以SC⊥AE. 又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC. 而SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB. 课堂检测·素养达标 1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 (　　)　　　　　　　　　　　 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 【解析】选A.因为直线l⊥平面α,所以l与α相交, 又因为m⊂α,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l 与m不可能平行. 2.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的 距离为 (　　) A.a B. a C. a D. a 【解析】选C.点P到平面ABC的距离即以△ABC为底的三棱锥的高h,以△PAB为 底,三棱锥的体积为V= × ,同样以△ABC为底得到三棱锥体积为 V= × ( a)2×h,三棱锥体积不变,则 × ( a)2×h= × , 解得h= . 2 2 3 3 3 1 3 3a 2 1 3 3 4 2 1 3 3 4 2 1 3 3a 2 3a 3 3.(教材二次开发:练习改编)直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与 平面α的关系是(　　) A.l和平面α平行 B.l和平面α垂直 C.l在平面α内 D.不能确定 【解析】选D.如图所示,直线l和平面α平行,或直线l和平面α垂直或直线l在 平面α内都有可能. 4.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于________. 【解析】因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角, 又直线l与平面α所成的角为70°, 所以m与α所成的角为70°. 答案:70° 5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面 ABC的垂线DE,其中D∉ PC,证明:DE∥平面PAC. 【证明】因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC, 所以DE∥PA.又DE⊄ 平面PAC,PA⊂平面PAC, 所以DE∥平面PAC. 四十六　直线与平面垂直 【基础通关-水平一】 (15分钟　30分) 1.下列说法正确的是 (　　) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 课时素养评价 【解析】选C.垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面,故 A,B错误;由线面垂直的性质定理知C正确;D中这条直线可能在平面内,故D错误. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则有(　　) A.B1B⊥l B.B1B∥l　 C.B1B与l异面 D.B1B与l相交 【解析】选B.因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B1B. 3.如图,▱ ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE= (　　) A.2 B.3 C. D. 5 13 【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形, 所以AF∥DE且AF=DE. 因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD. 所以DE⊥DC. 因为AF=2,所以DE=2. 又CD=3,所以CE= .2 2CD DE 9 4 13＋ ＝ ＝ 4.一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,这条线段与平面α所成的角大小是________.  【解析】如图,作出AC⊥α,BD⊥α,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于 CD,且CD与AB相交于O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,所以∠AOC=∠BOD=30°. 答案:30° 5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面 ABCD所成角的正切值为________.  【解析】取BC的中点F,连接EF,DF. 则EF∥C1C,且EF= C1C=1. 又因为C1C⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD. 所以∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角. 又因为DF= , 所以tan∠EDF= . 答案: 1 2 2 2DC CF 5＋ ＝ EF 1 5 DF 55 ＝ ＝ 5 5 6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求点B1到平面ABC的距离. 【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO. 由于BC1∩AO=O,故B1C⊥平面ABO. 又因为AB⊂平面ABO,所以B1C⊥AB. (2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H. 由于BC⊥AO,BC⊥OD,且AO∩OD=O, 故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,且AD∩BC=D,所以OH⊥平面ABC. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD= . 因为AC⊥AB1,所以OA= B1C= . 由OH·AD=OD·OA,且AD== , 得OH= . 又O为B1C的中点, 所以点B1到平面ABC的距离为2OH= . 3 41 2 1 2 2 2 7OD OA 4＋ ＝ 21 14 21 7 【能力进阶-水平二】　 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是(　　) A.平面DD1C1C B.平面A1DB C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1 【解析】选D.因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1, 所以AD1⊥平面A1DB1. 2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC 的关系是(　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 【解析】选C.因为BA⊥α,α∩β=l,l⊂α,所以BA⊥l. 同理BC⊥l. 又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC. 因为AC⊂平面ABC,所以l⊥AC. 3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面 垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地 球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点 A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A 处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处水平面所成的角为(　　) A.20°　　　 B.40°　　 C.50°　　 D.90° 【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的定义以及数学文化, 考查学生的空间想象能力,体现了直观想象和数学运算等核心素养. 【解析】选B. 晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道 所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50°,又OA垂直点A处的水平面,则 晷针与点A处的水平面所成的角为40°. 　【补偿训练】 1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(　　) A.1　　　B.　　　C.2　　　D.22 2 3 【解析】选B.如图,连接AC,DB交于点O, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B, 所以AC⊥平面BDD1B1. 所以点C到平面BDD1B1的距离为CO, CO= AC= .1 2 2 2.在△ABC中∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的 一动点,则PM的最小值为(　　) A.2 B.7 C. D.7 19 5 【解析】选A.如图所示, 因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM, 则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2, 所以当CM⊥AB时,CM最小, 此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4 , 故CM的最小值为2 , 又PC=4,则PM的最小值为 =2 . 3 3  224 2 3 2 7＋ ＝ 4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使 PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(　　) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α, 所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ. 又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH. 【误区警示】做此题进行加条件时,四个选项需要逐一分析,要认真领会线面 垂直的性质和判定定理的内容. 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.下列命题正确的是(　　) 【解析】选AB.由性质定理可得A,B正确. 6.如图,四棱锥S-ABCD底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有(　 　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面ABCD所成的角是∠SAD D.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角 【解析】选ABCD.因为SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以SD⊥AC. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC, 又SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,而SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,故①正确. 因为AB∥CD,AB⊄ 平面SDC,CD⊂平面SDC, 所以AB∥平面SCD,故②正确. 因为SD⊥平面ABCD,所以SA在底面上的射影为AD, 所以SA与底面ABCD所成的角为∠SAD,③正确. 因为AB∥CD,故④也正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1 与平面DCC1D1所成的角等于________.  【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即 所成的角为0°. 答案:45°　0° 【补偿训练】 　 　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).  【解析】当BD⊥AC时,BD⊥AA1,AC∩AA1=A, 所以BD⊥平面AA1C,从而BD⊥A1C, 又B1D1∥BD,所以A1C⊥B1D1. 答案:BD⊥AC 8.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面. ①若m∥α,m⊥n,则n⊥α; ②若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ③若m⊂α,n⊂β,且α∥β,则m∥n; ④若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是 ________.(填序号)  【解析】①若m∥α,m⊥n,则n与α位置关系不确定,故为假命题. ②若n∥α,则α内存在直线l与n平行.因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n.故为真 命题. ③若m⊂α,n⊂β,且α∥β,则m,n可能异面.故为假命题. ④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面,则m,n平行”,为真命题,所 以原命题为真命题,所以②④为真命题. 答案:②④ 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的 中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,求线段B1F的长. 【解析】设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1= . 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE= h. 又2× =h ,所以h= , DE= . 在Rt△DB1E中,B1E=. 在Rt△DB1F中,由面积相等得 × ,解得x= ,即线段B1F的长 为 . 2 1 2 2  222 2＋ 2 3 3 3 3 2 2 2 3 6 2 3 6             － 6 6 2 2 2 2x x2 2       ＋ ＝ 1 21 2 10.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC 的交线为l. 证明:l⊥平面PDC. 【证明】在正方形ABCD中,AD∥BC, 因为AD⊄ 平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以AD∥平面PBC, 又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以AD∥l, 因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以AD⊥DC,所以l⊥DC, 且PD⊥平面ABCD,所以AD⊥PD,所以l⊥PD, 因为CD∩PD=D所以l⊥平面PDC. 【创新迁移】　　　　　　　　 　如图,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面 上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β. 求证:平面β必与平面α相交. 【证明】假设平面α与平面β平行. 因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β. 因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,与已知PA∩PB=P矛盾, 所以平面β必与平面α相交. 【补偿训练】 　 　如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线 段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB= a. (1)证明:EB⊥FD; (2)求点B到平面FED的距离. 5 【解析】(1)因为FC⊥平面BED,BE⊂平面BED, 所以EB⊥FC.又点E为弧AC的中点,B为直径AC的中点,所以EB⊥BC. 又因为FC∩BC=C,所以EB⊥平面FBD. 因为FD⊂平面FBD,所以EB⊥FD. (2)如图,在平面BEC内过C作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED知,ED⊥平面FCH. 因为Rt△DHC∽Rt△DBE,所以= . 在Rt△DBE中, DE= , 所以CH= . 因为FB= a,BC=a,所以FC=2a. 在平面FCH内过C作CK⊥FH, 则CK⊥平面FED, DC CH DE BE＝  22 2 2BE BD BE 2BC 5a＋ ＝ ＋ ＝ DC BE a a 5 aDE 55a  ＝ ＝ 5 因为FH2=FC2+CH2=4a2+= , 所以FH= a. 所以CK= . 因为C是BD的中点, 所以B到平面FED的距离为2CK= . 2 2 2a 214a a5 5＋ ＝ 105 5 52a aFC CH 2 215 aFH 21105 a5  ＝ ＝ 4 21 a21