2020届二轮复习数形结合课时作业（全国通用） 28页

‎ 第五十二讲 数形结合 A组 一、选择题 ‎1. 函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足( )‎ A.a<0 B.0≤a<‎1 ‎ C.a=1 D.a>1‎ 答案：C 解析 ：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.‎ ‎2.已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ ‎ A. B. C. D. 答案：B　‎ 解析：由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以a<＝，选B.‎ ‎3.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A.7 B‎.6 C.5 D.4‎ 答案：B 解析.根据题意，画出示意图，如图所示，‎ 则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝‎2m.‎ 因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.‎ 要求m的最大值，‎ 即求圆C上的点P到原点O的最大距离.‎ 因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，‎ 即m的最大值为6.‎ ‎4.设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)·(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)‎ A.π B.π C.π D. 答案：D 解析：因为对于集合A，(y－x)≥0，‎ 所以或其表示的平面区域如图.‎ 对于集合B，(x－1)2＋(y－1)2≤1表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π.‎ 由题意意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝与直线y＝x将圆(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分.因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与y＝的图象都关于直线y＝x对称，从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，所以S阴影＝S2＋S4＝.‎ 二、填空题 ‎5.已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，‎ f(x))对称.若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________.‎ 答案：(2，＋∞)‎ 解析　由已知得 ＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立.‎ 在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞).‎ ‎6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．‎ ‎【解析】　∵|AF1|＝a－c，|F‎1F2|＝‎2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F‎1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即‎4c2＝(a－c)·(a＋c)，得a2＝‎5c2，∴e＝＝.‎ ‎【答案】　 三、解答题 ‎7.已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ ‎(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，‎ 则g′(x)＝－2x＝.‎ ‎∵x∈，∴当g′(x)＝0时，x＝1.‎ 当0；‎ 当1b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(0，－1) B. C. D．(－1，1)‎ ‎【答案】　D　由＝，得＝.‎ 又由正弦定理得＝，所以＝，‎ 即|PF1|＝|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝‎2a，所以|PF2|＝.因为|PF2|是△PF ‎1F‎2的一边，所以有a－c<0，所以e2＋2e－1>0(0b>0)的离心率是,抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎ (1)求椭圆C的方程；‎ ‎ (2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎ ①求证：点M在定直线上；‎ ‎ ②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ 解（1）　由题意知＝,可得a2＝4b2,因为抛物线E的焦点F,所以b＝,a＝1,所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)①证明　设P(m>0),由x2＝2y,可得y′＝x,所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为y－＝m(x－m).即y＝mx－.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程得(‎4m2‎＋1)x2－‎4m3‎x＋m4－1＝0.‎ 由Δ>0,得00，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则 因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.‎ 又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，‎ 分别代入①和②，得 解得k＝±.‎ 所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.‎ ‎8.一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ 图1　　　　　　　　　　图2‎ 解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，‎ M(x，y)，依题意，‎ ＝2，且||＝||＝1，‎ 所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且 即且t(t－2x0)＝0.‎ 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，‎ 于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1.‎ 即所求的曲线C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m.‎ 由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－16＝0.‎ 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k‎2m2‎－4(1＋4k2)(‎4m2‎－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①‎ 又由 可得P；‎ 同理可得Q.‎ 由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得 S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|＝.②‎ 将①代入②得，S△OPQ＝＝8.‎ 当k2>时，S△OPQ＝8 ‎＝8>8；‎ 当0≤k2<时，S△OPQ＝8 ‎＝8.‎ 因为0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8.‎ 当且仅当k＝0时取等号．‎ 所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.‎ 综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.‎ ‎9.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B‎1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB＝t(0