高一数学同步辅导教材(第3讲) 7页

-1-2 0 1 2 31 2 高一数学同步辅导教材（第 3 讲） 一、本讲教学进度 1.4-1.5（P16-23） 二、教学内容 1． cbax  和 cbax  型的不等式 2．一元二次不等式 02  cbxax 和 02  cbxax （ 0a ）的解法 三、重点难点剖析 1． 和 型的不等式 （1）解含绝对值的不等式的基本方法体现了“化归”的数学思想，即将含绝对值的不 等式化归为不含绝对值的“普通不等式”，在化归时要注意绝对值的含意. （2）对含绝对值的不等式，一般地有如不结论： ①当 0c ， ;cbaxc  cbax  cbax  或 .cbax  ②当 0c ， cbax  的解集为 ； cbax  cbax  . ③当 0a ， cbax  的解集为 ； cbax  的解集为 R. 例 1 求满足 4213  xx 的 x 值. 解：由绝对值的定义得， 4213  xx ，或  4213  xx ， ∴ 5x ，或 5 3x . 例 2 求不等式1≤2x-1≤5 的解集. 112 x , ① 解：原不等式可以化为不等式组 112 x . ② 由①，2x-1≥1 或 2x-1≤-1, ∴x≥1 或 x≤0. 由②，-5<2x-1<5, ∴-22x-1. 解 (1) ∵|4x-3|≤x+1, ∴-(x+1) ≤4x-3≤x+1, 即 –x-1≤4x-3, ① 4x-3≤x+1. ② 由①得 5 2x ， 由②得 3 4x . -1-2 10 1 2 2 3 x -2 -1 0 1 2 3 x ∴原不等式的解集为 {x| 3 4 5 2  x }. (2) ∵|3x+5|>2x-1, ∴3x+5>2x-1, ① 或 3x+5<-(2x-1) ② 由①得 x>-6, 由②得 x< 5 4 . ∴原不等式的解集为{x|x∈R}. 例 4 求关于 x 的不等式|2x+1|≤t+1 (t∈R)的解集. 解 当 t+1<0,即 t<-1 时，不等式的解集为φ . 当 t+1=0,即 t=-1 时，2x+1=0,x= 2 1 ,不等式的解集为{ 2 1 }. 当 t+1>0,即 t>-1 时，-(t+1) ≤2x+1≤t+1,-t-2≤2x≤t, txt 2 112 1  ,不等式的解集为 {x| txt 2 112 1  }. 评析 所谓“关于 x 的不等式”是指除 x 以外的其他字母均表示常数.由于 t+1 的符号不确定， 因此这里需对 t 的不同情况分别求解. （3）对于含有几个绝对值的方程或不等式，可以用零点分段的方法除去绝对值符号： 例 5（1）解方程：|x-3|+|x+2|=6； （2）解不等式：|x-1|+|x+2|<5. 解（1）零点为 3，-2，分三段讨论. 当 x<-2,方程为 3-x-(x+2)=6,x= 2 5 ； 当-2≤x≤3,方程为 3-x+x+2=6,5=6,无解； 当 x>3,方程为 x-3+x+2=6,x= 2 7 . ∴ 方程的解集为{ 2 5 , 2 7 }. (2)零点为 1，-2，分三段讨论. 当 x<-2,不等式为(1-x)-(x+2)<5,x>-3, ∴-31,不等式为(x-1)+(x+2)<5,x<2, ∴10(<0)，实际上就是要求抛物线 y=ax2+bx+c 在 X 轴上方（下方）的点的横坐 标的范围. 借助于图象，把一元二次不等式的解的情况列表如下（设 a>0）： Δ 的情况 图象 不等式 不等式的解 Δ >0 ax2+bx+c>0 xx2 ax2+bx+c<0 x10 x≠x1 ax2+bx+c<0 x∈Ф Δ <0 ax2+bx+c>0 x∈R ax2+bx+c<0 x∈Ф 对于含有等号的不等式或 a<0 的情况，类似地可以由图像得出不等式的解，但习惯上解一元二次不等式 时，常使二次项系数 a<0. 例 6 解下列不等式： （1）2-3x-2x2>0; （2）4+3x-x2≤0; （3）1+x-x2>0; （4）1-2(x-1)2≤0. 解：（1）整理得 2x2+3x-2<0. ∵Δ >0,方程 2x2+3x-2=0 的解是 x1=-2,x2= 2 1 ， ∴原不等式的解集是{x|-20,方程 x2-3x-4=0 的解是 0 x y xx1 2 0 y xx1 x2= x y 0 x1=-1,x2=4. ∴原不等式的解集是{x|x≤-1,或 x≥4}. (3)整理，得 x2-x-1=0 的解是 x1= 2 51 ,x2= 2 51 ∴原不等式的解集是{x| 0; （2）2x2+4x+3≤0; （3）x2+6x+9≤0. 解（1）∵Δ <0，方程 x2-x+1=0 无实数根， ∴原不等式的解集是 R. （2）∵Δ <0，方程 2x2+4x+3=0 无实数根， ∴原不等式的解集是Ф . （3）∵Δ =0，方程 x2+6x+9=0 的解是 x=-3, ∴原不等式的解集是{-3}. 评析 本题也可以分别用配方的方法求解：由 Rxx  ,04 3)2 1( 2 .由 2(x+1)2+1≤0,x∈Ф .由 (x+3)2≤0,x=-3. 例 8 已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集是{x|-20. 0 ,方程 016 2  xx 的两根为 2 1,3 1 ' 2 ' 1  xx . ∴所求不等式的解集是{x|x<- 2 1,3 1 x或 }. 例 9 已知关于 x 的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根，求实数 k 的取值范围. 解 由题设，得 k-1≠0, ① (k+1) 2-4(k-1)(k+1)>0. ② 由①，得 k≠1. 由②，k2+2k+1-4k2+4>0,3k2-2k-5<0. ∵Δ >0，方程 3k2-2k-5=0 的两根为 ∴x1=-1,x2= 3 5 , ∴不等式②的解为-13} D.{x|x≤1,或 x≥3} 2.不等式 1-|1-2x|>0 的解集是（ ） A.{x|01} D.{x|x≤-2,或 x≥1} 4.与不等式|1-x|≤3 同解的不等式是（ ） A.1-x≤±3 B.1-x≤3 C.-3≤1-x≤3 D.x-1≥3,或 x-1≤-3 5.关于 x 的不等式 x2-(m+2)x+2m+1>0 的解集是 R，则实数 m 的取值范围是（ ） A.m<0,或 m>4 B.00 的解集为Ф ，则实数 k 的取值范围为________. 10.当 a<0 时，关于 x 的不等式|ax-b|≥1 的解集为____________. 三、解答题 11．解不等式：1≤|2x+5|<7. 12．求不等式-3≤x2+2x-3<5 的解集。 13．设全集 u={x2-4x-12≤0},u 的子集 A={x||x|<2},B={x|x2-3x-4≤0},求 B, (A∩B). 14．设集合 M={x|x2+x-6≤0},N={x|x2-ax≥x-a},全集 U=R，且 M N,求实数 a 的取值范围。 答案与提示 [答案] 一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 二、7.{x|-30,得 2 51 2 51  m ，且 m≠0. 二、9.由题意, k<0, ① Δ =(k-1)2-4k(k+1)≤0. ② 3k2+6k-1≥0,方程 3k2+6k-1=0 的两根为 k1= 3 323,3 323 2  k ,∴不等式②的 解为 k 3 323 ,或 3 323k 。由①，k<0, ∴k 3 323 10. ∵a<0, ∴-a>0,∵|-ax+b|≥1, ∴-ax+b≥1,或-ax+b≤-1,得-ax≥1-b,或-ax≤-b-1. ∴x a bxa b 1,1  或 三、12.已知不等式即 -3≤x2+2x-3, ① x2+2x-3<5, ② x2+2x≥0,x≤-2,或 x≥0.由②，x2+2x-8<0.-42}.由 N，x2-(a+1)+a≥0,方程 x2-(a+1)x+a=0 的两根为 x1=a,x2=1.(1)若a>1,N={x|x≤1,或x≥a},由 M N,得1