数学B卷·2018届福建省莆田第六中学高二下学期第一次月考（2017-03） 6页

莆田六中2016—2017学年高二下第一次月考 文科数学试卷 附：1．， 2．， 独立性检验临界值表：‎ 一．选择题：（共12小题,每小题5分，共60分）．‎ ‎1．若复数是纯虚数，则实数的值为(　 　) A． B． C．或 D．或 ‎2．复数的模等于(　 　) A． B． C． D． ‎ ‎3．若是虚数单位，则复数 (　 　) A． B． C． D． ‎ ‎4．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用列联表进行 独立性检验，经计算，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为(　 　)以上 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一位母亲记录了她儿子岁到岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型，‎ 她用这个模型预测儿子岁时的身高，则下面的叙述正确的是 (　 　)‎ A．她儿子岁时的身高一定是cm B．她儿子岁时的身高一定是cm以上 C．她儿子岁时的身高在cm左右 D．她儿子岁时的身高一定是cm以下 ‎6．下列推理是归纳推理的是 (　 　)．‎ A．为定点，动点满足，得的轨迹为椭圆；‎ B．由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式；‎ C．由圆的面积，猜出椭圆的面积；‎ D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．‎ ‎7．已知扇形的弧长为，半径为，类比三角形的面积公式＝，可推知扇形面积公式 (　　)．‎ A． B． C． D．不可类比 ‎8．如图，是四个可以自由转动的转盘,转盘被平均分成若干个扇形，‎ 转动转盘，转盘停止后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率 相同，则这两个转盘是 (　 　)． A．转盘和转盘 ‎ B．转盘和转盘 C．转盘和转盘 D．转盘和转盘 ‎9．在面积为的的边上任取一点，则的面积 大于的概率是(　 　)． A． B． C． D． ‎10．设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边、、的距离分别为、、，则有为，由以上平面图形的性质类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内任意一点，且到四个面， ，，的距离分别为、、、，则有为 (　 　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若，，且恒成立，则的最大值为(　 　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知且，则不能等于 (　 　)．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ 理科 文科 男 女 ‎13．比较大小： ；（填不等号）‎ ‎14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的 关系，现随机抽取名学生，得到如右数据：‎ 根据表中数据，得到，‎ 参照独立性检验临界值表，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性不超过____ ___； ‎ ‎15．半径为的圆的面积，周长，则①，对于半径为的球，‎ 其体积，表面积，请你写出类似于①的式子：_ ___ _ __； ‎ ‎16．设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上 结论有：设等比数列的前项积为，则，_ _，___ ___，成等比数列．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分) 在数列中，，且，，①求，，并猜想数列的通项公式，②试证明你的猜想．‎ ‎18．(本小题满分10分) 如图，四棱锥的底面是平行四边形，‎ ‎，分别为，的中点，求证：∥平面．‎ ‎19．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④‎ ‎⑤ (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎（参考公式：，‎ ‎，）‎ ‎20．(本小题满分12分) 同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：‎ 出现点 出现其他点 合计 甲骰子 乙骰子 合计 ‎ (1)填空：两颗骰子都出现点的概率为 ；‎ ‎(2)若同时抛掷两颗骰子次，其中甲骰子 出现次点，乙骰子出现次点，‎ ‎①根据以上数据，完成右边的的列联表；‎ ‎②提出假设：两颗骰子出现点无关，请根据 所学的统计知识，说明两颗骰子出现两点是否相关？若无关，请说理，若相关，请回答我们有多大的 把握认为两颗骰子出现两点相关？‎ ‎21．(本小题满分12分)为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行 试销，得到如下数据：‎ 单价 (元)‎ ‎ ‎ 销量 (件)‎ 根据最小二乘法建立的回归直线方程为， (1)试求表格中的值；‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是元/件，‎ 为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ ‎22．(本小题满分12分) 已知函数 ()． (1)证明：函数 在上为增函数； (2)用反证法证明方程没有负数根．‎ ‎13. ； 14. ； 15. ； 16. 、 ； ‎ 三、解答题：‎ ‎17. （本题满分12分） ‎ 解：①∵ ，，∴ ；，同理 得：，观察可得，数列的前项都等于相应序号的倒数，由此猜想：，，------6分 ‎②证明如下：∵，∴，∴，，‎ ‎∴是以为首项，公差的等差数列，‎ ‎∴，∴，．------12分 ‎18. （本题满分10分） ‎ ‎【证明】：∵四棱锥的底面是平行 四边形，∴，------2分，‎ 又∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴；------5分 ‎∴四边形为平行四边形．∴，------7分 又平面，平面，∴∥平面．------10分 ‎19. （本题满分12分） ‎ 解：(1)选择②式，计算如下：‎ ‎；------4分，‎ ‎(2)三角恒等式为，---6分 证明如下：‎ ‎---7分，‎ ‎ ---8分，‎ ‎---10分，----12分，‎ ‎20. （本题满分12分） ‎ 解：(1)填空：两颗骰子都出现点的概率为 ； --4分，‎ ‎(2) ①的列联表如下：‎ 出现点 出现其他点 合计 甲骰子 乙骰子 合计 ‎ (2) ①列联表如下，------8分，‎ 出现点 出现其他点 合计 甲骰子 乙骰子 合计 ‎②则由列联表得：‎ ‎；-----10分，‎ ‎∵，因此我们没有充分的理由说明两颗骰子出现点相关．--12分，‎ ‎21．（本题满分12分） ‎ 单价 (元)‎ ‎ ‎ 销量 (件)‎ 解：(1)∵，又∵回归直线方程为 ‎，且它过点，∴，‎ ‎∴，∴；--6分，‎ ‎(2)设工厂获得的利润为元，则依题意得：--8分，‎ ‎，()，--10分，‎ ‎∴当时，取得最大值．--11分，‎ 故当单价定为元/件时，工厂可获得最大利润．--12分，‎ ‎22．（本题满分12分） ‎ 解：(1)证明：设、，且，--1分，‎ 又--2分，‎ ‎--3分，‎ 又∵，，∴，，--4分，‎ ‎，∴，，∴，‎ ‎∴，--5分，故函数函数在上为增函数．--6分，‎ ‎(2)假设方程有负数根，即存在()满足 ‎，∴，--7分，‎ 又∵a＞1，，∴，--8分，∴，--9分，‎ ‎∴且，∴且，∴，--10分，‎ 这与矛盾，--11分，故方程没有负数根．--12分，‎