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- 2021-07-01 发布
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梅州市高三总复习质检试卷
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的。
1.复数,则其共轭复数
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
2.已知集合则=
A.¥ B. C. D.
3.在中的中点,则
B.
D.
4.以下四个命题:
①若为假命题,则p,q均为假命题;
②对于命题则Øp为:;
③是”函数在区间上为增函数”的充分不必要条件;
④为偶函数的充要条件是
其中真命题的个数是
A.1 B.2C.3D.4
5.2021年起,我省将实行“3+1+2”高考模式,某中学为了解本校学生的选考情况,随机调查了100位学生,其中选考化学或生物的学生共有70位,选考化学的学生共有40位,选考化学且选考生物的学生共有20位.若该校共有1500位学生,则该校选考生物的学生人数的
估计值为
A.300 B.450 C.600 D.750
6.展开式的常数项为
A.120 B.160 C.200 D.240
7.已知在各项均不为零的等差数列数列是等比数列,
且则等于
A.2 B.4 C.8 D.16
8.某几何体的三视图如图示,已知其主视图的周长为8,则该几何体侧面积的最大值为
A.2π B.4π
C.16π D.不存在
9.若有下列四个不等式:;③;
④则下列组合中全部正确的为
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
10.已知直线:2x-y+3=0和直线:x=-1,抛物线上的点P到直线和直线的距离之和的最小值是
A. B.2 C.
11.祖暅是南北朝时代的伟大数学家,五世纪末提出几何体体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等,现在有四个几何体:图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为
A.①② B.①③ D.①④
12.在直角坐标系xOy中,如果相异两点都在函数的图象上,那么称A,B为函数的一对关于原点成中心对称的点对(A,B与B,A为同一对).函数图象上关于原点成中心对称的点对有
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分
13.已知数列的前n项和为则
14.曲线在点处的切线方程为
15.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系(为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0C的保鲜时间是384小时,在22℃的保鲜时间是24小时,则该食品在33C的保鲜时间是
16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,直线PO、PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M、N.若且则双曲线C的离心率为
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个考生都必须作答;第22-23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分
17.(12分)
已知a,b,c分别为说角△ABC三个内角A,B,C的对边,满足
(1)求A;
(2)若b=2,,求面积的取值范围。
18.(12分)
如图中、C分别是PA、PD的中点,将//BC折起连结PA、PD,得到多面体PABCD。
(1)证明:在多面体PABCD中;
(2)在多面体PABCD中,当时,求二面角B-PA-D的余弦值。
19.(12分)
某市《城市总体规划(
年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈“指标体系,并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为:优质小区(指数为、良好小区(指数为0.4-0.63、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0-0.2)4个等级.下面是三个小区4个方面指标值的调查数据:
注:每个小区”15分钟社区生活圈”指数其中、、、为该小区四个方面的权重,为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为之间的一个数值)
现有100个小区的“15分钟社区生活圈“指数数据,整理得到如下频数分布表:
(1)分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区,并说明理由;
(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样,抽取10个小区进行调查,若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查,记这2个小区中为优质小区的个数为ζ,求ζ的分布列及数学期望。
20.(12分)
已知两动圆::,把它们的公共点P的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上相异的两点A,B满足:×=0.
(1)求曲线C的方程;
(2)证明直线AB恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求面积S的最大值.
21.(12分)
已知函数
(1)当时,求证:;
(2)当f(x)有三个零点时,求a的取值范围.
(二)选考题:10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为
(1)求直线和圆C的直角坐标方程;
(2)若点在圆C上,求的取值范围.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围。
梅州市高三总复习质检试题(2020、6)
理科数学参考答案与评分意见
一、题选择:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
D
B
D
D
B
A
D
C
二、填空题:每题5分,满分20分.
13.. 14. . 15. 6. 16..
17.(12分)
解:(1)由已知及正弦定理得, ……………………2分
由余弦定理可得 ……………………4分
又 ……………………6分
(2) 由已知及正弦定理得, ……………………7分
由得 ……………………8分
……………………9分
△是锐角三角形,得得 ……………………10分
……………………11分
所以△面积的取值范围是 ……………………12分
18.(12分)
(1)证明: △中,因为分别是的中点,
所以 ……………………1分
所以多面体中, ……………………2分
平面. ……………………3分
平面, ……………………4分
(2)依题意可得, 直角△中,得又
所以, ……………………5分
由(1)知, 平面 ……………………6分
以为坐标原点,分别以为轴,
建立如图的坐标系. ……………………7分
则, ……………………8分
得……………………9分
设平面的一个法向量分别是,
则可取. ……………………10分
可取. ……………………11分
. ……………………12分
所以二面角的余弦值为0.
19.(12分)
解:(1)小区的指数,
,所以小区不是优质小区; ……………………1分
小区的指数,
,所以小区是优质小区; ……………………2分
小区的指数,
,所以小区不是优质小区; ……………………4分
(2) 依题意,抽取个小区中,共有优质小区个,
其它小区个. ……………………6分
依题意的所有可能取值为、、. ……………………7分
,,
. ……………………10分
则的分布列为:
……………………11分
. ……………………12分
20. (12分)
解:(1)两动圆的公共点为,则有:.
由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆,,, ……………………2分
所以曲线的方程是:. ……………………4分
(2)由题意可知:,设,,
当的斜率存在时,设直线,联立方程组:
,把②代入①得:,
③,④, ……………………5分
因为,所以有, ……………………6分
,把③④代入整理:
,化简得:
,或(舍).
当时 , 成立.
此时直线过点. ……………………7分
当的斜率不存在时,易知满足条件的直线为:,过定点.
综上,直线恒过定点. ……………………8分
(3)面积, ……………9分
由第(2)小题的③④代入,整理得:, ……………………10分
方法一:
. ……………………11分
时,在上递减,时,在上递增,
时,有最大值
所以面积的最大值为. ……………………12分
方法二:
,
令 ……………………11分
时,有最大值.此时时,
所以面积的最大值为. ……………………12分
方法三:
因在椭圆内部,所以,可设,
, ……………………11分
得
此时,. ……………………12分
所以面积的最大值为.
21.(12分)
(1)证明:. ……………………1分
令,,. ……………………
2分
, ……………………3分
在上单调递减,.…………………4分
所以原命题成立.
(2)由有三个零点可得,
有三个零点.
. ……………………5分
①时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意; ……………………6分
②当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意; …………………7分
③当时,记的两个零点为,,
不妨设,且. ……………………8分
时,;时,;时,,
观察可得,且,当时,,单调递增,
所以有,即, ……………………9分
时,,单调递减,时,,
单调递减,
由(1)知,,且,所以在上有一个零点,……………10分
设
则
所以也是的零点 . ……………………11分
综上可知有三个零点.
即当有三个零点时,的范围是.
……………………12分
22.(10分)
解:(1)由题意,直线的参数方程为(为参数),
消去参数,得直线的直角坐标方程为, ……………………2分
又由圆的极坐标方程为,即,………………4分
又因为,,,
可得圆的直角坐标方程为. ……………………5分
(2)因为点在圆上,可设(是参数), ………………7分
所以. ……………………9分
因为,所以的取值范围是. ……………………10分
23.(10分)
解:(1),
或或. ……………………3分
或或.
. ……………………5分
即不等式的解集为. ……………………6分
(2) 即
得 ……………………7分
……………………9分
所以实数的取值范围是 ……………………10分