• 2.72 MB
  • 2021-07-01 发布

江苏省苏州市五校2020届高三上学期12月月考数学试卷

  • 24页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
数 学(正卷)‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)‎ ‎1.已知,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个集合直接求交集.‎ ‎【详解】由已知可知.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集,属于简单题型.‎ ‎2.若复数(为虚数),则复数的模______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求复数,再化简求模.‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查复数的化简和求模,意在考查转化和化简计算,属于基础题型.‎ ‎3.某市有中外合资企业160家,私营企业320家,国有企业240家,其他性质的企业80家,为了了解企业的管理情况,现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本,已知从国有企业中抽取了12家,那么______.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知,计算结果.‎ ‎【详解】由题意可知,解得:.‎ 故答案为:40‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样,意在考查基本公式和基本计算能力,属于简单题型.‎ ‎4.函数的定义域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据具体函数的形式,直接求定义域.‎ ‎【详解】由题意可知 ‎ 解得:,‎ 函数的定义域是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域,属于简单题型.‎ ‎5.如图所示的流程图的运行结果是______.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ 试题分析:第一次循环:,第二次循环:,结束循环,输出 考点:循环结构流程图 ‎6.高三(5)班演讲兴趣小组有女生3人,男生2人,现从中任选2‎ ‎ 名学生去参加校演讲比赛,则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求任选2人的方法种数,然后求满足条件的方法,最后用古典概型求概率.‎ ‎【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛有种方法,‎ 其中恰好为1名男生和1名女生的方法有种方法,‎ 则恰好为1名男生和1名女生的概率.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法,意在考查基本公式和计算能力,属于基础题型.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,直线为双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知,再表示.‎ ‎【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是 ‎ 若直线是双曲线的一条渐近线,‎ 则 ,即,‎ 离心率.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查双曲线基本性质,属于简单题型,一般求双曲线离心率的方法是1.‎ 直接法:直接求出,然后利用公式求解;2.公式法:,3.构造法:根据条件,可构造出的齐次方程,通过等式两边同时除以,进而得到关于的方程.‎ ‎8.已知,,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据角的范围求,然后化简为,代入求值.‎ ‎【详解】, ‎ 又 ,,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型.‎ ‎9.设公比不为1的等比数列满足,且,,成等差数列,则数列的前4项和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知,且,求首项和公差,再求.‎ ‎【详解】由等比数列的性质可知 ‎ ‎,‎ 成等差数列,‎ ‎,,‎ ‎ ,‎ 解得:(舍)或,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的求法,意在考查基本公式,属于基础题型.‎ ‎10.曲线在点处的切线与直线互相垂直,则实数的值为______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求,由题意可知,求实数的值.‎ ‎【详解】 ,当时,,‎ 由题意可知, ,解得:.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,属于简单题型,当求曲线在某点处的切线时,切线方程是.‎ ‎11.已知,且,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意变形为,再变形为,展开后利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 当时等号成立,‎ 且 ,变形为 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型,‎ 本题的关键是根据,对原式进行变形 ‎,然后再求最值.‎ ‎12.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且为等边三角形,则实数________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由于为等边三角形,故弦长,根据直线与圆相交,所得弦长公式为,可建立方程,,,即,解得.‎ 考点:直线与圆的位置关系,解三角形.‎ ‎【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系,直线与圆相交所得弦长公式,考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形,故弦长,我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来,这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后,要验证圆心到直线的距离是否小于半径.‎ ‎13.已知平面向量,,满足,,,的夹角等于,且,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由数量积公式变形为,并且整理为 ‎,变形为,利用三角函数的有界性,求得的取值范围.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎, ,,的夹角等于,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎,,‎ 整理为:,‎ 解得:.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用,意在考查转化与化简和计算能力,属于中档题型,当变形为时,化简为,利用三角函数的有界性求模的范围.‎ ‎14.关于的方程有3个不同的实数解,则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先方程变形为,将方程有3个不同的实数解转化为函数与 有3个不同交点,利用数形结合求的取值范围.‎ ‎【详解】原式变形为,‎ 当函数与有3个不同交点时,‎ 如图,满足条件的直线夹在如图的两条直线之间,一条是过的直线,此时,此时与轴的交点是 ,‎ 另外一条是相切的直线,设切点,‎ 则,解得:,‎ 则切点是,则,解得,,此时与轴的交点是,‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围,一般可采用1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解,此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.‎ 二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,角为钝角,‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)求边的长.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,分别求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.‎ ‎【详解】(1)因为角 为钝角, ,所以 ,‎ 又 ,所以 ,‎ 且 ,‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎(2)因为 ,且 ,所以 ,‎ 又 ,‎ 则 ,‎ 所以 .‎ ‎16.如图所示,在三棱柱中,为正方形,是菱形,平面平面.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证明线面平行,需先证明线线平行,结合题意易证明;‎ ‎(2)要证明线线平行,需先证明线面平行,即证明平面.‎ ‎【详解】(1)是菱形,‎ ‎,‎ 平面,平面,‎ 平面.‎ ‎(2)连接,‎ 四边形是菱形,,‎ 平面平面,且平面平面,‎ ‎,‎ 平面,且平面,‎ ‎,且,‎ 平面,‎ 又平面,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行和线线垂直的证明,意在考查空间想象能力和推理证明,属于基础题型.‎ ‎17.已知椭圆:的离心率为,且过点.右焦点为.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)设过右焦点为的直线与椭圆交于,两点,且,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可知,再将点代入椭圆方程,结合可得椭圆方程;(2)设直线的方程为:,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,代入向量的坐标表示可得,建立关于的方程,求得直线的方程.‎ ‎【详解】(1)解:因为,所以,,‎ 设椭圆的方程为.将点的坐标代入得:,‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(2)因为右焦点为,设直线的方程为:,‎ 代入椭圆中并化简得:,‎ 设,,因为,所以,‎ 即,所以,,‎ 即,解得,所以,‎ 所以直线的方程为:或.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题,主要考查转化与化归和计算能力,第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎18.如图,两座建筑物,的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是和,从建筑物的顶部看建筑物的视角.‎ ‎(1)求的长度;‎ ‎(2)在线段上取一点(点与点,不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为,,问点在何处时,最小?‎ ‎【答案】(1);(2)为时,取得最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可知是等边三角形,,根据条件直接求的长度;‎ ‎(2)由(1)设,则,分别求和,然后再表示,设,利用导数求函数的最小值和点的位置.‎ ‎【详解】(1)如图,作,垂足为,则,,设,‎ 由条件可知是等边三角形,,‎ ‎, ‎ ‎..‎ 答:的长度为.‎ ‎(2)设,则,‎ ‎.‎ 设,,‎ 令,因为,得,‎ 当时,,是减函数;‎ 当时,,是增函数,‎ 所以,当时,取得最小值,即取得最小值,‎ 因为恒成立,所以,所以,,‎ 因为在上是增函数,所以当时,取得最小值.‎ 答:当为时,取得最小值.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数和导数解决实际问题的综合问题,意在考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题型.‎ ‎19.已知数列、满足:,,.‎ ‎(1)证明:是等差数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求实数何值时恒成立.‎ ‎【答案】(1)见解析,;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知变形为,再构造,从而证明数列是等差数列,并求通项公式;‎ ‎(2)由(1)可知,再写出,利用裂项相消法求和,恒成立整理为恒成立,分,和三种情况讨论时恒成立求的取值范围.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∴,∴. ‎ ‎∴数列是以-4为首项,-1为公差的等差数列.‎ ‎∴,∴.‎ ‎(2)∵.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 由条件可知恒成立即可满足条件,设,‎ 当时,恒成立,‎ 当时,由二次函数的性质知不可能成立.‎ 当时,对称轴,在为单调递减函数. ‎ ‎,∴,∴时恒成立.‎ 综上知:时,恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式,裂项相消法求和,以及数列和函数结合的综合性问题,意在考查转化与化归,讨论的思想和计算能力,属于中高档习题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;‎ ‎(2)当时,求证:;‎ ‎(3)设函数,其中为实常数,试讨论函数的零点个数,并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)或;(2)见解析;(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据导数的意义可知,解得切点;‎ ‎(2)将所证明不等式转化为证明恒成立,设,利用导数证明;‎ ‎(3)等价于,等价于,且,令,利用导数分析函数的性质,可知函数的极小值0,极大值,讨论当 ‎,,,时,结合零点存在性定理确定零点的个数.‎ ‎【详解】(1).所以过点的切线方程为,所以,‎ 解得或.‎ ‎(2)证明:即证,因为,所以即证,‎ 设,则.‎ 令,解得.‎ ‎4‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小 增 所以 当时,取得最小值.‎ 所以当时,.‎ ‎(3)解:等价于,等价于,且.‎ 令,则.‎ 令,得或,‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 减 极小0‎ 增 极大 减 ‎(Ⅰ)当时,,所以无零点,即定义域内无零点 ‎(Ⅱ)当即时,若,因为,‎ ‎,所以在只有一个零点,‎ 而当时,,所以只有一个零点;‎ ‎(Ⅲ)当即时,由(Ⅱ)知在只有一个零点,且当时,,所以恰好有两个零点;‎ ‎(Ⅳ)当即时,由(Ⅱ)、(Ⅲ)知在只有一个零点,在只有一个零点,在时,因为,‎ 只要比较与的大小,即只要比较与的大小,‎ 令,‎ 因为,因为,所以,‎ 所以,‎ 即,所以,即在也只有一解,所以 有三个零点; ‎ 综上所述:当时,函数的零点个数为0; 当时,函数的零点个数为1;当时,函数的零点个数为2;当时,函数的零点个数为3.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,以及分析零点个数的问题,判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置,还需根据单调性验证零点存在性定理,第三问中当即时判断零点个数相对其他情况比较难,还需构造函数.解决零点问题常用方法还有:分离参数、构造函数、数形结合.‎ ‎2020届高三12月联合调研测试 数 学(加试)‎ 每小题10分,计40分.请把答案写在答题纸的指定区域内,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎21.已知矩阵,若矩阵属于特征值1的一个特征向量为,属于特征值5的一个特征向量为.求矩阵,并写出的逆矩阵.‎ ‎【答案】,的逆矩阵是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意列出和,建立关于的方程组,求解即可,再根据逆矩阵的定义求解.‎ ‎【详解】由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得,,即 ‎;‎ 由矩阵属于特征值5的一个特征向量为,可得,‎ 即,解得即,‎ 设的逆矩阵是,则 ,‎ 即 ,解得,,‎ 的逆矩阵是.‎ ‎【点睛】本题考查特征向量和逆矩阵,意在考查基本概念和基本计算,属于基础题型.‎ ‎22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.‎ ‎【答案】(,)‎ ‎【解析】‎ 以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,‎ 则曲线ρ=2sinθ可化为:x2+(y-1)2=1,‎ 曲线ρcosθ=1可化为x=1,‎ 由可得交点坐标为(1,1),‎ 所以交点Q极坐标是(,).‎ ‎23.在三棱锥中,底面是边长为的正三角形,点在底面上的射影恰是的中点,侧棱和底面成角.‎ ‎(1)若为侧棱上一点,当为何值时,;‎ ‎(2)求二面角的余弦值大小.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)以点为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.设,表示与,根据求;‎ ‎(2)分别求平面和平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值的大小.‎ ‎【详解】由题意可知底面,且,‎ 以点为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.因为是边长为的正三角形,又与底面所成角为,所以,所以.‎ 所以,,,,.‎ ‎(1)设,则,所以,‎ ‎.若,则,‎ 解得,而,所以,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,,设平面法向量为,‎ 则,令,则,,所以.‎ 而平面的法向量为,‎ 所以,又显然所求二面角的平面角为锐角,‎ 故所求二面角的余弦值的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间直角坐标系解决垂直和二面角的问题,意在考查空间想象能力和计算能力,属于中档题型.‎ ‎24.已知(其中).‎ ‎(1)当时,计算及;‎ ‎(2)记,试比较与的大小,并说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)答案不唯一,见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)采用赋值法,令,计算,然后令和,求的值;‎ ‎(2)由(1)知,,比较与的大小,利用数学归纳法证明.‎ ‎【详解】(1)当时,取,得, ‎ 取时,得,……①‎ 取时,得,……②‎ 将①-②得:,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)可知,‎ 要比较与的大小,只要比较与,‎ 只要比较与,‎ 当时,左边,右边,所以左边右边;‎ 当时,左边,右边,所以左边右边;‎ 当时,左边,右边,所以左边右边;‎ 当时,左边,右边=,所以左边右边;‎ 猜想当时,左边右边,即. ‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时已证;‎ ‎②假设当时成立, ‎ 则当时,左边 ‎,‎ 因为 ‎,‎ 所以,即当时不等式也成立.‎ 所以对的一切正整数都成立.‎ 综上所述:当或时,,‎ 当或时.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理求系数和,数学归纳法证明不等式,意在考查计算和推理能力,属于中档题型,利用数学归纳法证明时,注意当证明时不等式成立,必须利用时的假设,否则不是数学归纳法.‎ ‎ ‎ ‎ ‎