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- 2021-07-01 发布
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安徽省示范高中 2018—2019 学年高三上学期考试试题
理科数学
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合 { | 0}, {1,2,3}A x x a B ≤ ,若 A B ,则 a 的取值范围为( )
A.( ,1] B.[1, ) C.( ,3] D.[3, )
1.答案:B
解析:集合 { | }A x x a ≤ ,集合 {1,2,3}B ,若 A B ,则 1,2,3 这三个元素至少有一个在集合
A 中,若 2 或 3 在集合 A 中,则 1 一定在集合 A 中,因此只要保证1 A 即可,所以 1a≥ .
2. z 是 1 2i
1 iz
的共轭复数,则 z 的虚部为( )
A. 1
2 B. 1
2 C. 3
2 D. 3
2
2.答案:C
解析: 1 2i (1 2i)(1 i) 1 3i 1 3 i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2z
,则 1 3 i2 2z ,所以 z 的虚部为 3
2 .
3.已知下列两个命题
1p :存在正数 a ,使函数 2 2x xy a 在 R 上为偶函数;
2p :函数 sin cos 2y x x 无零点.
则在命题 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2: , : , : ( ) , : ( )q p p q p p q p p q p p 中,真命题是( )
A. 1 4,q q B. 2 3,q q C. 1 3,q q D. 2 4,q q
3.答案:A
解析:当 1a 时, 2 2x xy a 在 R 上是偶函数,所以 1p 为真命题;
当 5
4x 时,函数 sin cos 2 0y x x ,所以命题 2p 是假命题.
所以 1 2p p , 1 2( )p p 是真命题,故选 A.
4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,
称底是“广”;称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别是十步和二十步,正从为
十步,其内有一块广为八步,正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树,求该茶树恰好种在圭田
内的概率为( )
A. 2
15 B. 2
5 C. 4
15 D. 1
5
4.答案:A
解析:由题意可得邪田的面积 1 (10 20) 10 1502S ,圭田的面积 1
1 8 5 202S ,
则所求概率 1 20 2
150 15
SP S .
5.角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边经过点 (4, )P y ,且 3sin 5 ,则 tan ( )
A. 4
3 B. 4
3 C. 3
4 D. 3
4
5.答案:C
解析:因为角 的终边经过点 (4, )P y , 3sin 05 ,所以角 为第四象限角,所以
2 4cos 1 sin 5 ,所以 sin 3tan cos 4
.
6.已知三棱锥 P ABC 中,AB 平面 , 4 2, 2, 2APC AB PA PC AC ,则三棱锥 P ABC
外接球的表面积为( )
A. 28 B.36 C. 48 D.72
6.答案:B
解析:因为 2, 2PA PC AC ,所以 PA PC ,又 AB 平面 PAC ,所以可把三棱锥 P ABC 放
在如图所示的长方体中,此长方体的长、宽、高分别为 2, 2, 4 2 ,则三棱锥 P ABC 的外接球即为
长方体的外接球,长方体的体对角线即为长方体外接球的直径,易得长方体的体对角线长为 6,则外接球
的半径 3R ,所以三棱锥 P ABC 外接球的表面积 24 36S R .
A
P
B
C
7.已知 1 2,F F 是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b 的左、右焦点,点 M 在双曲线 E 上, 1MF 与 x 轴垂
直, 2 1
1sin 4MF F ,则双曲线 E 的离心率为( )
A. 15
3 B. 3
2 C. 13
2 D.2
7.答案:A
解析:由题意知 1( ,0)F c ,因为 1MF 与 x 轴垂直,且 M 在椭圆上,所以
2
1
bMF a .在 1 1Rt MF F△ 中,
2 1
1sin 4MF F ,所以 1
2 1
1 2
1tan
15
MFMF F F F ,即
2
2 1
2 2 15
b
ba
c ac ,又 2 2 2b c a ,
所以 2 215 15 2 0c a ac ,两边同时除以 2a ,得 215 2 15 0e e ,
( 5 3)( 3 5) 0e e ,又 1e ,所以 15
3e .
解法二: 1
2 1
2
1sin 4
MFMF F MF ,不妨设 1 21, 4MF MF ,则 1 2 15F F ,离心率
1 2
2 1
2 15
2 3
F Fc ce a a MF MF
.
M
F1 F2O
8.函数 1( ) ( 1)
x
x
ef x x e
(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )
8.答案:D
解析:函数 ( )f x 的定义域为{ | 0}x x ,
1 1 1( ) ( )( 1) (1 ) ( 1)
x x x
x x x
e e ef x f xx e x e x e
,∴函数 ( )f x 为偶函数,排除 A,C;
当 x 时, 1 10, 11
x
x
e
x e
,所以 1 0( 1)
x
x
e
x e
,排除 B,选 D.
9.在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的,在立体几何中,
与正四面体的四个面所在平面距离相等的点( )
A.有且只有一个 B.有且只有三个 C.有且只有四个 D.有且只有五个
9.答案:D
解析:正四面体 P ABC 的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等,将正四面体 P ABC 延拓为正
四面体 P DEF ,所得三棱台 ABC DEF 内存在一个球,其球心到平面 PDE ,平面 PEF ,平面 PDF
的距离相等,同理,分别将四面体 , ,A PBC B PAC C PAB 进行延拓均可得到一个满足题意的点,
因此满足题意的点有且只有五个,故选 D.
P
A
B
C
D
E
F
O2
O3
O1
O
A
B
C
10.已知函数 ( ) sin(2 ) ( 0, )2f x A x A 的部分图象如图所示, ( ) ( ) 0f a f b ,
( ) 3f a b ,则( )
A. ( )f x 在 5 ,12 12
上是减函数 B. ( )f x 在 5 ,12 12
上是增函数
C. ( )f x 在 5,3 6
上是减函数 D. ( )f x 在 5,3 6
上是增函数
10.答案:B
解析:由图可知 2A ,因为 ( ) ( ) 0f a f b ,所以 22
a bf
,
2a b ,
3( ) 2sin(2 2 ) 3, sin(2 2 ) 2f a b a b a b , 22 2 3a b ,
由 2
22 2 3
a b
a b
,解得
3
, ( ) 2sin 2 3f x x
,
当 5 ,12 12x
时, 2 ,3 2 2x
,所以 ( )f x 在 5 ,12 12
上是增函数.
当 5,3 6x
时, 2 ( ,2 )3x ,所以 ( )f x 在 5,3 6
上先减后增.故选 B.
11.设抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F ,点 M 在C 上, 5MF ,若以 MF 为直径的圆过点 (0, 2) ,
则C 的焦点到准线的距离为( )
A.4 或 8 B.2 或 4 C.2 或 8 D.4 或 16
11.答案:C
解析:如图,线段 MF 的中点 N 的纵坐标 2Ny ,所以点 M 的纵坐标 4My , 8
Mx p ,
则 8 52 2M
p pMF x p , 2 10 16 0, ( 2)( 8) 0, 2p p p p p 或 8p .
(0,2) N
M
O F
12.设函数 ( )f x 在 R 上存在导数 ( )f x ,对任意的 Rx ,有 ( ) ( ) 0f x f x ,且 [0, )x 时,
( ) 2f x x .若 ( 2) ( ) 4 4f a f a a ≥ ,则实数 a 的取值范围为 ( )
A.( ,1] B.[1, ) C.( ,2] D.[2, )
12.答案:A
解析:设 2( ) ( )g x f x x , ( )f x 为偶函数, ( )g x 也是偶函数,当 [0, )x 时,
( ) ( ) 2 0g x f x x , ( )g x 在[0, ) 上单调递增,
由 2 2( 2) ( ) 4 4 ( 2)f a f a a a a ≥ ,得 2 2( 2) ( 2) ( )f a a f a a ≥ ,即 ( 2) ( )g a g a ≥ ,
2a a ≥ ,即 2 24 4a a a ≥ ,解得 1a ≤ .
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.
13.如图,在平行四边形 ABCD 中, ,E F 分别为边 ,AB BC 的中点,连接 ,CE DF ,交于点G .
若 ( , )RCG CD CB
,则
.
A B
CD
E
F
G
13.答案: 1
2
解析:由题图可设 ( 0)CG xCE x
,则 1
2 2
xCG x CB BE x CB CD CD xCB
,因为
CG CD CB
,CD
与CB
不共线,所以 ,2
x x ,所以 1
2
解法二:特值法,不妨设平行四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 (2,2), (0, 2), (2,1), (1,0)C D F E ,
(2,0)B ,直线 DF 的方程为 2 4 0x y ,直线CE 的方程为 2 2 0x y ,
联立
8
2 4 0 5
2 2 0 6
5
xx y
x y y
,即 8 6,5 5G
, 2 4, , ( 2,0), (0, 2)5 5CG CD CF
,由
CG CD CB
,得
2 12 15 5 ,4 2 225 5
.
A B
CD
E
F
G
x
y
14.设 ,x y 满足约束条件
7 0
3 1 0
3 5 0
x y
x y
x y
≤
≤
≥
,则 2z x y 的最小值为 .
14.答案:2
解析:作可行域为如图所示的 ABC△ ,其中 (3, 4), (2,1), (5,2)A B C ,则 2, 3, 8A B Cz z z ,
min 2Az z .
5
4
3
2
1
2 4 6
C
B
A
O
15.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片
不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 .
15.答案:472
解析:解法一:从 16 张不同的卡片中任取 3 张,不同取法的种数为 3
16C ,其中有两张红色卡片的不同取法
的种数为 3 1
4 12C C ,其中三张卡片颜色相同的不同取法的种数为 3 1
4 4C C ,所以 3 张卡片不能是同一种颜
色, 且红色卡片至多 1 张的不同取法的种数为 3 3 1 3 1
16 4 12 4 4 472C C C C C .
解法二:分两类:
①若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选 3 张,若都是不同色,则不同取法的种数为
4 4 4 64 ,若 2 张颜色相同,则不同的取法的种数为 2 1 2 1
3 2 4 4 144C C C C .
②若红色卡片有 1 张,则剩余 2 张不同色时,不同取法的种数为 1 2 1 1
4 3 4 4 192C C C C ,
剩余 2 张同色时,不同取法的种数为 1 1 2
4 3 4 72C C C .
所以不同的取法共有64 144 192 72 472 (种).
16.在 ABC△ 中, 90ABC ,延长 AC 到 D ,使得 1CD AB ,若 30CBD ,则 AC
.
16.答案: 3 2
解析:设 ( 0)AC x x ,在 BCD△ 中,由正弦定理得
sin sin
BD CD
BCD CBD
,所以 2sinBD BCD ,
又 1sin sinBCD ACB x ,所以 2BD x .
在 ABD△ 中, 120ABD ,由余弦定理可得: 2 2 2 2 cos120AD AB BD AB BD ,
即 2
2
4 2( 1) 1 2 cos120x x x ,整理得: 2 3 3
2
2 42 , ( 2) 2( 2), 2xx x x x x xx
,
故 3 2x ,故 3 2AC .
D
C
A
B
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(本小题满分 12 分)
设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,且满足 2n nS a , 1,2,3,n .数列{ }nb 满足 1 1b ,且 1n n nb b a .
(1)求数列{ }nb 的通项公式;
(2)设 (3 )n nc n b ,数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ,求 nT .
17.解析:(1)当 1n 时, 1 1 1 1 12 , 2 , 1S a a a a .
由 2n nS a ① ,可得 1 12n nS a ② ,
① ② ,得 1n n na a a ,即 1
1 ( 2)2n na a n ≥ ,
所以数列{ }na 是首项为 1,公比为 1
2
的等比数列, 1
1
2n na .
由 1n n nb b a ,得 1 1
1
2n n nb b ,得 1 2
1 ( 2)2n n nb b n ≥ ,
1 1 2 2 1 1 2 3 2
1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 32 2 2n n n n n n n nb b b b b b b b ,
又 1 1b 也符合上式, 2
13 ( )2n nb n
N .………………………………………………6 分
解法二: 1 11 1 2 1 1 2
1 2 1 1 1 1 1,2 2 2 2 2 2n n n nn n n n n nb b b b
,
数列 2
1
2n nb
是常数列,首项为 1 1 2
1 1 2 32b ,所以 2 2
1 13, 3 ( )2 2n nn nb b n
N
(2) 2
1(3 ) 2n n nc n b n ,
3 2
2 1
1 1 11 2 2 1 3 ( 1)2 2 2
1 1 1 1 11 1 2 3 ( 1)2 2 4 2 2
n n n
n n n
T n n
T n n
①
②
两式相减,得 2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 22 1 4 42 2 4 2 2 2 2 2n n n n n n
nT n n
,
2
28 2n n
nT
.……………………………………………………………………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 ABC A B C 的棱长均为 2,O 为 AC 的中点,平面 A OB 平面 ABC ,平面 AA C C
平面 ABC .
(1)求证: A O 平面 ABC ;
(2)求二面角 A BB C 的余弦值.
A
B
C
O
A
B
C
18.解析:(1)在等边三角形 ABC 中,O 为 AC 的中点,所以OB AC .
因为平面 A OB 平面 ABC ,平面 A OB 平面 ABC OB , AC 平面 ABC , AC OB ,
AC 平面 A OB ,而 A O 平面 A OB , AC A O ;……………………………………2 分
因为平面 AA C C 平面 ABC ,平面 AA C C 平面 ABC AC ,OB 平面 ABC ,OB AC ,
OB 平面 AA C C ,而 A O 平面 AA C C , OB A O ,
AC OB O , A O 平面 ABC .…………………………………………………………4 分
(2)由(1)知, A O 平面 ABC ,OB OC ,以 , ,OB OC OA 所在直线分别为 , ,x y z 轴建立如图所
示空间直角坐标系.则 (0, 1,0), (0,1,0), ( 3,0,0), (0,0, 3)A C B A ,
则 ( 3,1,0), (0,1, 3), ( 3,1,0)AB BB AA BC
.………………………………6 分
设平面 AA B B 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z
,
则 1 1
1 1
3 0
3 0
m AB x y
m BB y z
,取 1 1x ,则 1 13, 1, (1, 3,1)y z m
.………………8 分
设平面 BB C C 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z ,
则 2 2
2 2
3 0
3 0
n BC x y
n BB y z
,取 2 1x ,则 2 23, 1, (1, 3, 1)y z n .………………10 分
所以 3 3cos , 55 5
m nm n
m n
,
又二面角 A BB C 为锐角,所以其余弦值为 3
5
.…………………………………………12 分
A
B
C
O
A
B
C
x
y
z
19.(本小题满分 12 分)
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 的上顶点为 P ,右顶点为 Q ,直线 PQ 与圆 2 2 4
5x y 相切于点
2 4,5 5M
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若不经过点 P 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点,且 0PA PB
,求证:直线l 过定点.
19.解析:(1)由已知得直线OM(O 为坐标原点)的斜率 2OMk ,则直线 PQ 的斜率 1 1
2PQ
OM
k k ,
所以直线 PQ 的方程为 4 1 2
5 2 5y x
,即 2 2x y .…………………………………………2 分
可求得 (0,1), (2,0)P Q ,故 2, 1a b ,故椭圆C 的方程为
2
2 14
x y .…………………………4 分
(2)当直线l 的斜率不存在时,显然不满足条件.
当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为 ( 1)y kx n n ,
由
2
2 14
x y
y kx n
,消去 y 并整理得 2 2 2(4 1) 8 4( 1) 0k x knx n ,
2 2 2 2 2(8 ) 4 4(4 1)( 1) 16(4 1 ) 0kn k n k n ,得 2 24 1k n . ①
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则
2
1 2 1 22 2
8 4( 1),4 1 4 1
kn nx x x xk k
. ②
由 0PA PB
,得 1 1 2 2( , 1) ( , 1) 0x y x y ,又 1 1 2 2,y kx n y kx n ,
所以 2 2
1 2 1 2( 1) ( 1)( ) ( 1) 0k x x k n x x n , ③ ………………8 分
将②代入③,得
2 2 2
2
2 2
4( 1)( 1) 8 ( 1) ( 1) 04 1 4 1
k n k n n nk k
, ( 1)(5 3) 0n n ,
解得 1n (舍),或 3
5n ,满足①. …………………………………………………10 分
此时l 的方程为 3
5y kx ,故直线l 过定点 30, 5
.………………………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
前不久,安徽省社科院发布了 2017 年度“安徽城市居民幸福排行榜”,铜陵市成为本年度安徽“最幸福城
市” .随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从
调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)
记录了他们的幸福度分数.
7 3 0
8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9
9 7 6 5 5
(1)指出这组数据的众数和中位数;
(2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”,若从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人
的幸福度是“极幸福”的概率;
(3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 表示选
到幸福度为“极幸福”的人数,求 的分布列及数学期望.
20.解析:(1)由茎叶图得 8.6 出现的次数最多,所以众数为 8.6;将茎叶图中的所有数据从小到大排列,
得中位数为 8.75.…………………………………………………………………………………………2 分
(2)设事件 ( 1,2,3)iA i 表示所取 3 人中有i 人的幸福度是“极幸福”,至多有 1 人的幸福度是“极幸福”
记为事件 A ,结合茎叶图得
3 1 2
12 4 12
0 1 3 3
16 16
121( ) ( ) ( ) 140
C C CP A P A P A C C .…………………………6 分
(3) 的所有可能取值为 0,1,2,3,由样本估计总体中任选 1 人,其幸福度为“极幸福”的概率为 4 1
16 4 ,
则
3 2
1
3
2 3
2
3
3 27 1 3 27( 0) ; ( 1) ;4 64 4 4 64
1 3 9 1 1( 2) ; ( 3) .4 4 64 4 64
P P C
P C P
所以 的分布列为:
0 1 2 3
P 27
64 27
64 9
64 1
64
所以 27 27 9 10 1 2 3 0.7564 64 64 64E .…………………………………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ) 2 (ln 1)f x x x .
(1)求函数 ( )f x 的单调区间;
(2)若斜率为 k 的直线与曲线 ( )y f x 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点,其中 1 2x x ,求证: 1 2
2x xk .
21.解析:(1) ( )f x 的定义域是 (0, ) , ( ) 2ln 4f x x .………………………………2 分
令 ( ) 0f x ,得 2x e ,…………………………………………………………………………3 分
当 2(0, )x e 时, ( ) 0f x ,此时 ( )f x 单调递减;
当 2( , )x e 时, ( ) 0f x ,此时 ( )f x 单调递增.
所以 ( )f x 的单调递减区间为 2(0, )e ,单调递增区间为 2( , )e .………………………………5 分
(2) 2 1 2 1
2 1 2 1
( ) ( ) 2ln 2lnf x f x x xk x x x x
.………………………………………………………6 分
要证 1 2
2x xk ,即证 2 1
1 2
2 1ln ln
x xx xx x
,……………………………………………………7 分
即证
2
1 2
2 1
1
1
1
ln
x
x x
x x
x
.………………………………………………………………………………8 分
令 2
1
xt x (由 1 2x x ,知 1t ),……………………………………………………………………9 分
则只需证ln 1 ln ( 1)t t t t t .(*)………………………………………………………………10 分
①设 ( ) 1 lng t t t ,则当 1t 时, 1( ) 1 0g t t
,所以 ( )g t 在 (1, ) 上是增函数,
当 1t 时, ( ) 1 ln (1) 0g t t t h ,即 1 lnt t ;
②设 ( ) ln ( 1)h t t t t ,则当 1t 时, ( ) ln 0h t t ,所以 ( )h t 在 (1, ) 上是增函数,
当 1t 时, ( ) ln ( 1) (1) 0h t t t t h ,即 ln 1t t t .
由①②知(*)成立,所以 1 2
2x xk .………………………………………………………………12 分
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.
22.【选修 4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中,直线 1 : 0l x ,圆 2 2: ( 1) ( 1 2) 1C x y ,以坐标原点为极点,x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线 1l 和圆C 的极坐标方程;
(2)若直线 2l 的极坐标方程为 ( )4
R ,设 1 2,l l 与圆C 的公共点分别为 ,A B ,求 OAB△ 的面积.
22.解析:(1) cos , sinx y ,
直线 1l 的极坐标方程为 cos 0 ,即 ( )2
R ,
圆C 的极坐标方程为 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0 .…………………………5 分
(2)设 1 2, , ,2 4A B
,将
2
代入 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0 ,
得 2 2(1 2) 3 2 2 0 ,解得 1 1 2 .
将
4
代入 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0 ,
得 2 2(1 2) 3 2 2 0 ,解得 2 1 2 .
故 OAB△ 的面积为 21 3 2(1 2) sin 12 4 4
.……………………………………10 分
23.【选修 4—5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)
已知 ( ) 2f x x .
(1)解不等式 ( ) 1 (2 )f x f x ;
(2)若 ( ) 1, (2 ) 2f m f n≤ ≤ ,求 2 1m n 的最大值,并求此时实数 ,m n 的取值.
23.解析:(1)原不等式等价于 2 1 2 1x x ,
1
2 1 2 2
x
x x
或 1 2
2 1 2 2
x
x x
≤ ≤
或 2
2 1 2 2
x
x x
,………………………………2 分
1 1x 或 51 3x ≤ 或 ,∴原不等式的解集为 51, 3
.……………………………………5 分
(2)由题意得 ( ) 2 1, (2 ) 2 2 2, 1 1f m m f n n n ≤ ≤ ≤ ,…………………………6 分
2 1 ( 2) 2( 1) 1 2 2 1 1 4m n m n m n ≤ ≤ ,
当且仅当 1, 2m n 时, 2 1m n 取得最大值 4.…………………………………………10 分