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  • 2021-07-01 发布

安徽省示范高中2018—2019学年高三上学期考试试题 理科数学(解析版)

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安徽省示范高中 2018—2019 学年高三上学期考试试题 理科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 { | 0}, {1,2,3}A x x a B  ≤ ,若 A B   ,则 a 的取值范围为( ) A.( ,1] B.[1, ) C.( ,3] D.[3, ) 1.答案:B 解析:集合 { | }A x x a ≤ ,集合 {1,2,3}B  ,若 A B   ,则 1,2,3 这三个元素至少有一个在集合 A 中,若 2 或 3 在集合 A 中,则 1 一定在集合 A 中,因此只要保证1 A 即可,所以 1a≥ . 2. z 是 1 2i 1 iz   的共轭复数,则 z 的虚部为( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 2.答案:C 解析: 1 2i (1 2i)(1 i) 1 3i 1 3 i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2z             ,则 1 3 i2 2z    ,所以 z 的虚部为 3 2 . 3.已知下列两个命题 1p :存在正数 a ,使函数 2 2x xy a    在 R 上为偶函数; 2p :函数 sin cos 2y x x   无零点. 则在命题 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2: , : , : ( ) , : ( )q p p q p p q p p q p p      中,真命题是( ) A. 1 4,q q B. 2 3,q q C. 1 3,q q D. 2 4,q q 3.答案:A 解析:当 1a  时, 2 2x xy a    在 R 上是偶函数,所以 1p 为真命题; 当 5 4x  时,函数 sin cos 2 0y x x    ,所以命题 2p 是假命题. 所以 1 2p p , 1 2( )p p  是真命题,故选 A. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”, 称底是“广”;称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别是十步和二十步,正从为 十步,其内有一块广为八步,正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树,求该茶树恰好种在圭田 内的概率为( ) A. 2 15 B. 2 5 C. 4 15 D. 1 5 4.答案:A 解析:由题意可得邪田的面积 1 (10 20) 10 1502S      ,圭田的面积 1 1 8 5 202S     , 则所求概率 1 20 2 150 15 SP S   . 5.角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边经过点 (4, )P y ,且 3sin 5   ,则 tan ( ) A. 4 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 3 4 5.答案:C 解析:因为角 的终边经过点 (4, )P y , 3sin 05    ,所以角 为第四象限角,所以 2 4cos 1 sin 5    ,所以 sin 3tan cos 4     . 6.已知三棱锥 P ABC 中,AB  平面 , 4 2, 2, 2APC AB PA PC AC    ,则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为( ) A. 28 B.36 C. 48 D.72 6.答案:B 解析:因为 2, 2PA PC AC   ,所以 PA PC ,又 AB  平面 PAC ,所以可把三棱锥 P ABC 放 在如图所示的长方体中,此长方体的长、宽、高分别为 2, 2, 4 2 ,则三棱锥 P ABC 的外接球即为 长方体的外接球,长方体的体对角线即为长方体外接球的直径,易得长方体的体对角线长为 6,则外接球 的半径 3R  ,所以三棱锥 P ABC 外接球的表面积 24 36S R   . A P B C 7.已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b    的左、右焦点,点 M 在双曲线 E 上, 1MF 与 x 轴垂 直, 2 1 1sin 4MF F  ,则双曲线 E 的离心率为( ) A. 15 3 B. 3 2 C. 13 2 D.2 7.答案:A 解析:由题意知 1( ,0)F c ,因为 1MF 与 x 轴垂直,且 M 在椭圆上,所以 2 1 bMF a .在 1 1Rt MF F△ 中, 2 1 1sin 4MF F  ,所以 1 2 1 1 2 1tan 15 MFMF F F F   ,即 2 2 1 2 2 15 b ba c ac  ,又 2 2 2b c a  , 所以 2 215 15 2 0c a ac   ,两边同时除以 2a ,得 215 2 15 0e e   , ( 5 3)( 3 5) 0e e    ,又 1e  ,所以 15 3e  . 解法二: 1 2 1 2 1sin 4 MFMF F MF   ,不妨设 1 21, 4MF MF  ,则 1 2 15F F  ,离心率 1 2 2 1 2 15 2 3 F Fc ce a a MF MF    . M F1 F2O 8.函数 1( ) ( 1) x x ef x x e   (其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( ) 8.答案:D 解析:函数 ( )f x 的定义域为{ | 0}x x  , 1 1 1( ) ( )( 1) (1 ) ( 1) x x x x x x e e ef x f xx e x e x e              ,∴函数 ( )f x 为偶函数,排除 A,C; 当 x   时, 1 10, 11 x x e x e   ,所以 1 0( 1) x x e x e   ,排除 B,选 D. 9.在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的,在立体几何中, 与正四面体的四个面所在平面距离相等的点( ) A.有且只有一个 B.有且只有三个 C.有且只有四个 D.有且只有五个 9.答案:D 解析:正四面体 P ABC 的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等,将正四面体 P ABC 延拓为正 四面体 P DEF ,所得三棱台 ABC DEF 内存在一个球,其球心到平面 PDE ,平面 PEF ,平面 PDF 的距离相等,同理,分别将四面体 , ,A PBC B PAC C PAB   进行延拓均可得到一个满足题意的点, 因此满足题意的点有且只有五个,故选 D. P A B C D E F O2 O3 O1 O A B C 10.已知函数 ( ) sin(2 ) ( 0, )2f x A x A      的部分图象如图所示, ( ) ( ) 0f a f b  , ( ) 3f a b  ,则( ) A. ( )f x 在 5 ,12 12      上是减函数 B. ( )f x 在 5 ,12 12      上是增函数 C. ( )f x 在 5,3 6       上是减函数 D. ( )f x 在 5,3 6       上是增函数 10.答案:B 解析:由图可知 2A  ,因为 ( ) ( ) 0f a f b  ,所以 22 a bf      , 2a b     , 3( ) 2sin(2 2 ) 3, sin(2 2 ) 2f a b a b a b          , 22 2 3a b     , 由 2 22 2 3 a b a b           ,解得 3   , ( ) 2sin 2 3f x x       , 当 5 ,12 12x       时, 2 ,3 2 2x         ,所以 ( )f x 在 5 ,12 12      上是增函数. 当 5,3 6x      时, 2 ( ,2 )3x     ,所以 ( )f x 在 5,3 6       上先减后增.故选 B. 11.设抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ,点 M 在C 上, 5MF  ,若以 MF 为直径的圆过点 (0, 2) , 则C 的焦点到准线的距离为( ) A.4 或 8 B.2 或 4 C.2 或 8 D.4 或 16 11.答案:C 解析:如图,线段 MF 的中点 N 的纵坐标 2Ny  ,所以点 M 的纵坐标 4My  , 8 Mx p  , 则 8 52 2M p pMF x p     , 2 10 16 0, ( 2)( 8) 0, 2p p p p p         或 8p  . (0,2) N M O F 12.设函数 ( )f x 在 R 上存在导数 ( )f x ,对任意的 Rx ,有 ( ) ( ) 0f x f x   ,且 [0, )x  时, ( ) 2f x x  .若 ( 2) ( ) 4 4f a f a a  ≥ ,则实数 a 的取值范围为 ( ) A.( ,1] B.[1, ) C.( ,2] D.[2, ) 12.答案:A 解析:设 2( ) ( )g x f x x  , ( )f x 为偶函数, ( )g x 也是偶函数,当 [0, )x  时, ( ) ( ) 2 0g x f x x    , ( )g x 在[0, ) 上单调递增, 由 2 2( 2) ( ) 4 4 ( 2)f a f a a a a     ≥ ,得 2 2( 2) ( 2) ( )f a a f a a   ≥ ,即 ( 2) ( )g a g a ≥ , 2a a  ≥ ,即 2 24 4a a a  ≥ ,解得 1a ≤ . 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.如图,在平行四边形 ABCD 中, ,E F 分别为边 ,AB BC 的中点,连接 ,CE DF ,交于点G . 若 ( , )RCG CD CB         ,则    . A B CD E F G 13.答案: 1 2 解析:由题图可设 ( 0)CG xCE x    ,则   1 2 2 xCG x CB BE x CB CD CD xCB                ,因为 CG CD CB      ,CD  与CB  不共线,所以 ,2 x x   ,所以 1 2    解法二:特值法,不妨设平行四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 (2,2), (0, 2), (2,1), (1,0)C D F E , (2,0)B ,直线 DF 的方程为 2 4 0x y   ,直线CE 的方程为 2 2 0x y   , 联立 8 2 4 0 5 2 2 0 6 5 xx y x y y           ,即 8 6,5 5G     , 2 4, , ( 2,0), (0, 2)5 5CG CD CF              ,由 CG CD CB      ,得 2 12 15 5 ,4 2 225 5                       . A B CD E F G x y 14.设 ,x y 满足约束条件 7 0 3 1 0 3 5 0 x y x y x y         ≤ ≤ ≥ ,则 2z x y  的最小值为 . 14.答案:2 解析:作可行域为如图所示的 ABC△ ,其中 (3, 4), (2,1), (5,2)A B C ,则 2, 3, 8A B Cz z z   , min 2Az z   . 5 4 3 2 1 2 4 6 C B A O 15.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片 不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 . 15.答案:472 解析:解法一:从 16 张不同的卡片中任取 3 张,不同取法的种数为 3 16C ,其中有两张红色卡片的不同取法 的种数为 3 1 4 12C C ,其中三张卡片颜色相同的不同取法的种数为 3 1 4 4C C ,所以 3 张卡片不能是同一种颜 色, 且红色卡片至多 1 张的不同取法的种数为 3 3 1 3 1 16 4 12 4 4 472C C C C C     . 解法二:分两类: ①若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选 3 张,若都是不同色,则不同取法的种数为 4 4 4 64   ,若 2 张颜色相同,则不同的取法的种数为 2 1 2 1 3 2 4 4 144C C C C    . ②若红色卡片有 1 张,则剩余 2 张不同色时,不同取法的种数为 1 2 1 1 4 3 4 4 192C C C C    , 剩余 2 张同色时,不同取法的种数为 1 1 2 4 3 4 72C C C   . 所以不同的取法共有64 144 192 72 472    (种). 16.在 ABC△ 中, 90ABC  ,延长 AC 到 D ,使得 1CD AB  ,若 30CBD  ,则 AC  . 16.答案: 3 2 解析:设 ( 0)AC x x  ,在 BCD△ 中,由正弦定理得 sin sin BD CD BCD CBD  ,所以 2sinBD BCD  , 又 1sin sinBCD ACB x    ,所以 2BD x . 在 ABD△ 中, 120ABD   ,由余弦定理可得: 2 2 2 2 cos120AD AB BD AB BD     , 即 2 2 4 2( 1) 1 2 cos120x x x      ,整理得: 2 3 3 2 2 42 , ( 2) 2( 2), 2xx x x x x xx        , 故 3 2x  ,故 3 2AC  . D C A B 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分) 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,且满足 2n nS a  , 1,2,3,n  .数列{ }nb 满足 1 1b  ,且 1n n nb b a   . (1)求数列{ }nb 的通项公式; (2)设 (3 )n nc n b  ,数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ,求 nT . 17.解析:(1)当 1n  时, 1 1 1 1 12 , 2 , 1S a a a a       . 由 2n nS a  ① ,可得 1 12n nS a   ② , ① ② ,得 1n n na a a    ,即 1 1 ( 2)2n na a n ≥ , 所以数列{ }na 是首项为 1,公比为 1 2 的等比数列, 1 1 2n na   . 由 1n n nb b a   ,得 1 1 1 2n n nb b   ,得 1 2 1 ( 2)2n n nb b n   ≥ , 1 1 2 2 1 1 2 3 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 32 2 2n n n n n n n nb b b b b b b b                      , 又 1 1b  也符合上式, 2 13 ( )2n nb n     N .………………………………………………6 分 解法二: 1 11 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1,2 2 2 2 2 2n n n nn n n n n nb b b b                , 数列 2 1 2n nb      是常数列,首项为 1 1 2 1 1 2 32b     ,所以 2 2 1 13, 3 ( )2 2n nn nb b n        N (2) 2 1(3 ) 2n n nc n b n     , 3 2 2 1 1 1 11 2 2 1 3 ( 1)2 2 2 1 1 1 1 11 1 2 3 ( 1)2 2 4 2 2 n n n n n n T n n T n n                                ① ② 两式相减,得 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 4 42 2 4 2 2 2 2 2n n n n n n nT n n                   , 2 28 2n n nT     .……………………………………………………………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC A B C   的棱长均为 2,O 为 AC 的中点,平面 A OB  平面 ABC ,平面 AA C C   平面 ABC . (1)求证: A O  平面 ABC ; (2)求二面角 A BB C    的余弦值. A B C O A B C 18.解析:(1)在等边三角形 ABC 中,O 为 AC 的中点,所以OB AC . 因为平面 A OB  平面 ABC ,平面 A OB  平面 ABC OB , AC  平面 ABC , AC OB , AC  平面 A OB ,而 A O  平面 A OB , AC A O  ;……………………………………2 分 因为平面 AA C C   平面 ABC ,平面 AA C C   平面 ABC AC ,OB  平面 ABC ,OB AC , OB  平面 AA C C  ,而 A O  平面 AA C C  , OB A O  , AC OB O  , A O  平面 ABC .…………………………………………………………4 分 (2)由(1)知, A O  平面 ABC ,OB OC ,以 , ,OB OC OA 所在直线分别为 , ,x y z 轴建立如图所 示空间直角坐标系.则 (0, 1,0), (0,1,0), ( 3,0,0), (0,0, 3)A C B A , 则 ( 3,1,0), (0,1, 3), ( 3,1,0)AB BB AA BC          .………………………………6 分 设平面 AA B B  的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  , 则 1 1 1 1 3 0 3 0 m AB x y m BB y z              ,取 1 1x  ,则 1 13, 1, (1, 3,1)y z m      .………………8 分 设平面 BB C C  的法向量为 2 2 2( , , )n x y z , 则 2 2 2 2 3 0 3 0 n BC x y n BB y z               ,取 2 1x  ,则 2 23, 1, (1, 3, 1)y z n      .………………10 分 所以 3 3cos , 55 5 m nm n m n            , 又二面角 A BB C    为锐角,所以其余弦值为 3 5 .…………………………………………12 分 A B C O A B C x y z 19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    的上顶点为 P ,右顶点为 Q ,直线 PQ 与圆 2 2 4 5x y  相切于点 2 4,5 5M      . (1)求椭圆C 的方程; (2)若不经过点 P 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点,且 0PA PB    ,求证:直线l 过定点. 19.解析:(1)由已知得直线OM(O 为坐标原点)的斜率 2OMk  ,则直线 PQ 的斜率 1 1 2PQ OM k k    , 所以直线 PQ 的方程为 4 1 2 5 2 5y x       ,即 2 2x y  .…………………………………………2 分 可求得 (0,1), (2,0)P Q ,故 2, 1a b  ,故椭圆C 的方程为 2 2 14 x y  .…………………………4 分 (2)当直线l 的斜率不存在时,显然不满足条件. 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为 ( 1)y kx n n   , 由 2 2 14 x y y kx n       ,消去 y 并整理得 2 2 2(4 1) 8 4( 1) 0k x knx n     , 2 2 2 2 2(8 ) 4 4(4 1)( 1) 16(4 1 ) 0kn k n k n          ,得 2 24 1k n  . ① 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 2 1 2 1 22 2 8 4( 1),4 1 4 1 kn nx x x xk k      . ② 由 0PA PB    ,得 1 1 2 2( , 1) ( , 1) 0x y x y    ,又 1 1 2 2,y kx n y kx n    , 所以 2 2 1 2 1 2( 1) ( 1)( ) ( 1) 0k x x k n x x n       , ③ ………………8 分 将②代入③,得 2 2 2 2 2 2 4( 1)( 1) 8 ( 1) ( 1) 04 1 4 1 k n k n n nk k        , ( 1)(5 3) 0n n    , 解得 1n  (舍),或 3 5n   ,满足①. …………………………………………………10 分 此时l 的方程为 3 5y kx  ,故直线l 过定点 30, 5     .………………………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 前不久,安徽省社科院发布了 2017 年度“安徽城市居民幸福排行榜”,铜陵市成为本年度安徽“最幸福城 市” .随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从 调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) 记录了他们的幸福度分数. 7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”,若从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人 的幸福度是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 表示选 到幸福度为“极幸福”的人数,求 的分布列及数学期望. 20.解析:(1)由茎叶图得 8.6 出现的次数最多,所以众数为 8.6;将茎叶图中的所有数据从小到大排列, 得中位数为 8.75.…………………………………………………………………………………………2 分 (2)设事件 ( 1,2,3)iA i  表示所取 3 人中有i 人的幸福度是“极幸福”,至多有 1 人的幸福度是“极幸福” 记为事件 A ,结合茎叶图得 3 1 2 12 4 12 0 1 3 3 16 16 121( ) ( ) ( ) 140 C C CP A P A P A C C     .…………………………6 分 (3) 的所有可能取值为 0,1,2,3,由样本估计总体中任选 1 人,其幸福度为“极幸福”的概率为 4 1 16 4 , 则 3 2 1 3 2 3 2 3 3 27 1 3 27( 0) ; ( 1) ;4 64 4 4 64 1 3 9 1 1( 2) ; ( 3) .4 4 64 4 64 P P C P C P                                       所以 的分布列为:  0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 所以 27 27 9 10 1 2 3 0.7564 64 64 64E          .…………………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) 2 (ln 1)f x x x  . (1)求函数 ( )f x 的单调区间; (2)若斜率为 k 的直线与曲线 ( )y f x 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点,其中 1 2x x ,求证: 1 2 2x xk  . 21.解析:(1) ( )f x 的定义域是 (0, ) , ( ) 2ln 4f x x   .………………………………2 分 令 ( ) 0f x  ,得 2x e ,…………………………………………………………………………3 分 当 2(0, )x e 时, ( ) 0f x  ,此时 ( )f x 单调递减; 当 2( , )x e  时, ( ) 0f x  ,此时 ( )f x 单调递增. 所以 ( )f x 的单调递减区间为 2(0, )e ,单调递增区间为 2( , )e  .………………………………5 分 (2) 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2ln 2lnf x f x x xk x x x x      .………………………………………………………6 分 要证 1 2 2x xk  ,即证 2 1 1 2 2 1ln ln x xx xx x   ,……………………………………………………7 分 即证 2 1 2 2 1 1 1 1 ln x x x x x x    .………………………………………………………………………………8 分 令 2 1 xt x (由 1 2x x ,知 1t  ),……………………………………………………………………9 分 则只需证ln 1 ln ( 1)t t t t t    .(*)………………………………………………………………10 分 ①设 ( ) 1 lng t t t   ,则当 1t  时, 1( ) 1 0g t t     ,所以 ( )g t 在 (1, ) 上是增函数, 当 1t  时, ( ) 1 ln (1) 0g t t t h     ,即 1 lnt t  ; ②设 ( ) ln ( 1)h t t t t   ,则当 1t  时, ( ) ln 0h t t   ,所以 ( )h t 在 (1, ) 上是增函数, 当 1t  时, ( ) ln ( 1) (1) 0h t t t t h     ,即 ln 1t t t  . 由①②知(*)成立,所以 1 2 2x xk  .………………………………………………………………12 分 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分. 22.【选修 4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 1 : 0l x  ,圆 2 2: ( 1) ( 1 2) 1C x y     ,以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 1l 和圆C 的极坐标方程; (2)若直线 2l 的极坐标方程为 ( )4   R ,设 1 2,l l 与圆C 的公共点分别为 ,A B ,求 OAB△ 的面积. 22.解析:(1) cos , sinx y     , 直线 1l 的极坐标方程为 cos 0   ,即 ( )2   R , 圆C 的极坐标方程为 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0          .…………………………5 分 (2)设 1 2, , ,2 4A B             ,将 2   代入 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0          , 得 2 2(1 2) 3 2 2 0      ,解得 1 1 2   . 将 4   代入 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0          , 得 2 2(1 2) 3 2 2 0      ,解得 2 1 2   . 故 OAB△ 的面积为 21 3 2(1 2) sin 12 4 4      .……………………………………10 分 23.【选修 4—5:不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知 ( ) 2f x x  . (1)解不等式 ( ) 1 (2 )f x f x  ; (2)若 ( ) 1, (2 ) 2f m f n≤ ≤ ,求 2 1m n  的最大值,并求此时实数 ,m n 的取值. 23.解析:(1)原不等式等价于 2 1 2 1x x    , 1 2 1 2 2 x x x      或 1 2 2 1 2 2 x x x       ≤ ≤ 或 2 2 1 2 2 x x x       ,………………………………2 分 1 1x   或 51 3x ≤ 或 ,∴原不等式的解集为 51, 3     .……………………………………5 分 (2)由题意得 ( ) 2 1, (2 ) 2 2 2, 1 1f m m f n n n     ≤ ≤ ≤ ,…………………………6 分 2 1 ( 2) 2( 1) 1 2 2 1 1 4m n m n m n           ≤ ≤ , 当且仅当 1, 2m n  时, 2 1m n  取得最大值 4.…………………………………………10 分

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