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- 2021-07-01 发布
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3.1.2
复数的几何意义
在几何上,我们用什么来表示实
数
?
实数可以用数轴上的点来表示
.
实数
数轴
上的点
(
形
)
(
数
)
一一对应
想一想?
x
0
1
实数的几何模型
:
复数的一般形式
一个复数又该怎样表示呢?
回忆
…
实部
虚部
(
a
,
b
∈R)
1.
类比实数的几何意义思考复数的几何意义
.
2.
明确复数的两种几何意义
.
(重点、难点)
3.
了解复数模的意义
.
复数
z
=
a
+
b
i
有序实数对
(
a
,
b
)
直角坐标系中
的点
Z
(
a
,
b
)
(数)
(形)
一一对应
一一对应
一一对应
探究点
1
复数的几何表示
x
y
0
Z
(
a
,
b
)
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面
——
复平面
x
轴
——
实轴
y
轴
——
虚轴
a
b
z=a+b
i
这是复数的一种几何意义
.
实轴上的点表示实数,虚轴上的点除原点外都表示纯虚数,各象限内的点表示实部不为零的虚数
.
总结提升
一般地,实轴上的点,虚轴上的点,各象限内的点分别表示什么样的数?
复数
z
=
a
+
b
i
有序实数对
(
a
,
b
)
直角坐标系中
的点
Z
(
a
,
b
)
(数)
(形)
一一对应
一一对应
一一对应
一一对应
探究点
2
复数的向量表示
x
y
0
Z
(
a
,
b
)
a
b
z=a+b
i
这是复数的又一种几何意义
.
探究点
3
实数绝对值的几何意义
:
x
O
A
a
|
a
| = |
OA
|
实数
a
在数轴上所对应的点
A
到原点
O
的距离
.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
x
O
z
=
a
+
b
i
y
|
z
|=
r
=
|
OZ
|
探究点
4
复数的模的几何意义
:
复数
z
=
a
+
b
i
的模
r
就是复数
z
=
a
+
b
i
在复平面上对应的点
Z(
a
,
b
)
到原点的距离
.
Z(
a
,
b
)
x
y
O
解
设
z=x+yi(x,y∈R)
例
2
满足
|z|=5(z∈C)
的
复数
z
对应的点在复平面上将构成怎样的图形?
5
5
–5
–5
图形
:
以原点为圆心
,5
为半径的
圆
x
y
O
解
设
z=x+yi(x,y∈R)
例
3
满足
3<|z|<5(z∈C)
的
复数
z
对应的点在复平面上将构成怎样的图形?
5
5
–5
–5
3
–3
–3
3
图形
:
以原点为圆心
,
半径
3
至
5
的
圆环内
O
1.
下列命题中的假命题是( )
A.
在复平面内,对应于实数的点都在实轴上
B.
在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上
C.
在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数
D.
在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
D
2
.“
a=0”
是“复数
a+bi (a , b∈R)
所对应的点
在虚轴上”的( )
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
不充分不必要条件
C
3.
在复平面内,描出下列各复数的点:
x
y
O
⑴ 2
+
5i;
⑵
-
3
+
2i;
⑶ 2
-
4i;
⑷
-
3
-
i;
⑸ 5;
⑹
-
3i
.
x
y
O
⑵
⑷
⑶
⑸
⑴
⑹
⑴ 2
+
5i;
⑵
-
3
+
2i;
⑶ 2
-
4i;
⑷
-
3
-
i;
⑸ 5;
⑹
-
3i
.
4.
已知复数
z=(m
2
+m-6)+(m
2
+m-2)i
在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数
m
允许的取值范围
.
表示复数的点所在象限的问题
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
转化
(
几何问题
)
(
代数问题
)
一种重要的数学思想
:
数形结合思想
【
总结提升
】
1.
复数集
C
和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即
复数
z
=
a
+
b
i
复平面内的点
Z
(
a
,
b
)
一一对应
2.
复数集
C
与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的,即
复数
z
=
a
+
b
i
复平面内的向量
一一对应
3.
复数
z
=
a
+
b
i
与复平面内的点
Z
(
a
,
b
)和向量
是一个三角对应关系,即
复数
z
=
a
+
b
i
点
Z(
a
,
b
)
向量
明德、新民、止于至善,以及格物、致知、诚意、正心、修身、齐家、治国、平天下
.