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- 2021-07-01 发布
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1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
定义
已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b
几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a=a·e=|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)cos θ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);
(3)a·(b+c)=a·b+a·c.
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB=||=.
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cos θ==.
【知识拓展】
1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量,而不是向量.( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )
(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(4)(a·b)c=a(b·c).( × )
(5)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )
1.(教材改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于( )
A.-12 B.6
C.-6 D.12
答案 D
解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),
由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,
∴10+2-k=0,解得k=12.
2.(2016·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可得a·b=|b|cos 30°=|b|,4a2-4a·b+b2=1,即4-2|b|+b2=1,由此求得|b|=,故选C.
3.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1).
∴·=2×3+(-1)×1=5.
4.(2016·北京)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为________.
答案
解析 设a与b的夹角为θ,则
cos θ====,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
5.(2016·厦门模拟)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=________.
答案
解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,即x-2=0,
∴x=2,∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,
∴|a+b|==
==.
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.- B.
C. D.
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
答案 (1)B (2)1 1
解析 (1)如图,
由条件可知=-,
=+=+
=+,
所以·
=(-)·(+)
=2-·-2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形,
所以||=||=1,∠BAC=60°,
所以·=--=.
(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.
因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故·的最大值为1.
方法二 由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的射影都是CB=1,
∴·=||·1=1,
当E运动到B点时,在方向上的射影最大,即为DC=1,
∴(·)max=||·1=1.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
(1)(2016·全国丙卷)已知向量=,=,则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)∵||=1,||=1,
cos∠ABC==,
又∵0°≤∠ABC≤180°,∴∠ABC=30°.
(2)在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,
∠ABC=60°,∴CD=1,=+=+,
=+=+,
∴·=·=·+·+·+·=2×1×cos 60°+2×+×12×cos 60°+××12×cos 120°=.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||=________.
(2)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.
答案 (1)2 (2)+1
解析 (1)因为=(+)
=(2a+2b+2a-6b)
=2a-2b,
所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)
=4×(3-2×2××cos +4)=4,
所以||=2.
(2)设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1,
知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.
又O++=(-1,0)+(0,)+(x,y)
=(x-1,y+),
∴|++|=.
问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.
∵圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,
故的最大值为+1.
即|++|的最大值是+1.
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=________.
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是______________.
答案 (1) (2)∪
解析 (1)因为a2=(3e1-2e2)2
=9-2×3×2×12×cos α+4=9,
所以|a|=3,
因为b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×12×cos α+1=8,
所以|b|=2,
a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)
=9e-9e1·e2+2e=9-9×1×1×+2=8,
所以cos β===.
(2)∵2a-3b与c的夹角为钝角,
∴(2a-3b)·c<0,
即(2k-3,-6)·(2,1)<0,
∴4k-6-6<0,
∴k<3.
又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.
当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,
即2a-3b与c反向.
综上,k的取值范围为∪.
思维升华 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:cos θ=,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
(1)(2016·江西高安中学等九校联考)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=5,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正切值为( )
A. B.
C.- D.-
(2)在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是( )
A. B.2
C. D.6
答案 (1)B (2)C
解析 (1)a·(a+b)=5,
即a2+a·b=5⇒a·b=1,
∴cos〈a,b〉==,
∴〈a,b〉=,
则向量a与b的夹角的正切值为,故选B.
(2)∵·=-1,
∴||·||·cos 120°=-1,
即||·||=2,
∴||2=|-|2=2-2·+2
≥2||·||-2·=6,
∴||min=.
题型三 平面向量与三角函数
例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解 (1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n.
所以m·n=0,即sin x-cos x=0,
所以sin x=cos x,所以tan x=1.
(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,
即sin x-cos x=,
所以sin=,
因为04,且tsin θ取最大值4时,求·.
解 (1)由题设知=(n-8,t),
∵⊥a,∴8-n+2t=0.
又∵||=||,
∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.
当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,
∴=(24,8)或=(-8,-8).
(2)由题设知=(ksin θ-8,t),
∵与a共线,∴t=-2ksin θ+16,
tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ
=-2k(sin θ-)2+.
∵k>4,∴0<<1,
∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.
由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),
∴·=(8,0)·(4,8)=32.