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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2017届内蒙古赤峰市宁城县高三第三次模拟考试(2017

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宁城县高三年级统一考试(5.10)‎ 数学试题(理科)‎ 本试题卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2. 已知的实部与虚部互为相反数,(是虚数单位),则满足的关系是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3.已知某学校有1680名学生,现在采用系统抽样的方法抽取84人,调查他们对学校食堂的满意程度,将1680人按1,2,3…,1680随机编号,则在抽取的84人中,编号落在内的人数为 ‎(A)7 (B)5 (C)3 (D)4‎ ‎4. 已知函数的图象与的图象关于直线对称,则的图象的一个对称中心是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5.已知实数满足则的取值范围为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示,则该 三棱锥的体积为 ‎ (A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)‎ ‎7.已知单位向量与的夹角为,对于实数,则的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 输入a,b,c N=0‎ N≡N+1‎ N≡0(moda)‎ N≡0(modb)‎ N≡1(modc)‎ 输入N 否 否 否 是 是 是 开始 结束 ‎8.过双曲线的焦点F作轴的垂线,交双曲线于M、N两点,A为左顶点,设,双曲线的离心率为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C)3 (D)‎ ‎9. 若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如,如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节,执行该框图,输入,,,则输出的 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎10. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点(点在第一象限),若,则直线的方程为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎11. 已知正方体的棱长为1,过正方体的对角线 的截面面积为,则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12. 已知圆:,为坐标原点,若正方形的一边为圆的一条弦,则线段长度的最大值是 ‎ (A) 2 (B) (C) (D)‎ 宁城县高三年级统一考试(5.10)‎ 数学试题(理科)‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22~23题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13. 已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为600颗,则可以估计阴影部分的面积约为 .‎ ‎14.的展开式中,的系数为 (用数字作答).‎ ‎15.有6名学生参加数学竞赛选拔赛,他们的编号分别是1——6号,得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜:不是1号就是2号;乙猜:3号不可能;丙猜:4号,5号,6号都不可能;丁猜:是4号,5号,6号中的某一个.以是只有一个人猜对,则他应该是______________.‎ ‎16. 已知点G为的重心,且,则的最大值是 .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知数列的前项和是,满足,.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明:.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 在中学学习过程中,人们通常认为数学成绩和物理成绩密切关联.某班针对“高中生的物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩,如下表:‎ 编号 成绩 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 物理()‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎74‎ ‎68‎ ‎63‎ 数学()‎ ‎130‎ ‎125‎ ‎110‎ ‎95‎ ‎90‎ ‎(Ⅰ)求数学成绩关于物理成绩的线性回归方程(精确到),若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;‎ ‎(Ⅱ)要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛,以表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数,求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎(参数公式:,.参考数据:‎ ‎,)‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,已知长方形中,,为的中点,将沿折起,使得平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的正弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,点与点关于原点对称,是动点,且直线与的斜率之积等于.‎ ‎ (Ⅰ)求动点的轨迹方程;‎ ‎ (Ⅱ)设直线和分别与直线交于点,问:是否存在点使得与的面积相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数在处有相同的切线;‎ ‎(Ⅰ)求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的,恒有成立,求实数的最大值.‎ 请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,‎ 曲线,相交于,两点.‎ ‎(1)求,两点的极坐标;‎ ‎(2)曲线与直线(为参数)分别相交于,两点,求.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎(Ⅰ)求的值以及此时的的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若实数满足,证明:.‎ ‎宁城县高三年级统一考试(5.10)‎ 数学试题(理科)参考答案 一、 选择题:CABC CDAB ADDB.‎ 二、 填空题:13、36;14、109;15、丙;16、.‎ 三、 解答题:‎ ‎17.证明:(Ⅰ)∵ ‎ ‎∴即,‎ ‎ --------------------------------------5分 又∵,即 ‎∴是以1为首项,2为公差的等差数列. ………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知: …………8分 ‎∴当时,有,‎ ‎∴当时 ‎ ‎ ‎ . ……………12分 ‎18.解:(1),,-----2分 ‎,--------------3分 ‎,----------4分 所以,------------5分 当时,.----------------------6分 ‎(2)因为数学成绩高于100分的人有3个,所以随机变量的可能取值为1,2,3,‎ 而,,,----9分 所以随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.----------------12分 ‎19.解:(Ⅰ)由于,,则-----1分 ‎ 又平面平面,平面平面,‎ 平面,故平面. -------3分 又平面,所以.-------------4分 ‎(Ⅱ)以为原点,所在直线为轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系, ‎ 设,,,‎ ‎,,‎ 且,‎ 所以,------6分 设平面的一个法向量为,则 ‎,,---------7分 所以平面的一个法向量. --------8分 又平面的一个法向量,---------9分 所以,,所以二面角正弦值.------12分 ‎20.解:(Ⅰ)点的轨迹方程为 …………4分 ‎ (未写得3分)‎ ‎(Ⅱ)设点的坐标为,点的坐标分别为,‎ 则直线的方程为,‎ 直线的方程为.‎ 令,得,--------------6分 于是的面积,‎ ‎ ………………8分 直线的方程为,,‎ 点到直线的距离,‎ 于是的面积, ……………10分 当时,得,‎ 又,所以,解得,‎ 因为,所以,‎ 故存在点使得与的面积相等,‎ 此时点的坐标为 ……………12分 ‎21.解:(Ⅰ)∵‎ ‎∴,而,即-----------3分 ‎(Ⅱ)当时,,为任意实数,都成立---4分 当时,---------------5分 令,‎ 令,‎ 设,.‎ 时,,是减函数,‎ 时,,是增函数,------------7分 当时,‎ 即,当,在是增函数 时,,即,是减函数,‎ 时,,是增函数,-----9分 ‎∴,但当时,无意义,由导数的意义得 ‎---------------------11分 ‎∴当时,,∴,即 综上,若对任意的,恒有成立,则有.----12分 ‎(若考生利用“罗彼达法则”得到,而没有说明法则满足的条件,减2分)‎ ‎22.解:(1)由得,‎ 所以,即.--------------3分 所以、两点的极坐标为:,.-----------------5分 ‎(2)由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为,----6分 将直线代入,‎ 整理得,即,,-------8分 所以. -------------10分