数学理卷·2017届内蒙古赤峰市宁城县高三第三次模拟考试（2017 11页

宁城县高三年级统一考试（5.10）‎ 数学试题（理科）‎ 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2. 已知的实部与虚部互为相反数，（是虚数单位），则满足的关系是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3.已知某学校有1680名学生，现在采用系统抽样的方法抽取84人，调查他们对学校食堂的满意程度，将1680人按1，2，3…，1680随机编号，则在抽取的84人中，编号落在内的人数为 ‎（A）7 （B）5 （C）3 （D）4‎ ‎4. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象的一个对称中心是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5.已知实数满足则的取值范围为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该 三棱锥的体积为 ‎ （A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎7．已知单位向量与的夹角为，对于实数，则的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 输入a,b,c N=0‎ N≡N+1‎ N≡0(moda)‎ N≡0(modb)‎ N≡1(modc)‎ 输入N 否 否 否 是 是 是 开始 结束 ‎8．过双曲线的焦点F作轴的垂线，交双曲线于M、N两点，A为左顶点，设，双曲线的离心率为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C）3 （D）‎ ‎9. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，，，则输出的 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎10. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎11. 已知正方体的棱长为1，过正方体的对角线 的截面面积为，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12. 已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 ‎ (A) 2 (B) (C) (D)‎ 宁城县高三年级统一考试（5.10）‎ 数学试题（理科）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13. 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为 ．‎ ‎14．的展开式中，的系数为 （用数字作答）.‎ ‎15．有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1——6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：不是1号就是2号；乙猜：3号不可能；丙猜：4号，5号，6号都不可能；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以是只有一个人猜对，则他应该是______________.‎ ‎16. 已知点G为的重心，且，则的最大值是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列的前项和是，满足，.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）当时,证明：.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 在中学学习过程中，人们通常认为数学成绩和物理成绩密切关联.某班针对“高中生的物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：‎ 编号 成绩 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 物理（）‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎74‎ ‎68‎ ‎63‎ 数学（）‎ ‎130‎ ‎125‎ ‎110‎ ‎95‎ ‎90‎ ‎（Ⅰ）求数学成绩关于物理成绩的线性回归方程（精确到），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；‎ ‎（Ⅱ）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎（参数公式：，.参考数据：‎ ‎，)‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，已知长方形中，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.‎ ‎ （Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎ （Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数在处有相同的切线；‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求实数的最大值.‎ 请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ 曲线，相交于，两点.‎ ‎（1）求，两点的极坐标；‎ ‎（2）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值以及此时的的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若实数满足，证明：.‎ ‎宁城县高三年级统一考试（5.10）‎ 数学试题（理科）参考答案 一、 选择题：CABC CDAB ADDB.‎ 二、 填空题：13、36；14、109；15、丙；16、.‎ 三、 解答题：‎ ‎17.证明：（Ⅰ）∵ ‎ ‎∴即，‎ ‎ --------------------------------------5分 又∵，即 ‎∴是以1为首项，2为公差的等差数列. ………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知： …………8分 ‎∴当时,有，‎ ‎∴当时 ‎ ‎ ‎ . ……………12分 ‎18.解：（1），，-----2分 ‎，--------------3分 ‎，----------4分 所以，------------5分 当时，.----------------------6分 ‎（2）因为数学成绩高于100分的人有3个，所以随机变量的可能取值为1，2，3，‎ 而，，，----9分 所以随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.----------------12分 ‎19.解：（Ⅰ）由于，，则-----1分 ‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，故平面． -------3分 又平面，所以．-------------4分 ‎（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， ‎ 设，，，‎ ‎，，‎ 且，‎ 所以，------6分 设平面的一个法向量为，则 ‎，，---------7分 所以平面的一个法向量． --------8分 又平面的一个法向量，---------9分 所以，，所以二面角正弦值．------12分 ‎20.解：（Ⅰ）点的轨迹方程为 …………4分 ‎ （未写得3分）‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标分别为，‎ 则直线的方程为，‎ 直线的方程为.‎ 令，得，--------------6分 于是的面积，‎ ‎ ………………8分 直线的方程为，，‎ 点到直线的距离，‎ 于是的面积， ……………10分 当时，得，‎ 又，所以，解得，‎ 因为，所以，‎ 故存在点使得与的面积相等，‎ 此时点的坐标为 ……………12分 ‎21．解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴，而，即-----------3分 ‎（Ⅱ）当时，，为任意实数，都成立---4分 当时，---------------5分 令，‎ 令，‎ 设，.‎ 时，，是减函数，‎ 时，，是增函数，------------7分 当时，‎ 即，当，在是增函数 时，，即，是减函数，‎ 时，，是增函数，-----9分 ‎∴，但当时，无意义，由导数的意义得 ‎---------------------11分 ‎∴当时，，∴，即 综上，若对任意的，恒有成立，则有.----12分 ‎(若考生利用“罗彼达法则”得到,而没有说明法则满足的条件,减2分)‎ ‎22.解：（1）由得，‎ 所以，即.--------------3分 所以、两点的极坐标为：，.-----------------5分 ‎（2）由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，----6分 将直线代入，‎ 整理得，即，，-------8分 所以. -------------10分