数学理卷·2017届湖北省六校联合体高三4月联考（2017 12页

‎2017年春季湖北省六校联合体四月联考 高三数学理科试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设，其中是实数，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3.已知某几何体的三视图（单位：）如下图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A．3 B．5 C．4 D．6‎ ‎4.已知实数满足，若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．-1 C．-2 D．2‎ ‎5.设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则（ ）‎ A．2 B．3 C．5 D．8‎ ‎6.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.执行如下图所示程序框图，若输出的值为-52，则条件框内应填写（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.函数在的图象大致为（ ）‎ ‎9.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 ‎ B．关于轴对称 ‎ C．可由函数的图象向右平移个单位得到 D．可由函数的图象向左平移个单位得到 ‎10.已知数列满足：，（）若（），，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（ ）‎ A．平面平面 B．四面体的体积是 C．二面角的正切值是 D．与平面所成角的正弦值是 ‎12.已知函数有两个零点，，则下面说法正确的是（ ）‎ A． B． C． D．有极小值点，且 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，向量，，且 ．‎ ‎14.在的展开式中含项的系数是 ．（用数字作答）‎ ‎15.把编号为1，2，3，4，5，6，7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为 ．‎ ‎16.从随圆（）上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求与的值.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角，如果不存在，请说明理由.‎ ‎19. 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪（万元）‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6.5‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎51‎ ‎（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；‎ ‎（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；‎ ‎（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？‎ 附：线性回归方程中系数计算公式分别为：‎ ‎，，其中为样本均值.‎ ‎20. 已知动圆过定点，并且内切于定圆.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）若上存在两个点，（1）中曲线上有两个点，并且三点共线，三点共线，，求四边形的面积的最小值.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）是否存在实数，对任意，， 有恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）记，如果是函数的两个零点，且，是的导函数，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），曲线（为参数）.‎ ‎（1）设与相交于两点，求；‎ ‎（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎2017年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三数学(理科)试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CDBAC 6-10:ABCBA 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 5 14. 15 15. 1200 16. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】‎ ‎（1）∵，由正弦定理得：‎ ‎，即 ‎，‎ 化简得：，∴‎ 在中，，∴，得，‎ ‎（2）由已知得，可得，‎ 由已知及余弦定理得，，，‎ 联立方程组，可得或.‎ ‎18.【解析】‎ ‎（1）证明：‎ 如图，由已知得四边形是直角梯形，‎ 由已知，‎ 可得是等腰直角三角形，即，‎ 又平面，则，又，所以平面，‎ 所以.‎ ‎（2）存在，观察图形特点，点可能是线段的一个三等分点（靠近点），下面证明当是线段的三等分点时，二面角的大小为，过点作于，则，则平面.‎ 过点作于，连接，‎ 则是二面角的平面角，‎ 因为是线段的一个三等分点（靠近点），则，‎ 在四边形中求得，则，‎ 所以当是线段的一个靠近点的三等分点时，二面角的大小为，‎ 在三棱锥中，可得，设点到平面的距离是，‎ ‎，‎ 则，解得，‎ 在中，可得，‎ 设与平面所成的角为，则，‎ 所以与平面所成的角为.‎ ‎19.【解析】‎ ‎（1）平均值为11万元，中位数为7万元.‎ ‎（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2.‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望为.‎ ‎（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，‎ ‎，‎ 得线性回归方程：.‎ 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元.‎ ‎20.【解析】‎ ‎（1）设动圆的半径为，则，，所以，‎ 由椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，，所以，动圆圆心的轨迹方程是.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，四边形的面积.‎ 当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程得 ‎，消元得 设，则 ‎∵，∴直线的方程为，‎ ‎，得 设，则 四边形的面积，‎ 令，，上式，‎ 令，‎ ‎（），∴，∴，‎ 综上可得，最小值为8.‎ ‎21.【解析】‎ ‎（1）的定义域为 ‎①若，则，，在上单调递增；‎ ‎②若，则，而，∴，‎ 当时，；当及时，‎ 所以在上单调递减，在及单调递增；‎ ‎③若，则，同理可得在上单调递减，在及单调递增.‎ ‎（2）假设存在，对任意，有恒成立，‎ 不妨设，只要，即，‎ 令，只要在上为增函数，‎ 只要在恒成立，只要，故存在时，对任意，有恒成立.‎ ‎（3）由题意知，‎ 两式相减，整理得，所以 ‎，又因为，‎ 所以 令，则，‎ 所以在上单调递减，故 又，所以 ‎22.【解析】‎ ‎（1）的普通方程，的普通方程，联立方程组解得与的交点为，，则 ‎（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离是，由此当时，取得最大值，且最大值为.‎ ‎23.【解析】‎ ‎（1）由题意，得，因此只须解不等式 当时，原不等式等价于，即，‎ 当时，原不等式等价于，即；‎ 当时，原不等式等价于，即.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意得 所以成立. ‎