2017-2018学年江西省上饶市横峰中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版 7页

‎2017-2018学年江西省上饶市横峰中学高二下学期期中考试数学(文)试卷 命题人：辜家吉 考试时间：120分钟 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．若集合A={x| |x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（　　）‎ A．{0，2} B．{﹣2，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}‎ ‎2．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x ‎ C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x≤0，使2x≤3x ‎4．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）‎ A．x1，x2，…，x n的平均数 B．x1，x2，…，x n的中位数 C．x1，x2，…，x n的最大值 D．x1，x2，…，x n的标准差 ‎5．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的 （　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎6．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（　　）‎ A． B．cm3 C．cm3 D．cm3‎ ‎10．已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）‎ A．6 B． C． D．4+2‎ ‎12．已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B． C． D．‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　 　．‎ ‎14．函数f（x）= x+ex+1 在x =﹣1处的切线方程为　 　．‎ ‎15．若x，y满足约束条件，则z= x +y的最大值为　 　．‎ ‎16．设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　 　．‎ 三、填空题：（本题包括6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎18．（本小题12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．‎ ‎（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=21，求S3．‎ ‎19．（本小题12分）已知椭圆的离心率为，又点 在该椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．‎ ‎20．（本小题12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．‎ ‎（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．‎ ‎21．（本小题11分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．‎ ‎22．（本小题11分）已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a + b|＜|1 + a b|．‎ 横峰中学高二年级下学期期中考试 一．选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A D A B D B A C C A 二．填空题 ‎13．2； 14．2x﹣y+2=0； 15．8； 16．（，+∞）；‎ 三．解答题 ‎17.解：（1）∵asin2B=bsinA， ∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，‎ ‎∴cosB=，∴B=．‎ ‎（2）∵cosA=，∴sinA=，‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．‎ ‎18. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，‎ 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，‎ 解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），‎ 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；‎ ‎（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21， 解得q=4或﹣5，‎ 当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，‎ d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；‎ 当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，‎ d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．‎ ‎19.解：（1）依题意，得 ， 解得 ，‎ ‎∴椭圆的方程为 +=1．‎ ‎（2）设B（x1，y1），C（x2， y2），‎ BC的方程为y=x+m，‎ 则有 ， 整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，‎ 由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，‎ 解得﹣2＜m＜2，‎ 由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，‎ ‎|BC|==|x1﹣x2|=，‎ 设d为点A到直线BC的距离，‎ 则d==|m|，∴S△ABC=|BC|•d=．‎ ‎∵≤=4，当且仅当m=±2时取等号，‎ ‎∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值．‎ ‎20.解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．‎ f（1）=0，即点为（1，0），‎ 函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，‎ 则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2， 即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，‎ 则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；‎ ‎（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），‎ ‎∴f′（x）=1++lnx﹣a，‎ ‎∴f″（x）=，‎ ‎∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．‎ ‎①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；‎ ‎②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，‎ 由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．‎ 综上所述，a≤2．‎ 另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，‎ 可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0， 即为a＜，‎ 由y=的导数为y′=，‎ 由y=x﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=＞0，‎ 函数y在x＞1递增，可得＞0，‎ 则函数y=在x＞1递增， 则==2，‎ 可得＞2恒成立，‎ 即有a≤2．‎ ‎21.解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．‎ ‎∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．‎ 化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①‎ 由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；‎ ‎（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，② 即（x﹣2）2+y2=4．‎ 由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，‎ ‎∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，‎ ‎∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，‎ ‎①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，‎ ‎∴1﹣a2=0，‎ ‎∴a=1（a＞0）．‎ ‎22. 解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，‎ 解得：x＞﹣1，‎ ‎∴﹣1＜x＜，‎ 当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，‎ 此时不等式恒成立，‎ ‎∴≤x≤，‎ 当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，‎ 解得：x＜1，‎ ‎∴＜x＜1，‎ 综上可得：M=（﹣1，1）；‎ 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，‎ ‎（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，‎ 即a2b2+1＞a2+b2，‎ 即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，‎ 即（ab+1）2＞（a+b）2，‎ 即|a+b|＜|1+ab|．‎